的极限值总存在,则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y曲线积分,记作 e(x, y)ay 「2Px2a=m2P(5,) Q(xy)d=m(x,y)△y 说明:(1)当P(x)Q(xy)在乙上连续时,则P(x),J(x,)2在在 (2)可推广到空间有向曲线r上 (3)L为有向曲线弧,L为L与方向相反的曲线,则 P(x,y)2x-」P(x,y) e(x,y)dy_-_e(x,y)dy 4)设=+2,则2+的小2+a+g 此性质可推广到L=与1+L2……+L组成的曲线上 、对坐标的曲线积分的计算 的参数方程为 定理:设(x,y),Q(x,y)在L上有定义,且连续,L y=(), 当t单调地从变到A时,点M(x,y)从L的起点A沿L变到终点B,且),叫4在以a β为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且四2()+2()≠0,则 (P0)00+ooy,且 P(x, ydx+o(x, y)dy 存在 P(x, ydx +e(x, y)ay 注意1)a:L起点对应参数,:L终点对应参数c不一定小于 2)若L由y=y(x)给出起点为a终点为6 =(x,y(观+x,y()]y(x) 3)此公式可推广到空间曲线T:x=4),y=(t),z=四() z++R=!10,.0)(0+O,,aOy +r[aa,w(t), a(t)]a(jat a:T起点对应参数,A:T终点对应参数 例1.计算,J,(2a-)ax-(a-y)”L:摆线x=a(-sint),y=a(1-cs从点 O(0.0)到点B(2x,0) 解:原式2[2a-(1-c-c2-(a-a(4-c09) a sin t]dt的极限值总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧L上对坐标 曲线积分，记作 .即 ， 说明：（1）当 在 上连续时，则 ， 存在 （2）可推广到空间有向曲线 上 （3） 为有向曲线弧， 为 与方向相反的曲线，则 = ， = （4）设 = ，则 = + 此性质可推广到 = 组成的曲线上. 二、对坐标的曲线积分的计算 定理：设 ， 在 上有定义，且连续, 当 单调地从 变到 时，点 从 的起点 沿 变到终点 ，且 在以 ， 为 端 点 的 闭 区 间 上 具 有 一 阶 连 续 导 数 ， 且 ， 则 存 在 ， 且 = 注意1） ： 起点对应参数， ： 终点对应参数 不一定小于 2）若 由 给出 3）此公式可推广到空间曲线 ： ， ， ： 起点对应参数， ： 终点对应参数 例1． 计算： ：摆线 ， 从点 到点 . 解：原式=