证明1°我们证明当λ≠0时,若AI-A是一一映射,则 是到上的.由逆算子定理(-A)∈B(X),于是A∈p(A),便得到 令T=-A,对于任意正整数n A"-Cn-A+…+(-1)”CnA 2" -B 其中B是A与一个有界线性算子的乘积.由第三章§3知,B是紧算 根据引理2,R(T")=R("-B)是X的闭线性子空间,显然 R(Tm)cR(T")n=1,2,…)如果n,R(Tm)都是R(T")的真子空 间,由 Riesz引理,存在yn∈R(”),使得 Iy. l=1, P, R(T)) 注意T(R(T")cR(T),所以Tn=4yn-4yn∈R(Tm)记 Ty =Ay-Ay =T ∈X 若m 则 yn∈R(Tm)cR(T"),mmx∈R(Tm)cR(r) RoT 于是 ‖4yn-4yn‖=(yn-1yn)-(7mx0-7mx)川 =A‖yn-(y ≥|A|p(ynR(T)4 证明 1 D 我 们 证 明 当 λ ≠ 0 时 , 若 λI A − 是一一映射，则 λI A − 是到上的. 由逆算子定理 1 ( ) () λI A X − − ∈B ，于是 λ ∈ ρ( ) A ，便得到 （1）. 令 T IA = λ − ，对于任意正整数 n, ( ) n n T IA = − λ 1 1 ( 1) n n n nn n n λ λ I C A CA − = − +⋅⋅⋅+ − n = − λ I B 其中 B 是 A 与一个有界线性算子的乘积. 由第三章§3 知， B 是紧算 子， 根据引理 2， () ( ) n n R T R IB = λ − 是 X 的闭线性子空间，显然 1 ( ) ( )( 1,2, ). n n RT RT n + ⊂ = ⋅⋅⋅ 如果 1 ,( ) n nRT + ∀ 都 是 ( ) n R T 的真子空 间，由 Riesz 引理，存在 ( ), n n y RT ∈ 使得 1 1 || || 1, ( , ( )) . 2 n n n y y RT ρ + = ≥ 注意 1 ( ( )) ( ), n n T RT RT + ⊂ 所以 1 ( ). n Ty y Ay R T n nn λ + = −∈ 记 1 0 , n n n λ y Ay T x + − = 1' ' 0 00 ,, . m Ty y Ay T x x x X m mm λ + =−= ∈ 若 m n > ，则 1 1' 1 1 0 ( ) ( ), ( ) ( ), m nm m n my RT RT T x RT RT ++ + + ∈⊂ ∈ ⊂ 1 1 0 ( ). n n T x RT + + ∈ 于是 1 1' 0 0 || || || ( ) ( ) || n m A nm nm y Ay y y T x T x λ λ + + − = −− − ' 1 1 0 0 | ||| ( ) || n m n m x x λ y yT T λ λ + + = −+ − 1 | | ( , ( )) n n λ ρ y RT + ≥ | | 0. 2 λ ≥ >