北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第二学期第十二次课

第二学期第十二次课 定义设A是数域K上一个n阶方阵,g(x)是K上一个m次多项式.如果g(A)=0,则g(x) 称为方阵A的一个化零多项式 Hamilton- Cayley定理设A是数域K上的n阶方阵,f是A的特征多项式,则f(A)=0. 证明A在C内相似于 Jordan形矩阵J,即有C上可逆阵T使TAT=J.显然对任意正 整数k,有J=TAkT.由此知f(A)=0当且仅当f(J)=0.设 0 1 则f(A)=∏1(-A).f的每个根1的重数≥ Jordan块J的阶数n,现在 f(J1) f(J2) 对每个i,有f(J;)=0,于是f(J)=0. 设A是数域K上一个n阶方阵,A的首项系数为1的最低次化零多项式称为A的最小多项 式 命题设A是数域K上的n阶方阵,φ(x)是A的一个最小多项式若把A看作C上的n 阶方阵,它在C内的最小多项式为v(x),则q(x)与(x)次数相同 证明q(x)是A在C内的一个化零多项式,从而其次数应大于或等于v(x),反之,设 v(x)=ao+a1x+…+anx 则应有 V(A=aE+a,A+.+aA=0 设A=(a),则上式可写成 a m=0 上式是m+1个未知量ao,a1,…m的齐次线性方程组,其系数属于K.已知它在C内有非零解 (x)不全为零的系数).于是它在K内也有非零解b,b,…bn,设

第二学期第十二次课 定义 设 A 是数域 K 上一个 n 阶方阵,g(x)是 K 上一个 m 次多项式.如果 g(A)=0,则 g(x) 称为方阵 A 的一个化零多项式. Hamilton–Cayley 定理 设 A 是数域 K 上的 n 阶方阵,f 是 A 的特征多项式,则 f(A)=0. 证明 A 在 C 内相似于 Jordan 形矩阵 J,即有 C 上可逆阵 T 使 T AT J 1 = − .显然对任意正 整数 k,有 J T A T k -1 k = .由此知 f(A)=0 当且仅当 f(J)=0.设             = s 2 1 J 0 0 J J J  , i i i n n i i i 0 1 1 0 J              =      则 = = − s i 1 n i i f() (  ) .f 的每个根 i 的重数  Jordan 块 J i 的阶数 i n .现在             = f(J ) 0 0 f(J ) f(J ) f(J) s 2 1  对每个 i,有 f(J i )=0,于是 f(J)=0. 设 A 是数域 K 上一个 n 阶方阵,A 的首项系数为 1 的最低次化零多项式称为 A 的最小多项 式. 命题 设 A 是数域 K 上的 n 阶方阵,  (x)是 A 的一个最小多项式.若把 A 看作 C 上的 n 阶方阵,它在 C 内的最小多项式为  (x),则  (x)与  (x)次数相同. 证明  (x)是 A 在 C 内的一个化零多项式,从而其次数应大于或等于  (x),反之,设 m m = a + a x ++ a x 0 1 (x) ,( ai  C, am =1 ) 则应有 m (A) = a0E + a1A ++ am A =0 设 A ( ) k (k) = aij ,则上式可写成 0 (1) ( ) 1 (0) 0 + + + = m a aij a aij  amaij 上式是 m+1 个未知量 a a am , , 0 1 的齐次线性方程组,其系数属于 K.已知它在 C 内有非零解 ( 即  (x) 不全为零的系数 ). 于是它在 K 内也有非零解 b b bm , , 0 1 . 设

b≠0,b+1=…=bn=0,此时不妨设b=1.于是有 be+ba 0(b,∈K) 故g(x)=b+b1x+…+bx4是A在K内一化零多项式,故m≥k≥(x)的次数命题得证 这个命题说明:A在K内的任一最小多项式也是A在C内的最小多项式.所以,只要把A看 作C上的n阶方阵,决定出它在C内的所有最小多项式,那么A在K内的最小多项式也在其中 由方阵的 Jordan标准形可以用如下方法确定其最小多项式 命题设A是数域K上的n阶方阵.设A的特征多项式f在C内全部互不相同的特征值为 ,2,…,A在C内的 Jordan标准型J中以为特征值的 Jordan块的最高阶数为,则 A在K内的最小多项式是唯一的,它就是 0(x)=(x-1)(x-2)2…(x-1) 证明设A在C内的 Jordan标准形为 nini 则有复可逆方阵T,使TAT=J.对任意复系数多项式g(x),由于Tg(AT=g(J),故g(x) 是A的化零多项式当且仅当g(x)是J的化零多项式.从而A与J有相同的最小多项式因此 只要找出J的所有最小多项式就可以了.设g(x)是J的一个首项系数为1的化零多项式有 g(J1) g() g(J2) g(J 故g(J)=0当且仅当所有g(J1)=0.而g(J1)=0当且仅当A为g(x)的零点,且其重数≥J1的 阶n1设A的(也是J的)全部互不相同的特征值为A1,A2,…,而J中以入为特征值的 Jordan块的最高阶数为l,,则在C内,g(x)应表示为 g(X)=(X-A1)(x-A2)2…(x-A1)“(x-/1)…(X-1) 其中A1,A2,…A1,H1,2,…H1两两不同,且e12l(i=1,2,…k).反之,若g(x)满足上述 条件,则所有g(J1)=0,从而g(J)=0.由此可以知道J的最小多项式应为

bk  0,bk+1 == bm = 0 ,此时不妨设 bk =1.于是有 0E + 1A + + A = 0 k b b  ( bi  K ) 故 k k g x = b + b x ++ b x 0 1 ( ) 是 A 在 K 内一化零多项式,故 m  k   (x)的次数.命题得证. 这个命题说明:A 在 K 内的任一最小多项式也是 A 在 C 内的最小多项式.所以,只要把 A 看 作 C 上的 n 阶方阵,决定出它在C 内的所有最小多项式,那么 A在 K 内的最小多项式也在其中 了. 由方阵的 Jordan 标准形可以用如下方法确定其最小多项式: 命题 设 A 是数域 K 上的 n 阶方阵.设 A 的特征多项式 f 在 C 内全部互不相同的特征值为 1 2 k  , ,  ,A 在 C 内的 Jordan 标准型 J 中以 i 为特征值的 Jordan 块的最高阶数为 i l ,则 A 在 K 内的最小多项式是唯一的,它就是 k l l l (x) (x ) (x ) (x ) 1 2 k 1 2  = −  −   −  证明 设 A 在 C 内的 Jordan 标准形为             = s 2 1 J 0 0 J J J  , i i i n n i i i 0 1 1 0 J              =      则有复可逆方阵 T,使 T AT J 1 = − .对任意复系数多项式 g(x),由于 T g(A)T g(J) 1 = − ,故 g(x) 是 A 的化零多项式当且仅当 g(x)是 J 的化零多项式.从而 A 与 J 有相同的最小多项式.因此 只要找出 J 的所有最小多项式就可以了.设 g(x)是 J 的一个首项系数为 1 的化零多项式.有             = g(J ) g(J ) g(J ) g(J) s 2 1  =0 故 g(J)=0 当且仅当所有 g( i J )=0.而 g( i J )=0 当且仅当 i 为 g(x)的零点,且其重数  i J 的 阶 i n .设 A 的(也是 J 的)全部互不相同的特征值为 1 2 k  , ,  ,而 J 中以 i 为特征值的 Jordan 块的最高阶数为 i l ,则在 C 内,g(x)应表示为 1 2 1 t f t f 1 e k e 2 e 1 g(x) = (x −  ) (x −  ) (x −  ) (x −  ) (x −  ) k 其中 1 2 k  , ,  , 1 2 t  ,  ,  两两不同,且 i i e  l (i=1,2,…,k).反之,若 g(x)满足上述 条件,则所有 g( i J )=0,从而 g(J)=0.由此可以知道 J 的最小多项式应为

0(x)=(x-41)1(x-2)2…(x- 这表明J的最小多项式是唯一的,从而A在K内的最小多项式也唯一,即为q(x)

k l l l (x) (x ) (x ) (x ) 1 2 k 1 2  = −  −   −  这表明 J 的最小多项式是唯一的,从而 A 在 K 内的最小多项式也唯一,即为 (x)