即比热是一个与温度无关的常数,这就是杜隆一珀替( Dulong-Pet)定律。式(349) 能解释高温下晶体比热的实验事实;但由于在低温时,比热不是常数,而是随温度按η 下降。因此,在低温时,经典理论已不适用,必须考虑采用量子理论。 3.5.1比热的量子理论 根据量子理论,各个简谐振动的能量是量子化的,为 E1=(n2 (3.50) 由于在筒谐近似下晶体的能量为各独立简谐振子的能量之和,则有 E=>(n+)h (3.51) p(h@, /kgT)-1 由于晶体中原胞数目N很大,波矢q是准连续的;对每支格波而言,频率也是准 连续的。因此,可将式(3.51)的求和变成积分,为此须引入一个频谱分布函数——频 谱密度或状态密度g(ω)。它表示在单位体积的固体中,频率在ω到ω+dω间隔内的振 动模式数目,即在波矢q空间里频率为a及a+da两个等频曲面间的模式数为g(a)d 这样 1(L g(o)do d q do (3.52) 2n)s。 上式中 L是空间均匀分布q值的“密度”。如果等频面是简单的球面,上式 可以写成 g(odo=-. 4r dq (3.53) 对较复杂的等频曲面,则如图37所示,在两个等频曲面间取一园柱形体积元dq= dSl,ds是曲面上的面积元,l是小园柱体高。由d=VgO|决定,于是 g(o)do=「 I r dsda 8TJV 由于dω是任意的,故有 O)= (3.55) 8n31v即比热是一个与温度无关的常数，这就是杜隆—珀替（Dulong-Petit）定律。式（3.49） 能解释高温下晶体比热的实验事实；但由于在低温时，比热不是常数，而是随温度按T3 下降。因此，在低温时，经典理论已不适用，必须考虑采用量子理论。 3.5.1 比热的量子理论 根据量子理论，各个简谐振动的能量是量子化的，为 nii ωi ε )h 2 1 ( += （3.50） 由于在筒谐近似下晶体的能量为各独立简谐振子的能量之和，则有 ∑ += i nE i hωi ) 2 1 ( i i Bi Tk ω ω h h ∑ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 2 1 1)/exp( 1 （3.51） 由于晶体中原胞数目 N 很大，波矢 q 是准连续的；对每支格波而言，频率ω也是准 连续的。因此，可将式（3.51）的求和变成积分，为此须引入一个频谱分布函数——频 谱密度或状态密度 g (ω)。它表示在单位体积的固体中，频率在ω到ω+dω间隔内的振 动模式数目，即在波矢 q 空间里频率为ω及ω+dω两个等频曲面间的模式数为 g (ω)d ω。这样， ∫ ∫ + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ωω ω ωω π π ω ωω d S S S S d d L V dg 3 3 8 1 2 1 )( q q +d ， （3.52） 上式中 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π L 是 q 空间均匀分布 q 值的“密度”。如果等频面是简单的球面，上式 可以写成 dg dqq 2 3 4 8 1 )( π π ωω ⋅= （3.53） 对较复杂的等频曲面，则如图 3.7 所示，在两个等频曲面间取一园柱形体积元 dq = dS · l，dS 是曲面上的面积元，l 是小园柱体高。由 d l q ω = ∇ ω || ⋅ 决定，于是: ∫∫ ∇ = = ||8 1 8 1 )( 3 3 ω ω π π ωω q dSd dg ldS ， （3.54） 由于 dω是任意的，故有 ∫ ∇ = ||8 1 )( 3 ωπ ω q dS g （3.55） 14