第六章 解线性代数方程组的迭代法 §6.1向量和矩阵序列的极限 §6.2迭代法的基本理论 §6.3几种常见的迭代法 2004-11-10
2004-11-10 1 第六章 解线性代数方程组的迭代法 §6.1向量和矩阵序列的极限 §6.2 迭代法的基本理论 §6.3 几种常见的迭代法
§6.1向量和矩阵序列的极限 极限的概念 1向量序列收敛 定义:设是R"中的向量序列,若有 向量x∈R",使 m-x-0 则称}收敛于x。记为 lim x (k)=x k Remark:上面的收敛性实际上和范数的选择无关。 (范数的等价性) 2004-11-10 2
2004-11-10 2 §6.１向量和矩阵序列的极限 一 .极限的概念 1.向量序列收敛 设{ }是 中的向量序列，若有 (k ) xv n R 向量 ，使 n x ∈ R r* 定义： lim 0 ( ) * − = →∞ x x k k v v 则称{x (k )}收敛于 。记为： v * xv ( ) * lim x x k k v v = →∞ Remark：上面的收敛性实际上和范数的选择无关。 （范数的等价性）
2矩阵序列收敛 定义:设{4是Rm中的矩阵序列, 若有A∈Rm,使lm40-4 0,则称{ → 收敛于A,记为 Im Remark:上面的收敛性也和范数的选择无关。 2004-11-10
2004-11-10 3 ２.矩阵序列收敛 设 是 中的矩阵序列， 若有 ，使 ，则称 收敛于 ，记为 { } (k ) A n n R × n n A R × ∈ lim 0 ( ) − = →∞ A A k k { } (k ) A A 定义： A A k k = →∞ ( ) lim Remark：上面的收敛性也和范数的选择无关
序列收敛的等价条件 1向量序列收敛的等价定理 设(6)=( (k)-(k) (k) x 1:2 则lim)=x的充要条件是: →)00 limx (k) 1 2004-11-10
2004-11-10 4 二.序列收敛的等价条件 设 ， 则 的充要条件是： k T n k k k x (x , x , , x ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) L v = T n x (x , x , , x ) * * 2 *1 * L v = ( ) * lim x x k k v v = →∞ 1.向量序列收敛的等价定理 * lim i k i k x x v v = →∞ （ ） （i =1,2,L,n）
序列收敛的等价条件(续) 证明:充分性limx4=x(i=1,2…,n) lim maxx()-x:=0 ImIx k→∞1<i<n k→ 由范数的等价性, x x‖≤cx()-x 有 lim maxx 0 mx 2004-11-10
2004-11-10 5 序列收敛的等价条件（续） * k lim i k i x x v v = →∞ 证明：充分性 （ ） （i =1，2,L,n） lim max 0 ( ) * 1 − = →∞ ≤ ≤ i k i k i n x x lim 0 ( ) * − = →∞ ∞ x x k k v v 由范数的等价性， ∞ ≤ − ( ) * 2 c x x r k r ∞ − ( ) * 1 c x x v k v ( ) * x x v k v ≤ − 有 lim max 0 ( ) * 1 − = →∞ ≤ ≤ i k i k i n x x ( ) * lim x x k k v v = 即 →∞
序列收敛的等价条件(续) 必要性 lim x X limllx(k)-x*=0 k→∞ k→ol 由等价性知: x-x‖≤‖-x‖≤c,lx 有 limx)-x 0 lim maxx k)-x=0 k→o1<in (k) mx 证毕 2004-11-10
2004-11-10 6 序列收敛的等价条件（续） ( ) * lim x x k k v v = →∞ lim 0 ( ) * − = →∞ x x k k v v 必要性 由等价性知： ( ) * 1 c x x v k v − ∞ ≤ − ( ) * x x v k v ( ) * 2 c x x v k v ≤ − lim 0 ( ) * − = →∞ ∞ x x k k v v 有 lim max 0 ( ) * 1 − = →∞ ≤ ≤ i k i k i n 即 x x * lim i k i k x x v v = →∞ （ ） 即 证毕
序列收敛的等价条件(续) 2.矩阵序列收敛的等价定理 设4)=(an)nn,A=(a)m则limA6=A的充要条件 k→ 是ma=a 证明:充分性mn=an,则mNn-a=0, 即 lim max( k→∞l<i<n -a=0故m-州 由矩阵范数的等价性, 有 Im∥/(k) 川‖=0 (k) k 2004-11-10 7
2004-11-10 7 序列收敛的等价条件（续） 2.矩阵序列收敛的等价定理 设 ， 则 的充要条件 是 n n k ij k A = a × ( ) ( ) ( ) A = aij n×n ( ) A A k k = →∞ （ ） lim ij k ij k a = a →∞ ( ) lim ij k ij k a = a →∞ ( ) lim ，则 lim max 0 ， ( ) 1 , − = →∞ ≤ ≤ ij kij k i j n 证明：充分性 a a limmax( ) 0 1 ( ) 1 ∑ − = = →∞ ≤ ≤ n j ij k ij k i n 即 a a lim − = 0 →∞ ∞ A A k k 故 （ ） lim − = 0 →∞ A A k k （ ） 由矩阵范数的等价性， 有 A A k k = → ∞ ( ) 即lim
序列收敛的等价条件(续) 必要性:mA=A即ml4-4=0,由矩阵范 数的等价性,有lml4-4=0 即mQ1-)=0也即回mNg-a=0 故 (k) Im a k→>∞~ 证毕 Remark ①.向量序列、矩阵序列的收敛性等价于按分量、按元 素的收敛性。 ②.对向量序列和矩阵序列,按范数或者按分量元 素收敛,都可以转化为数列的收敛。 2004-11-10
2004-11-10 8 序列收敛的等价条件（续） limmax( ) 0 1 ( ) 1 ∑ − = = →∞ ≤ ≤ n j ij k ij k i n 即 a a lim max 0 ( ) 1 , − = →∞ ≤ ≤ ij kij k i j n 也即 a a ij k ij k a = a →∞ ( ) 故 lim ①.向量序列、矩阵序列的收敛性等价于按分量、按元 素的收敛性。 必要性： 由矩阵范 数的等价性，有 lim − = 0 →∞ ∞ A A k k （ ） lim − = 0 →∞ A A k k （ ） A A k k = →∞ （ ） lim 即 , Remark 证毕 ②.对向量序列和矩阵序列，按范数或者按分量元 素收敛，都可以转化为数列的收敛
引理 设B∈Rm,则imB=0的充要条件是p(B)<1, 其中(B)=mxλ(B)叫做矩阵B的谱半径。 证明:任何矩阵B总相似于它的 Jordan标准型,即存 在可逆阵P,使PBP=J其中 J(i=12…r) 称为 Jordan块。n为B的特征值的重数,∑n1=n 2004-11-10
2004-11-10 9 三.引理 = r J J J J O 2 1 ni ni i i i i J × = λ λ λ 1 1 OO ， J (i 1,2 r) i = K 证明：任何矩阵B总相似于它的Jordan标准型，即存 在可逆阵P，使 P−1BP = J其中 设 B ∈ Rn×n，则 lim →∞ = 0 的充要条件是 ρ(B) <1 ， k k B 其中ρ(B) = max 1≤i≤n λ（i B）叫做矩阵B 的谱半径。 称为Jordan块。ni 为B的特征值 的重数， n n . r i ∑ i = =1 λi
续 由B=PP,则B4=(PJP)PJP).(P/P)=PJP k lim b=ob lim J=0 B P显然 k→∞ k-1 -1k+1-n k k 由归纳法可证J= 2004-11-10
2004-11-10 10 续 1 1 1 1 ( )( ) ( ) − − − − B = PJP PJP PJP = PJ P 由 ，−1 则 k K k B = PJP lim = 0 ⇔ lim = 0 →∞ →∞ k i k k k B J （i =1，2,L,r） 2 1 显然 1 − = P J J J B P kr k k k O = − − − + − − − − + − ki k k i ki k n i nk k k i ki k n i nk k k i k k i ki ki C C C C C C J i i i i λλ λ λ λ λ λ λ λ λ 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 OO M LL 由归纳法可证