木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 解析几何 基本问题 1.两点间距离公式 (1)设A(x,y1)B(x2y)为平面上两点,则A与B的距离d=√(x2-x)2+(-y2 (2)设4(x1y1:)B(x1y2,=)则A与B的距离d=√x2-x)+(-y2)+(2-) 2.定比分点公式 (1)设M(x,y)式线段AB的分点 1)M,/2>0时,内分则|x=x土A 2)设M为AB中点时,|x=(x+x2 (2)设M(x,y,)是空间线段AB的分点 1)AM λ>0时,内分 y+ ay 2)设M为AB中点时 MB1A<0时,外分 3.平面上不在同一直线上的三点A(x,y)B(x2,y2)C(x,y)所围三角形面积s=1 2/y2的绝对值 直线与平面方程 1.平面直线方程 (1)一般式:Ax+B+C=0,斜率k=4。(2)斜截式:y=kx+b,其中k为斜率,b为y轴 截距 (3)点斜式:y-y0=k(x-x)直线过点(xn,y),斜率为k。 (4)截距式:x+2=1,其中a≠0,b≠0,a,b为x轴、y轴上截距。 (5)两点式: 互=x1y11=0 (6)参数式 x=xo+ 斜率为k= y=y Mo, yo 2.空间直角坐标系中的平面方程 一般式Ax+By
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 第二章 解析几何 一、基本问题 1．两点间距离公式 （1）设 ( ) ( ) 2211 ,,, yxByxA 为平面上两点，则 A 与 B 的距离 ( ) ( )2 2 2 12 −+−= yyxxd （2）设 ( )( )则 A 与 B 的距离 ( ) ( ) ( )2 12 2 2 2 12 ,,,,, zyxBzyxA 222111 −+−+−= zzyyxxd 2．定比分点公式 （1）设 式线段 ( , yxM ) AB 的分点 1） ⎩ ⎨ ⎧ = 时，外分 时，内分 0 0 , λ λ λ MB AM 则 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + = λ λ λ λ 1 1 21 21 yy y xx x 2）设 M 为 AB 中点时， ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += += 21 21 2 1 2 1 yyy xxx （2）设 ( ,, zyxM ) 是空间线段 的分点 AB 1） ⎩ ⎨ ⎧ = 时，外分 时，内分 0 0 , λ λ λ MB AM 则 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + = + + = λ λ λ λ λ λ 1 1 1 21 21 21 zz z yy y xx x 2）设 M 为 AB 中点时， ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += += += 21 21 21 2 1 2 1 2 1 zzz yyy xxx 3．平面上不在同一直线上的三点 ( ) ( ) ( ) 2211 33 ,,,,, yxCyxByxA 所围三角形面积 1 1 1 2 1 33 32 11 yx yx yx S = 的绝对值。 二、 直线与平面方程 1. 平面直线方程： （1）一般式： CByAX =++ 0 ，斜率 B A k −= 。 （2）斜截式： = + bkxy ，其中 k 为斜率，b 为 y 轴 截距 （3）点斜式： ( 0 0 − = − xxkyy )直线过点 ( ) 00 , yx ，斜率为 k 。 （4）截距式： =+ 1 b y a x ，其中 ≠ ≠ ,,0,0 baba 为 x 轴、 轴上截距。 y （5）两点式： 12 1 2 1 xx xx yy yy − − = − − 或 0 1 1 1 22 11 = yx yx yx （6）参数式： 斜率为 ⎩ ⎨ ⎧ += += , , 0 0 mtyy ktxx l m k = ，过 ( ) , yx 00 点。 2．空间直角坐标系中的平面方程 （1）一般式 + + DCzByAx =+ 0 6
木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 1)Ax+By+C=0,通过原点2)Ax+By+D=0,与轴平行3)Ax+By=0 通过z轴 (2)点法式:A(x-x0)+B(y-)+C(-)=0过xy=0)点,法矢量n=ABC(3)截距式 ×0 4)三点式,15二0这里(x:(231(y=)为平面所过的三点 J3 三、点线与点面距离 (1)点(x0,y0)到直线AX+By+C=0的距离a (2)点(xn1y,=0)到平面Ax+By+C=+D=0的距离1。+B。+C+ 注意:平面上的直线对应于空间上的平面 四、空间直线方程 (1)一般式:(4x+By+G+D=0其中(BC414B为方向数 A2x+B2y+C2=+D2=0,B2C2 A242B2 (2)参数式:+直线过(x,y=),方向参数Lm刀 二=二0+nt (3)标准式(对称式)xx=yy=三-=,直线过(x0,y1n,=0),方向数lm,n (4)两点式:x工=yM=,直线过(x1,y12=1)(x2,y2,=2)。 五、直线间、平面间、直线与平面间的关系 1.设直线L1:Ax+By+C1=0,令k= L2Ax+By+C2=0令k2=-4 B2 (1)L1∥L2分k1=k2或A=B≠CL (2)L1⊥L2分k1k2=-1或者 A.B. C A142+B1B2=0 6: tan e (3)重合A=B=C1 (4)夹角 A, B, C? 2.设平面x1:A1x+B1y+C1=+D1=0, 平面x2:A2x+B2y+C2+D2=0 直线L1 直线L2: (1)平面间夹角b,则cosO A, 2+B,B,+CC +B2+C2√42+B2
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 1） CzByAx =++ 0 ，通过原点 2） + + DByAx = 0 ，与 轴平行 3） ， 通过 轴 z ByAx =+ 0 z （2）点法式： ( )( )( ) 0 0 +−+− − zzCyyBxxA 0 = 0 过( ) 000 ,, zyx 点，法矢量 = ,, CBAn （3）截距式： =++ 1 c z b y a x （4）三点式： 0 1 1 1 1 333 222 111 = zyx zyx zyx zyx ，这里( ) ( ) ( ) 333222111 ,,,,,,,, zyxzyxzyx 为平面所过的三点。 三、点线与点面距离 （1）点 到直线 ( , yx 00 ) CByAX =++ 0 的距离 22 00 BA CByAx d + ++ = （2）点 ( ) ,, zyx 000 到平面 ++ + DCzByAx = 0 的距离 222 000 CBA DCzByAx d ++ +++ = 注意：平面上的直线对应于空间上的平面。 四、空间直线方程 （1）一般式： 其中 ⎩ ⎨ ⎧ =+++ =+++ ;0 ;0 22 22 1111 DzCyBxA DzCyBxA 22 11 22 11 22 11 ,, BA BA AC AC CB CB 为方向数。 （2）参数式： 直线过 ( ，方向参数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += += += ; ; ; 0 0 0 ntzz mtyy ltxx ) 000 ,, zyx ,, nml （3）标准式（对称式）： n zz m yy l xx 0 0 − 0 = − = − ，直线过 ( ) 000 ,, zyx ，方向数 ,, nml （4）两点式： 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx − − = − − = − − ，直线过( ) ( ) 222111 ,,,,, zyxzyx 。 五、直线间、平面间、直线与平面间的关系 1．设直线 : CyBxAL 1111 =++ 0，令 1 1 1 B A k −= : CyBxAL 2222 =++ 0,令 2 2 2 B A k −= （1） ∥ L1 L2 21 ⇔ = kk 或 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ≠= （2） ⊥ ⇔ ⋅ kkLL 2121 −= 1或者 BBAA 2121 =+ 0 21 12 1 tan: kk kk + − θθ = （3）重合 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ==⇔ （4）夹角 2．设平面 : ;0 π DzCyBxA 11111 =+++ 平面 : ;0 π + + + DzCyBxA 22222 = 直线 1 1 1 1 1 1 1 : n zz m yy l xx L − = − = − 直线 2 2 2 2 2 2 2 : n zz m yy l xx L − = − = − 7 （1）平面间夹角θ ，则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos ++++ CBACBA + CCBBAA θ = +
木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 平面兀∥平面2台A=B 平面丌1⊥平面丌2A1A2+B1B2+C1C2=0 A, B, (2)直线间夹角6,则cosO 直线L1∥直线L2=m=马 直线L⊥直线L2l2+m1m2+n1n2=0 (3)直线与面的夹角6,sin= 414+m, B,+nC V2 +m2+n2√42+B2+C 直线L∥平面x1台A+Bm1+Cn1=0 直线L⊥平面兀4=m= 六、重要曲线与重要曲面 1.平面曲线 (1)立方抛物线y=ax(a>0) (2)半立方抛物线y=ax(a>0) (3)抛物线x2+y2=a2(a>0)或 (4)箕舌线y= 或 x= 2a tan 6 (5)叶形线x3+y3-3axy=0,令y=Ix, v=acos 6 则」1+12 1+t
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 平面π1∥平面π 2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ==⇔ 平面π1⊥平面π 2 ⇔ CCBBAA 212121 =++ 0 （2）直线间夹角θ ，则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos nmlnml nnmmll ++++ ++ θ = 直线 ∥直线 L1 L2 2 1 2 1 2 1 n n m m l l ==⇔ 直线 ⊥直线 L1 L2 ⇔ 0 + nnmmll 212121 =+ （3）直线与面的夹角θ , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 111111 sin CBAnml CnBmAl ++++ ++ θ = 直线 ∥平面 L1 π1 nCmBlA 111111 =++⇔ 0 直线 ⊥平面 L1 π1 1 1 1 1 1 1 C n B m A l ==⇔ 六、重要曲线与重要曲面 1．平面曲线 x y o ( , al ) ( ,−− al ) x y o ( , al ) ( ,−− al ) （1）立方抛物线 ( ) 0 3 aaxy >= （2）半立方抛物线 3 (aaxy >= 0) （3）抛物线 ( ) 0 2 1 2 1 2 1 aayx >=+ 或 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = tay tax 4 4 sin cos a o a x y x y o y 8 o a θ a x y o a θ a x y x 0 y + + ayx = x 0 y + + ayx = （4）箕舌线 22 3 4 8 x a a y + = 或 （5）叶形线 ，令 ， 则 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ 2 cos2 tan2 ay ax 03 33 axyyx =−+ = txy ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = 2 2 2 1 3 1 3 t at y t at x
迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 (6)双纽线(x2+y2)=a1x2-y2)或p2=a2cos20 (7)摆线 a(t-sint) s)基链线y=日e+e或y=achx (9)心脏线p=a(+cosO) (10)概率曲线y=e (11)阿基米德螺线p=ab (12)等角螺线p=e (13)星形线x3+y3=a3或 (14)三叶玫瑰线p=asn30 (15)四叶玫瑰线p=asin26 p=acos 26
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 （6）双纽线( ) 或 （7）摆线 ⎨ ( ) 222 2 22 −=+ yxayx ρ 2cos θ 22 = a ⎧ −= −= tay ttax cos1 ( ) sin ⎩ ( ) x y 4545 a x y t a o t = 0 t = 2π x y t a o t = 0 t = 2π （8）悬链线 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += − a x a x ee a y 2 或 a x = achy （9）心脏线 ρ = a( ) + cos1 θ 9 x y a o x y a x （10）概率曲线 （11）阿基米德螺线 2 x ey − = ρ = aθ o x o x y −1 e o x y −1 e （12）等角螺线 （13）星形线 θ ρ a = e 3 2 3 2 3 2 =+ ayx 或 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = tay tax 3 3 sin cos x y o a ax e2 x y o a ax e2 （14）三叶玫瑰线 ρ = a 3sin θ （15）四叶玫瑰线 ρ = a 2sin θ ρ = a 2cos θ
木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 y 空间曲 x= (1)一般方程{(xy=0(2)参数方程 y() (3)圆柱螺线 y=asin (4)圆 lg(x,y,=)=0 x=t cost 锥螺线 z= at 3.空间曲面 (1)球面x2+y2+2=R2,球心在原点,半径为R(x-a+(y-b+(=-c)=R2球心在 (ab,c),半径为 (2)椭球面x+y+=1其中a,b,c为三个半径,在M(xa,y0,=0)处的切平面方程为 x0x+y0y+=02=1 (3)单叶双曲面x+ 1(4)双叶双曲面 =-1(5)椭圆抛物线 b2 c2 =2c (6)双曲抛物线x-y=2c (7)旋转面曲线(x,)=0 绕x轴旋转/y2+=)=0 绕z轴旋转 x2+y2,-=0 (8)柱面设准线为{(x)=0,则一般方程Ax-1y-m:)=0,则母线方向数,m,n 特殊方 1)/(x,1)=0母线∥二轴,准线!(xy)=0 2)q(,2)=0母线∥x轴,淮线{(y,)=0 39(2.x)=0每线∥y轴,准线!v=0 y=0 (9)锥面准线(xy)=0定点为原点,则一般方程:fcx 10
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 a a a a x y a a a a x y x y a a a x y a a a a x y a a a a 2．空间曲 线 （1）一般方程 ( ) （2）参数方程 ⎩ ( ) ⎨ ⎧ = = 0,, 0,, zyxg zyxf ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = tzz tyy txx （3）圆柱螺线 （4）圆 锥螺线 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ktz tay tax sin cos ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= atz sin tty = costtx 3．空间曲面 （1）球面 ,球心在原点，半径为 2222 =++ Rzyx R .( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 =−+−+− Rczbyax 球心在 ( ,, cba )，半径为 R . （2）椭球面 1 222 =++ c z b y a x 222 其中 a ,, cb 为三个半径，在 ( ) 000 M ,, zyx 处的切平面方程为 1 2 0 2 0 2 0 =++ c zz b yy a xx （3）单叶双曲面 1 222 =−+ c z b y a x 222 （4）双叶双曲面 1 222 −=−+ c z b y a x 222 （5）椭圆抛物线 cz b y a x 2 22 =+ 22 （6）双曲抛物线 cz b y a x 2 22 =− 22 ⎧ ( )zxf = 0, （7）旋转面曲线 绕 ⎩ ⎨ y = 0 x 轴旋转 ( , ) 0 22 zyxf =+± 绕 轴旋转 z ( ) 0, 22 zyxf =+± ( ) = = 0 0, y zxf ⎩ ⎨ ⎧ ，则一般方程 , ⎟ = 0 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− z n m Y n l （8）柱面 设准线为 Xf ，则母线方向数 。 ,, nml 特殊方程： 1） ( ) YXf = 0, 母线∥ 轴，准线 z 2） ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 0, z yxf ϕ( ZY ) = 0, 母线∥ x 轴，准线 ⎨ ( ) ⎩ ⎧ = = 0 0, x ϕ zy 3）ϕ( ) XZ = 0, 母线∥ 轴，准线 ⎨ y ( ) ⎩ ⎧ = = 0 0, y ψ zx ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = = cz yxf 0, 10 （9）锥面 准线 ,定点为原点，则一般方程： ⎟ = 0, ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Z cY Z cX f
水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 特殊方程: 1)上+y2=0,以z轴为对称轴,准线 y 2)X r2 z2 n2-2+ 0,以y轴为对称轴,准线 b Y2Y2 Z2 0,以x轴为对称轴,淮线2+22-1=0
水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 特殊方程： 1） 0 2 2 2 2 2 2 =−+ c Z b Y a X ，以 轴为对称轴，准线 z ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =−+ cz b y a x 01 2 2 2 2 2） 0 2 2 2 2 2 2 =+− c Z b Y a X ，以 轴为对称轴，准线 y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =−+ by c y a x 01 2 2 2 2 3） 0 2 2 2 2 2 2 =++− c Z b Y a X ，以 x 轴为对称轴，准线 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =−+ ax c y b x 01 2 2 2 2 11
