B.3数值稳定性 313 ·定性分析的核心是原始数据的误差和计算过程中产生的误差对最终计算结果的影响 凸算法有“优劣”之分，问题有“好坏”之别，即使不能定量地估计出最终误差，但是若能确保 计算过程中误差不会被任意放大，那就能放心地实施计算，这就是研究定性分析的初衷。 B.3数值稳定性 数值计算中的稳定性包括数学问题的稳定性和数值算法的稳定性 B.3.1数学问题的稳定性 如果数学问题满足 ()对任意满足一定条件的输入数据，存在一个解， (②)对任意满足一定条件的输入数据，解是唯一的， ()问题的解关于输入数据是连续的， 则称该数学问题是适定的(we-posed,)否则就称为不适定的(l-posed). 如果输入数据的微小扰动会引起输出数据（即计算结果）的很大变化（误差），则称该数值问 题是病态的， 例B.4解线性方程组 z+ay=1 lax+y=0 解.易知当α=1时，方程组无解.当a≠1时，解为 当a≈1时，解的误差可能会很大.比如当a=0.999时，x≈500.25.假定输入数据a带有0.0001 的误差，即输入数据为a°=0.9991，则此时有x*≈555.81，解的误差约为55.56，是输入数据误差 的五十多万倍，因此该问题的病态的。 ◇ B.3.2病态问题与条件数 设f(x)可导，则其条件数定义为 c=将 ·一般情况下，条件数大于10时，就认为问题是病态的： 。条件数我大问颗病态就拔亚重： ·病态是问题本身固有的性质，与数值算法无关： ·对于病态问题，选择数值算法时需要谨慎。 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 仅供课堂教学使用，请勿外传 B.3 数值稳定性 · 313 · • 定性分析的核心是原始数据的误差和计算过程中产生的误差对最终计算结果的影响. b 算法有 “优劣” 之分, 问题有 “好坏” 之别, 即使不能定量地估计出最终误差, 但是若能确保 计算过程中误差不会被任意放大, 那就能放心地实施计算, 这就是研究定性分析的初衷. B.3 数值稳定性 数值计算中的稳定性包括数学问题的稳定性和数值算法的稳定性. B.3.1 数学问题的稳定性 如果数学问题满足 (1) 对任意满足一定条件的输入数据, 存在一个解, (2) 对任意满足一定条件的输入数据, 解是唯一的, (3) 问题的解关于输入数据是连续的, 则称该数学问题是适定的 (well­posed), 否则就称为不适定的 (ill­posed). b 如果输入数据的微小扰动会引起输出数据 (即计算结果) 的很大变化 (误差), 则称该数值问 题是病态的. 例 B.4 解线性方程组    x + αy = 1 αx + y = 0 解. 易知当 α = 1 时, 方程组无解. 当 α ̸= 1 时, 解为 x = 1 1 − α2 , y = −α 1 − α2 . 当 α ≈ 1 时, 解的误差可能会很大. 比如当 α = 0.999 时, x ≈ 500.25. 假定输入数据 α 带有 0.0001 的误差, 即输入数据为 α ∗ = 0.9991, 则此时有 x ∗ ≈ 555.81, 解的误差约为 55.56, 是输入数据误差 的五十多万倍, 因此该问题的病态的. □ B.3.2 病态问题与条件数 设 f(x) 可导, 则其条件数定义为 Cp =     xf′ (x) f(x)     . • 一般情况下, 条件数大于 10 时, 就认为问题是病态的; • 条件数越大问题病态就越严重; • 病态是问题本身固有的性质, 与数值算法无关; • 对于病态问题, 选择数值算法时需要谨慎. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan