这与A的紧性矛盾,于是存在n,R(T)=R(T-) 由于T是一一的,Vy∈R(T-),y∈R(T)=R(T%+).不妨设 7(T"x),x∈X,则y=7"x∈R(T"), R(T%-)cR(T),R(T"-)=R(T)继续这一过程最后得到 R(T)=X.T是到上的 2°我们证明,对于任意的t>0, {2:λ∈o(A),||t} 是有限集.若不然,由T知,存在互不相同的一列∈G(A)4卜t λn是A的特征值.不妨设xn是相应的特征向量 xn≠0,Axn=nxn(mn=1,2,…).由引理3,{xn}是线性无关集,记 Mn=spmn{x,…xn},则 dim M=n.Mn是闭子空间并且 Mn-1∈Mn,Mn1≠Mn由 Riesz引理,存在 yn∈Mn,‖yn‖1,p(yn,M21) 不妨设y=∑anx,则 Anyn -Ay=a(a, I-A)x+2an(a,I-A)x ∑an(n-1)x 为简便起见,记y一4yn=二n1·类似地,记 Am -Ay 若m>n,则 Mm1,yn∈Mn∈Mn Aym -Ay, l (am -,y,)-(= =元n‖yn-(yn+-m1--n1)‖ 2Ln1p(yn,Mn1)≥>0 与A的紧性矛盾.故{:∈(A)A|}为有限集,t>0是任意的,5 这与 A 的紧性矛盾，于是存在 0 0 1 0 , ( ) ( ). n n n RT RT + = 由于 T 是一一的， 0 00 1 1 ( ), ( ) ( ). n nn y R T Ty R T R T − + ∀∈ ∈ = 不妨设 0 n 1 Ty T x + = 0 ( ), , n = ∈ TT x x X 则 0 0 ( ), n n y T x RT = ∈ 从 而 0 0 1 ( ) ( ), n n RT RT − ⊂ 0 0 1 ( ) ( ). n n RT RT − = 继续这一过程最后得到 R( ) T X = . T 是到上的. 2D 我们证明，对于任意的 t > 0, { : ( ),| | } λ λσ λ ∈ A > t 是有限集. 若不然，由 1 D 知，存在互不相同的一列 ( ),| | λn ∈σ λ A t > , λn 是 A 的 特 征 值 . 不 妨 设 n x 是相应的特征向量， 0, ( 1, 2, ). n n nn x Ax x n ≠ = = ⋅⋅⋅ λ 由引理 3， { }n x 是线性无关集，记 1 {, } Mn n = ⋅⋅⋅ span x x ， 则 dim . Mn = n Mn 是闭子空间并且 1 1 , Mn nn n − − ⊂ ≠ MM M . 由 Riesz 引理，存在 1 1 , || || 1, ( , ) 2 ( 2,3, ). n n n nn y M y yM n ρ − ∈ = ≥ = ⋅⋅⋅ − 不妨设 1 , n n in i i y x α= = ∑ 则 1 1 () () n n n n nn n n in n i i λ α λ αλ y Ay I A x I A x − = −= − + − ∑ 1 1 1 () . n in n i i n i αλ λ x M − − = = −∈ ∑ 为简便起见，记 nn n n 1 λ y Ay z − = − . 类似地，记 11 1 , . mm m m m m λ y Ay z z M −= ∈ − − − 若 m n > ，则 11 1 1 , n n mn n m z M M yM M −− − − ∈ ⊂ ∈⊂ ， 1 1 || || || ( ) ( ) || Ay Ay y y z z m n mm nn m n −= − −− λ λ − − 1 1 | ||| ( ) || n mn mm n m mm z z y y λ λ λ λλ − − = − +− 1 | | | | ( , ) 0. 2 m mm t ≥ ≥> λ ρ y M − 与 A 的紧性矛盾. 故{ : ( ),| | } λ λσ λ ∈ A > t 为有限集， t > 0是任意的