《高等数学简明公式》教学资源：第六章 概率论与数理统计

水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座609室 第六章概率论与数理统计 重要公式与结论 (1)P(=1-P(4) (2)P(∪B)=P(4)+P(B)-P(AB) P(AUBUC)=P(A)+(B)+(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC (3)P(4-B)=P(4)-P(AB)(4)P(4B)=P(4)-P(AB)P(4)=P(AB)+P(B) (5)条件概率P(|B)满足概率的所有性质 例如:P(41B)=1-P(4|B) P(4∪A1|B)=P(41|B)+P(41|B)-P(42|B) P(41A2|B)=P(4|B)P(A2|A1B) 6若,,“小叫0位小 1-∏(-P(4) (7)互斥、互逆与独立性之间的关系: A与B互逆→A与B互斥,但反之不成立, A与B互斥(或互逆)且均非零事件→A与B不独立 (8)若A,A2…Ln,B1,B2…,B相互独立,则f(4,A2…,A)与g(B1,B2…,Bn)也相互独立,其中f()8()分别表示对相 事件作任意事件运算后所得的事件,另外,概率为1(或0)的事件与任何事件相互独立 一维随机变量及其概率分布 重要公式与结论 X~N)→c(0)=-,o) X~Nu,a2)→ 且 d-a)=P(X≤-d)=1-d(a (3)X~E(4)=P(x>+1|x>s)=P(x>) (4)P(X≤a Y-G(p)=P(X=m+k|X>m)=P(X=k) (5)离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数:连续型随机变量的分布函数为连续函数,但不一定为处处可导函数 (6)存在既非离散也非连续型随机变量 三、二维随机变量及其概率分布 重要公式与结论: (1)边缘密度公式:f()=(x,y,(x)=(, (2)PI(x, r)ED]=f(x,ykdy (3)若(X,)服从二维正态分布N(a1k2,G,G,p)则有 1.x~N(1,G2)x~M(a22) 2x与Y相互独立ep=0,即X与Y不相关 N(CH,+C2u2, C202+C202 4.X关于Y=y的条件分布为 +p(-吗2)o F关于X=x的条件分布为 (4)若X与y独立,且分别服从N(4,3)N(2,2)则 (x, r)-N, #2, 01, 02, 0)Cx +CY-NCA, Cha, Cio? +C2o2

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 第六章 概率论与数理统计 重要公式与结论 （1） ( ) 1−= ( ) APAP （2） ( ) () () ( ) +=∪ − ABPBPAPBAP ( ) () () () ( ) +=∪∪ + −− ( )− ( )+ (ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP ) （3） ( ) () ( −=− ABPAPBAP ) （4） P( ) ( ) −= ( ), ( ) ( ) += ( BAPABPAPABPAPBA ) （5）条件概率 满足概率的所有性质 (⋅ | BP ) 例如： P( ) −= ( ) |1| BAPBA ( )( ) 1 1 21 1 ( 2 ||| )( ) −+=∪ 21 | BAAPBAPBAPBAAP ( ) ( )( ) 21 = 1 ||| 12 BAAPBAPBAAP （6）若 21 L,,, AAA n 相互独立，则 ∏ ( ) = = =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n i i n i i APAP 1 1 I ∏( ) ( ) = = −−=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n i i n i AP i AP 1 1 U 11 （7）互斥、互逆与独立性之间的关系： A 与 B 互逆⇒ A 与 B 互斥，但反之不成立， A 与 B 互斥（或互逆）且均非零事件⇒ A 与 B 不独立。 （8）若 21 L m 21 L,,,,,,, BBBAAA n 相互独立，则 ( ) AAAf m ,,, 21 L 与 ( ) BBBg n ,,, 21 L 也相互独立，其中 )分别表示对相应 事件作任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立。 () ( , gf ⋅⋅ 二、一维随机变量及其概率分布 重要公式与结论： （1） ( ) () ( ) , 2 1 0, 2 1 01,0~ =Φ=⇒ π NX ϕ （2） ( ,~ ) ( ) 1,0~ 2 N X NX σ μ σμ − ⇒ 且 () ( ) ( 1 Φ−=−≤=−Φ aaXPa ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ=≤ σ a μ （3） ~ () ( λ >⇒ + | ) ( ) >=> tXPsXtsXPEX （4） aXP ~ () ( | ) ( ) ==>+=⇒ kXPmXkmXPpGX （5）离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。 （6）存在既非离散也非连续型随机变量。 三、二维随机变量及其概率分布 重要公式与结论： （1）边缘密度公式： () ( ) () ( ) ,, ,, （2） ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− = = dxyxfxfdyyxfxf X Y [( ) ] ( )dxdyyxfDYXP D ∫∫ , =∈ , （3）若 服从二维正态分布 ( ,YX ) ( ,,,, ρσσμμ ) 2 2 2 N 121 则有 1． ( ) ( ) 2 2 σμ 11 NYNX ,~,,~ σμ 22 2. X 与 相互独立 Y ⇔ ρ = 0 ，即 X 与Y 不相关 3． ( ρσσσσμμ ) 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12211 C + ~ + , ++ 2 CCCCCCNYCX 4. X 关于Y = y 的条件分布为： ( ) ( )⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+ 2 2 12 2 1 1 1, ρσμ σ σ N ρμ y Y 关于 的条件分布为： = xX ( ) ( )⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+ 22 21 1 2 2 1, ρσμ σ σ N ρμ y （4）若 X 与Y 独立，且分别服从 ( ) ( ) 2 22 2 11 NN ,,, σμσμ 则 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12211 2 2 2 121 NYX σσμμ ,0,,,,~, + ~ + , + CCCCNYCXC σσμμ 35

水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座60 (5)若X与Y相互独立,f(x)与g(x)为连续函数,则f(X)与g(Y)也相互独立 四、随机变量的数字特征 重要公式与结论: (1)D(x)=E(x2)-E(x) (2)cov(Y, r)=E(XY) -E(XE(Y) (3)o(x,y)s1,且1.p(x,)=1eP(y=aX+b)=1,其中a>0 2.p(x,H)=-1P(Y=ax+b)=1,其中a<0 (4)下面5个条件互为充要条件 P(r, r)=0e cov(X, r)=0 OE(XY=E(XE(Y) e D(X+r)=D(x)+D(r) e D(X-Y=D(x)+D(r) 注:X与Y独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件,但非必要条件 3.注意 本讲重点是随机变量函数的数学期望、方差,并掌握下列常见分布的期望与方差 分布 数学期望 (1)0-1分布B(,P) (2)二项分布B(n,P) 3) Poisson分布P(a) (4)正态分布N(uo2) (5)均匀分布U(a,b) atb (6)指数分布E(A) P (7)几何分布G(p) (8)超几何分布m H(N, M, n) 大数定律和中心极限定理 重要定律 切比雪夫 不等式 PEY-ECXy2cks Dix)ax pHr-E(x)ks)2l-Dex) 切比雪夫 设x1,x2,…,xn…相互独立,且E(x)=,D(x)=2(=12…) 大数定律 对任意正数E,有 不利大数定律设x,x2“x,…相互独立,同0-1分布B 则对任意正数E, iia

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 （5）若 X 与Y 相互独立， 与 为连续函数，则 ( ) xf ( ) xg (Xf ) 与 (Yg )也相互独立。 四、随机变量的数字特征 重要公式与结论： （1） ( ) ( ) ( ) XEXEXD 22 −= （2） ( ,cov ) = ( )− ( )() YEXEXYEYX （3） ρ( ) YX ≤1, ，且 1． ρ( )( ) 1, ⇔= = + baXYPYX = 1，其中 。 a > 0 2． ρ() ( ) YX 1, =⇔−= + baXYP = 1，其中 。 a < 0 （4）下面 5 个条件互为充要条件： ρ() () YX ⇔= YX = 0,cov0, ( ) ( )() ( ) () ( ( ) () (YDXDYXD YDXDYXD YEXEXYE +=−⇔ +=+⇔ =⇔ ) ) 注： X 与Y 独立为上述 5 个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。 3．注意 本讲重点是随机变量函数的数学期望、方差，并掌握下列常见分布的期望与方差。 分布 数学期望 方差 （1）0－1 分布 ( ) ,1 PB （2）二项分布 ( ) ,PnB （3）Poisson 分布 P( ) λ P (1− pP ) (1− pnp ) （4）正态分布 ( ) 2 N ,σμ （5）均匀分布U( ) ba np λ λ , （6）指数分布 E( ) λ （7）几何分布G( ) p （ 8 ）超几何分布 ( ) ,, nMNH μ 2 + ba λ 1 p 1 N nM 2 σ ( ) 12 2 − ab 2 1 λ 2 1 p − p 1 1 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − N nN N M N nM 二、 大数定律和中心极限定理 重要定律 切比雪夫 不等式 { } ( ) ( ) 2 ε ε XD XEXP ≤≥− 或 { } ( ) ( ) 2 1 ε ε XD XEXP −≥<− 切比雪夫 大数定律 设 21 XXX n ,,,, LL 相互独立，且 E( ) , ( ) ( ,2,1 L) 2 i = μ i σ iXDX == 对任意正数ε ，有 1 1 lim 1 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ <− = ∞→ εμ n i i n X n P 伯努利大数定律 设 21 XXX n ,,,, LL 相互独立，同 0－1 分布 ( ,1 PB )，则对任意正数ε ， 有 1 1 lim 1 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ <− = ∞→ εμ n i i n X n P 36

水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座609室 设X1X2,…xn,…相互独立同分布,EX,=,1=1,2,…,则对任意正数E,有 辛钦大数定律 空x少 列维一林德伯格 设X1,X2…,Xn,…相互独立同分布,EX=A,D(x)=a2(a≠0) i=1.2. 则有 佛一拉背拉设n一B0D.(即x,x1…,x,相互独立且同服从0-1分布几=2x)则 六、数理统计的基本概率 重要公式与结论: (1)对于x2~x(),有E(z2(m)=n,Dz()=2n (2)对于T~(n)有E(T)=0,D(m)=-(n>2) (3)对于F~F(m,n),有~F(n,m)F(m,n) (n (4)对于总体x,有E()=E(x)E()=D(x)D(x)=20 七、参数估计 重要公式与结论 (1)E(x)=E(x)B(s)=D(x),即X,S2分别为总体E(x)D(x)的无偏估计量 (2)由大数定律易知X,S2也分别是E(X)D(x)的一致估计量 (3)若E()=,D(G)→0(→a),则O为O的一致估计 (4)6为的矩估计,g(x)为连续函数,则g()为g(0)的矩估计 (5)b为O的极大似然估计,g(x)为单调函数,则g()为g(0)的极大似然估计 (6(,)为的置信度是1-a的置信区间,8(x)为单调函数,则(g)g(2)g)g2),为g(0)的置信度 是1-a的置信区间 八、假设检验 原假设H0 H。下的统计量及分布 H的拒绝域

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 辛钦大数定律 设 21 XXX n ,,,, LL 相互独立同分布， i ＝μ iEX = ,2,1, L ，则对任意正数 ε ，有 1 1 lim 1 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ − == n n n TDTE （3）对于 ( ,~ nmFF )，有 ( ) ( ) ( ) mnF nmFmnF F , 1 ,,,~ 1 2 1 2 α α − = （4）对于任意总体 X ，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n XD = , = , XDXDSEXEXE = 2 。 七、参数估计 重要公式与结论 （1） ( ) = ( ) ( ) = ( ) XDSEXEXE 2 , ，即 2 , SX 分别为总体 ( ), (XDXE ) 的无偏估计量。 （2）由大数定律易知 2 , SX 也分别是 ( ), (XDXE ) 的一致估计量。 （3）若 ( ) ( ) 0(nDE ∞→→= ˆ , ˆ θθθ )，则 为θ ˆ θ 的一致估计。 （4） 为θ ˆ θ 的矩估计， 为连续函数，则 ( ) xg (θ )ˆ g 为 g(θ )的矩估计。 （5） 为θ ˆ θ 的极大似然估计， 为单调函数，则 ( ) xg (θ )ˆ g 为 g(θ )的极大似然估计。 （6） ( ) 21 ˆ , ˆ θθ 为θ 的置信度是1−α 的置信区间， (xg ) 为单调函数，则（ ( ) ( ) 21 ˆ , ˆ gg θθ 或 ( ) ( ) 12 ˆ , ˆ gg θθ ）为 g(θ )的置信度 是1−α 的置信区间。 八、假设检验 原假设 H0 H0 下的统计量及分布 H0 的拒绝域 37

水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座609室 一个正 态总体4=(2未 U X-p~N(0.) lI S/√n 个正a2=0(日=∑-x()=- 态总体 O 或v≤x2(n) 0(未 (n-)S (n-1)S 知) w≤x2(-1) 两个正1-2=6 2x=2-0 态总体 (G1,O2已知) n1 n2 X2-6 几1+n2 n, n2 G2=a2) s2=(-S+(2-12 ≥1(n1+n2-2) a(1-1,n2-1) (n1-1n2-1) 11,1 f≤F(n2-1n2-1)

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 μ = μ0 （ 未 知） 2 σ ( ) 1,0~ / 0 N n X U σ − μ = 2 1 0 / α σ μ − ≥ − = u n x u 一个正 态总体 μ = μ0 （ 已 知） 2 σ ( ) 1~ / 0 − − = nt nS X T μ ( ) 1 / 2 1 0 −≥ − = − nt nS x t α μ 2 0 2 = σσ （ μ 已 知） ( ) n X W n i i 2 1 2 0 ~ χ σ μ ∑= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ( ) n x w n i i 2 ) 2 1( 1 2 0 χ α σ μ − = ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ 或 (nw ) 2 2 ≤ χ α 一个正 态总体 2 0 2 = σσ （ μ 未 知） ( ) ( ) 1~ 1 2 2 0 2 − − = n Sn W χ σ ( ) ( ) 1 1 2 1 2 0 2 −≥ − = − n Sn w χ α σ 2 或 ( 1) 2 2 1 −≤ − χ α nw μ μ21 =− δ （ 已知） 2 2 2 1 ,σσ ( ) 1,0~ 2 2 2 1 2 1 2 1 N nn XX U σσ δ + −− = 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 α σσ δ − ≥ + −− = u nn xx u μ μ21 =− δ （ 已知但 2 2 2 1 ,σσ 2 2 2 1 =σσ ） ~ ( ) 2 11 21 21 2 1 −+ + −− = nnt nn S XX T w δ ( ) ( ) 2 1 1 21 2 22 2 2 11 −+ −+− = nn SnSn Sw 21 2 1 11 nn S xx t w + −− = δ ( 2) 21 2 1 ≥ + − − nnt α 两个正 态总体 2 2 2 1 = σσ （ 21 μ ,μ 未知） ( ) 21 1,1~ 2 2 2 1 = nnF −− S S F ( ) 1,1 21 2 1 2 2 2 1 −−≥= − nnF S S f α 或 ( 1,1 ) 21 2 ≤ α − nnFf − 38