二次型 化二次型为标准形 化二次型为标准形主要有两种方法:(1)正交变换法;(2)配方法 例1用正交变换法将二次型f(x12x2,x3)=2x1+x2-4x2 4x2x3化为标准形,并求出所用的正交变换矩阵 解二次型的矩阵为 2 220 020 2
二次型 一 . 化二次型为标准形 化二次型为标准形主要有两种方法：(1)正交变换法；(2)配方法. 4 . 1 42),,( 32 21 2 2 2 321 1 化为标准形，并求出所用的正交变换矩阵 例 用正交变换法将二次型 xx xxxxxxxf − −+= , 020 212 022 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− − A = 解 二次型的矩阵为
由A-E=-21--2=(-1)(-4)2+2, 0-2- 得A的特征值为41=1,2=43=-2; 其对应的特征向量为a1=(-2,-1,2),a2=(2,-2,1),a3= ,2,2),因为4,2,23互异,故a2a2ax3两两正交,将它 们单位化,得 71 221 于是所求正交变换的矩阵为Q 1-22 212
得 的特征值为 ； 由 ， 2,4,1 )2)(4)(1( 20 212 022 || 21 3 −=== +−−= −− −−− −− =− λλλ λλλ λ λ λ λ A EA 们单位化，得 ，因为 互异，故 两两正交，将它 其对应的特征向量为 ,, ,, )2 ,2 ,1( ,)1 ,2 ,2(,)2 ,1 ,2( 321 321 1 2 3 λλλ ααα α α α T T T =−=−−= . 3 1 , 3 1 , 3 1 1 21 32 === αηαηαη 3 , 212 221 122 3 1 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −−− 于是所求正交变换的矩阵为Q =
令X=QH,则二次型化为标准形y2+4y2-2y3 注:将二次型厂用正交变换化为标准形的一般步骤为: (1)写出二次型f的矩阵A; (2)求出A的全部相异特征值1,2…,,对每一个r1重特征值 λ,求出对应的r个线性无关的特征向量,并利用施密特正交化 方法将其正交单位化,将上面求得的r1+r2+…+rn=n个两两正 交的单位向量作为列向量,排成一个n阶方阵Q,则Q为正交阵 且Q1Ag=QAg=A为对角阵; (3)作正交变换X=QY,即可将二次型化为只含平方项的标准 形 f-XAX-Y(OAO)Y=YAY. 例2用配方法化二次型f(x12x2x2,x)=x1x2+x1x3+xx4 +x2x3+x12x4+x3x4为标准形,并写出所用线性变换的矩阵
.24 23 22 21 令 = QYX ，则二次型化为标准形 −+ yyy 注：将二次型 f 用正交变换化为标准形的一般步骤为： (1) 写出二次型 f 的矩阵 A； (2) 求出 A 的全部相异特征值 λ1, λ2,…, λm，对每一个 ri 重特征值 λi，求出对应的 ri 个线性无关的特征向量，并利用施密特正交化 方法将其正交单位化，将上面求得的 r1+ r2+ …+ rm =n 个两两正 交的单位向量作为列向量，排成一个 n 阶方阵Q，则 Q 为正交阵 且 Q－1AQ=QTAQ=Λ 为对角阵； (3) 作正交变换 X=QY，即可将二次型化为只含平方项的标准 形： f=XTAX=YT (QTAQ)Y=YT ΛY. . 2 ),,,( 434232 4131214321 为标准形，并写出所用线性变换的矩阵 例 用配方法化二次型 xxxxxx xxxxxxxxxxf +++ = + +
x1=y1+y2, 解 x2=y1-y2 4 4 则二次型化为 f=y2-y2+2y1y3+2y1y4+y3y4 =(y1+y3+y4) y3-y4-y3y4 2 =(y1+y3+y)2-y2-|y3+y4
则二次型化为 令解 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = −= += , , , , 44 33 212 211 yx yx yyx yyx .3 (*) 4 3 2 1 ( ) ( ) 22 2 4 2 3 2 2 2 1 2 4 2 43 2 2 2 431 43 2 4 2 3 2 2 2 431 434131 2 2 2 1 zzzz yyyyyyy yyyyyyyy yyyyyyyyf −−−= ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−++= −−−−++= +++−=
其中 1=y1+y3+y4 4 或 三22 y3=2 4 4 所用线性变换的矩阵为 C 001-1 0002 即令X=CZ,则f
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −= = −−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = += = ++= .2 , , , , 2 1 , 2 1 , , 44 433 22 4311 4 4 33 4 22 4311 zy zzy zy zzzy yz yyz yz yyyz 或 其中 , 2000 1100 1111 1111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −−− −− C = 所用线性变换的矩阵为 .3 2 4 2 3 2 2 2 1 即令 = ，则 −−−= zzzzfCZX
注:配方法化二次型为标准形一般有两种情形: 情形1二次型中含有平方项,如含有x12,此时先集中含有x1的 项,对x1配成完全平方,再集中含有x2的项,对x2配成完全平 方,如此继续下去,直到化为标准形,如例2(*)式一步. 情形2二次型中不含平方项,只含有xx,的项,此时先作可逆线性 变换 Vi ty y1-y, k≠ Xk =yk? 将二次型化为含平方项的二次型,如例2,再按情形1中介绍的方 法做
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形： 情形1 二次型中含有平方项，如含有 x1 2，此时先集中含有 x1 的 项，对 x1 配成完全平方，再集中含有 x 2 的项，对 x 2 配成完全平 方，如此继续下去，直到化为标准形，如例2 (*)式一步. 情形2 二次型中不含平方项，只含有 xi xj 的项，此时先作可逆线性 变换 ., , , , jik yx yyx yyx kk jii jii ≠ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= += 将二次型化为含平方项的二次型，如例 2，再按情形 1中介绍的方 法做
例3设二次型f(x2x2x3)=x2+x2+cx2+4x3+4x2x3的秩 为2. (1)求参数C; (2)求一可逆变换将该二次型化为标准形; (3)f(x,x2x3)=1是什么曲面? 解由f(x1,x2,x3)=x2+x2+cx32+4xx3+4x2x3的秩为2知, 二次型的矩阵A=012的秩为2,故C=8 又f(x12x2x3)=x1+x2+8x3+4xx3+4x2x3 =(x1+2x3)2+(x2+2x3)2=y12+y2
是什么曲面？ 求一可逆变换将该二次型化为标准形； 求参数 ； 为 例 设二次型 的秩 1),,( )3( )2( (1) 2. 3 ),,( 44 321 3231 2 3 2 2 2 1321 = ++++= xxxf c xxxxcxxxxxxf .8 2 22 210 201 ),,( 2 44 3231 23 22 21321 = ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ = ++++= c c A xxxxcxxxxxxf 二次型的矩阵 的秩为 ，故 由解 的秩为 知， ,)2()2( ),,( 448 2 2 2 1 2 32 2 31 3231 2 3 2 2 2 1321 yyxxxx xxxxxxxxxxf +=+++= 又 ++++=
y1=x1+2x3 x=yi-2y 其中{y=x2+2x2或{x2=y2-2y2 x 所用线性变换的矩阵为 10-2 C=01-2 001 由|A-E=0得A的特征值为A1=0,2=143=9,故在正交 变换下,可将∫=1化为y2+9y3=1,为椭圆柱面 注:设Y=QX,Q为正交矩阵,则有 IY2-YY=(0X)(0X=X0OX-XXY-IXlI
⎪⎩ ⎪⎨⎧ = −= −= ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = += += . ,2 ,2 , ,2 ,2 13 322 311 31 321 311 yx yyx yyx xy xxy xxy 其中 或 . 100 210 201 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −− C = 所用线性变换的矩阵为 19 1 . 0|| 9,1,0 2 3 2 2 1 32 变换下，可将 化为 ，为椭圆柱面 由 得 的特征值为 ，故在正交 = =+ =− === yyf λ AEA λλλ 注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有 ||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2
即正交变换保持向量长度不变.只有在正交变换下将二次型化为 标准形,才能确定它所表示的曲面类型 例4设二次型 f(x,x2x3)=x1+x2-x3+2x1x2+2xx3-2x2x3 经正交变换X=Q化为标准形-2y2+y2+2y3,求:k 及正交阵Q 解二次型的矩阵为 k A=k1-1
即正交变换保持向量长度不变. 只有在正交变换下将二次型化为 标准形，才能确定它所表示的曲面类型. . 22 ),,( 222 4 2 3 2 2 2 1 323121 2 3 2 2 2 1321 Q QYX kyyy xxxxxkxxxxxxxf 及正交阵 经正交变换 化为标准形 ，求： 例 设二次型 = ++− −++−+= , 111 11 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− = k − k A 解 二次型的矩阵为
由题设A与A=1正交相似,即A的特征值为-2 12,故|4|=-4,由此得k2-2k+1=0,解得k=1 A=1 111 求得A的对应的特征向量分别为a1=(-1,2),a2=(,-11) a3=(10),并将它们单位化,得 71 72 C
.1 012 4|| 2,1 ,2 2 1 2 2 −= =+− = − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =Λ A kk k A A ，故 ，由此得 ，解得 由题设 与 正交相似，即 的特征值为 . 111 111 111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− A = − , 2 1 , 3 1 , 6 1 )0,1,1( ,)1,1,1(,)2,1,1( 1 21 32 3 3 1 2 αηαηαη α α α = = = = −= −= ，并将它们单位化，得 求得 的对应的特征向量分别 为 T T T A