第三章重积分 ∫yh-=1(xy)←-1kd+(-=2(xy)h j(1(xy)-=(,y)= 例四,设r=(x,y,z),r为r的模,设S1:r=1外侧为正 S2:r=外侧为正。r为S1,S2外侧法矢量, 若 cos(r, n) dS=l,则 cos(r, n) dS=(C) (A)I (C)2 (D)0 解:对球心在原点的球面,其法线向量及面微分向量: nds=ds f∞g")△=乐G Ri 2乐G=爬2手 ldS=4丌 cos(r, n) 饣月的。4 R2 例五、曲面积分r=1 d s 的取值范围是(C) 丌 +y2+x21+x+y4+z (A)0≤I≤1;(B)1≤I≤2;(C)2≤1≤3;()3≤1≤4 Max. min 1+x2+y4+ 解:解条件极值问题: f(x,y, L(xy)=(+x+y2+=+)-(x2 (3=22x2-2)=0 2x=1 or x=0 =2中y2-)=0=2y2=2my=0=驻点有三类 1 or ==0 OL 2=(2=2-x)=0 第四章曲面面积和对曲面的积分积分 6第三章 重积分 第四章 曲面面积和对曲面的积分积分 6 = ( ( ))( ) ( ( ))   − − + − D D h z x, y 1 dxdy h z x, y dxdy 1 2 1 = (z (x y) z (x y))dxdy V D − =  , , 1 2 例四, 设 T r = (x, y,z) → ， r 为 → r 的模，设 S1 :r =1 外侧为正， 2 1 : S2 r = 外侧为正。 → r 为 S1, S2 外侧法矢量， 若 dS I r r n S =  → → 1 2 cos( , ) , 则 =  → → 2 3 cos( , ) S dS r r n ( C ) (A) I ； (B) I 2 1 ； (C) 2I ； (D) 0 . 解 ： 对 球 心 在 原 点 的 球 面 ， 其 法 线 向 量 及 面 微 分 向 量 ： n dS dS r r n r      0 = 0 = , 0 = ( )   = =  → → 1 1 2 0 0 1 2 cos( , ) 1 S S r n dS R dS r r n I   ( ) 1 4 1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 =  = =   dS R r r dS R S S   2 3 2 3 cos( , ) 1 4 2 2 R dS R dS r r n S S  = =   → → 例五. 曲面积分  + + = + + + = 1 4 4 4 2 2 2 1 1 x y z x y z d S I  的取值范围是 ( C ). (A) 0  I 1 ; (B) 1  I  2 ; (C) 2  I  3 ; (D) 3  I  4 ; 解：解条件极值问题： ( ) , . . 1 1 , , 1 , 2 2 2 4 4 4      + + = = + + + s t x y z x y z f x y z Max Min ( , , , ) (1 ) ( 1) 4 4 4 2 2 2 L x y z  = + x + y + z −  x + y + z − ( ) ( ) ( )      = = = = = =           = − =   = − =   = − =   2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 z or z y or y x or x z z x L y y x L x x x L        驻点有三类：