·312. 附录B数值计算中的误差 当f"(引与矿（红的比值不是很大时，我们可以舍去二次项，从而得到 c(fe)≤f(x')le(e). 由于x通常是不知道的，所以我们也用f(x)来近似f(红)，即 e(f(z))f(r)le(z). 关于相对误差限，我们有如下的估计： 其中C,=巴称为f回的条件数 J() 对于多元可微函数f(1,正2，，n),设工=(m1,2,,正n)是x=(r1,吃，，x)的近似 值，则有 ea-2器a B2误差分析 ·数值计算中的误差分析很重要，但也很复杂 ·在计算过程中，误差会传播、积累、对消； ·实际计算中的运算次数通常都在干万次以上，因此对每一步运算都做误差分析比较不切实 际 误差分析一般可分为定量分析和定性分析. B2.1定量分析 ·主要方法有：向前误差分析法，向后误差分析法，区间误差分析法，概率分析法等 ·向前误差分析：用输入数据的误差和数值方法本身的误差来分析计算结果的误差 ·向后误差分析：用某个算法计算f(x),得到的近似解为广，假定于是f(x)对应于某个数据玉 的精确解，即了=∫(，分析元一x的大小就是向后误差分析. 向后误差分析法(backward o anaysis由著名数值分析专家.H.Wilkinson于1960年提出。 这是误差理论中最基本的误差分析方法之一， 向后误差分析是一种先验误差估计方法，不仅可以用来讨论算法的稳定性，还可以用于讨论 算法的收敛性. 后验误差估计则是利用得到的数值结果来估计近似解的误差，如在解方程组时，可以利用残 量来估计解的误差。 B.2.2定性分析 ·目前在数值计算中更关注的是误差的定性分析 ·定性分析包括研究数学问题的适定性，数学问题与原问题的相容性，数值算法的稳定性，避免 扩大误差的准则等 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan仅供课堂教学使用，请勿外传 · 312 · 附录 B 数值计算中的误差 当 |f ′′(ξ)| 与 |f ′ (x ∗ )| 的比值不是很大时, 我们可以舍去二次项, 从而得到 ε(f(x)) ⪅ |f ′ (x ∗ )|ε(x). 由于 x ∗ 通常是不知道的, 所以我们也用 f ′ (x) 来近似 f ′ (x ∗ ), 即 ε(f(x)) ⪅ |f ′ (x)|ε(x). 关于相对误差限, 我们有如下的估计: εr(f(x)) =     f(x) − f(x ∗ ) f(x ∗)     ≈     f ′ (x ∗ )(x − x ∗ ) f(x ∗)     =     x ∗f ′ (x ∗ ) f(x ∗)     ·     x − x ∗ x ∗     = Cpεr(x), 其中 Cp =     x ∗f ′ (x ∗ ) f(x ∗)     称为 f(x) 的 条件数. 对于多元可微函数 f(x1, x2, . . . , xn), 设 x = (x1, x2, . . . , xn) 是 x = (x ∗ 1 , x∗ 2 , . . . , x∗ n ) 的近似 值, 则有 ε(f(x)) ≈ Xn k=1     ∂f(x) ∂x∗ k     ε(xk). B.2 误差分析 • 数值计算中的误差分析很重要, 但也很复杂; • 在计算过程中, 误差会传播、积累、对消; • 实际计算中的运算次数通常都在千万次以上, 因此对每一步运算都做误差分析比较不切实 际. 误差分析一般可分为定量分析和定性分析. B.2.1 定量分析 • 主要方法有: 向前误差分析法, 向后误差分析法, 区间误差分析法, 概率分析法等. • 向前误差分析: 用输入数据的误差和数值方法本身的误差来分析计算结果的误差. • 向后误差分析: 用某个算法计算 f(x), 得到的近似解为 ˜f, 假定 ˜f 是 f(x) 对应于某个数据 x˜ 的精确解, 即 ˜f = f(˜x), 分析 x˜ − x 的大小就是向后误差分析. 向后误差分析法 (backward error analysis) 由著名数值分析专家 J. H. Wilkinson 于 1960 年提出, 这是误差理论中最基本的误差分析方法之一. 向后误差分析是一种先验误差估计方法, 不仅可以用来讨论算法的稳定性, 还可以用于讨论 算法的收敛性. 后验误差估计则是利用得到的数值结果来估计近似解的误差, 如在解方程组时, 可以利用残 量来估计解的误差. B.2.2 定性分析 • 目前在数值计算中更关注的是误差的定性分析; • 定性分析包括研究数学问题的适定性, 数学问题与原问题的相容性, 数值算法的稳定性, 避免 扩大误差的准则等; http://math.ecnu.edu.cn/~jypan