·1398· 工程科学学报，第39卷，第9期 能保留经典流变模型直观易懂、物理概念清晰的优点， 还能克服经典黏弹性流变模型元件多参数多的缺点， 仅用少数几个元件的组合即可与试验结果很好吻合 分数阶微积分的定义有很多种，其中Riemann-Li- ouville分数阶微积分应用最为普遍，对于函数f(t)的 a阶积分定义式为[： 0=a是k (3) 其中D即为a阶微分算子，0≤a<1.Gamma函数的 图3双搭接试件的破坏模式 Fig.3 Failure mode of the double-lap joint 定义为r(e)-厂r-。山.经典黏弹性理论中定义 Hook弹簧的力学响应为σ(t)=Eε(t),牛顿黏壶的力 学响应为：σ(t)=(t).而分数阶黏壶的力学响应可 写作两者的统一：σ(t)=E-“nDε(t),当a=0时可退 化成弹簧元件，当a=1时可退化成Newton黏壶.取松 弛时间T=/E,于是可得简化后的分数阶黏壶本构为： σ(t)=Er“DE(t) (4) 式中，弹性模量E,松弛时间？与阶数α为分数阶黏壶 的基本参数，且均与材料自身的性质有关.分数阶黏 壶可用于模拟处于流体与固体之间的材料.当受到持 荷作用时，其变形既不会像牛顿流体那样线性增加，也 不会像线弹性固体那样瞬时完成应变，而是呈现出非 图4试验装置图 线性增长的情况.现实情况中是不存在理想的固体和 Fig.4 Test device 流体的，因此采用分数阶导数黏壶对材料的蠕变行为 式中，h为环氧树脂层的厚度.之后荷载保持恒定不 进行模拟具有更广泛的普适性. 变，进入蠕变试验阶段，对于任意时刻：，试件的剪切蠕 本文采用带弹簧的活塞元件表示分数阶黏壶，将 变应变y.为： 几种常见的流变模型的组合列于图6.其中图6(a)的 y.()=4a(0-4so) 分数阶导数Maxwell模型(Maxwell)与图6(b)的分数 (2) 2h 阶导数Kelvin模型(Kelvin)为四参数模型，图6(c)的 Epoxy HFRP 分数阶导数Ross模型(Ross)为五参数串并联模型. HFRP B 由于Maxwell模型蠕变最终不会停止，而Kelvin模型 P◆ ◆P 不能拟合加载初期的瞬时应变，均与实际材料特性不 符，因此本文采用Ross模型对本试验进行模拟. A(V2-AABFRPU2 △02-4s,2 (a) (b) E、 HFRP y HFRP HFRP Epoxy Epoxy Epoxy HFRP HFRP HFRP 加载前 瞬时弹性应变 蠕变应变 图5双搭接试件剪切应变计算示意图 Fig.5 Schematic of the shear creep strain calculation of the double lap joint 图6不同元件组合的流变模型.(a)Maxwell模型：(b)fKelvin 模型；(c)Ross模型 Fig.6 Various combinations of rheological models:(a)fMaxwell 2分数阶导数流变模型 model;(b)fKelvin model;(c)fRoss model 经典的黏弹性流变模型主要为Hooke弹簧与 在恒定应力σ作用下，Ross模型的总应变￡可以 Newton黏壶的串并联组合，但想要得到较为精确的拟 看成由两部分组成（如图6(c)所示）： 合结果，往往需要多个元件且需要调整大量的参数. 众多学者的研究表明[2-]，分数阶导数流变模型不仅 E,E2+E,r“D (5)工程科学学报,第 39 卷,第 9 期 图 3 双搭接试件的破坏模式 Fig. 3 Failure mode of the double鄄lap joint 图 4 试验装置图 Fig. 4 Test device 式中,h 为环氧树脂层的厚度. 之后荷载保持恒定不 变,进入蠕变试验阶段,对于任意时刻 t,试件的剪切蠕 变应变 酌c为: 酌c(t) = 驻AB (t) - 驻AB (t 0 ) 2h . (2) 图 5 双搭接试件剪切应变计算示意图 Fig. 5 Schematic of the shear creep strain calculation of the double lap joint 2 分数阶导数流变模型 经典的黏弹性流变模型主要为 Hooke 弹簧 与 Newton 黏壶的串并联组合,但想要得到较为精确的拟 合结果,往往需要多个元件且需要调整大量的参数. 众多学者的研究表明[12鄄鄄13] ,分数阶导数流变模型不仅 能保留经典流变模型直观易懂、物理概念清晰的优点, 还能克服经典黏弹性流变模型元件多参数多的缺点, 仅用少数几个元件的组合即可与试验结果很好吻合. 分数阶微积 分 的 定 义 有 很 多 种,其 中 Riemann鄄鄄 Li鄄 ouville 分数阶微积分应用最为普遍,对于函数 f( t)的 琢 阶积分定义式为[14] : D 琢 f(t) = 1 祝(1 - 琢) d dt 乙 t 0 f(子) (t - 子) 琢 d子. (3) 其中 D 琢即为 琢 阶微分算子,0臆琢 < 1. Gamma 函数的 定义为 祝(z) = 乙 肄 0 t z - 1 e - t dt. 经典黏弹性理论中定义 Hook 弹簧的力学响应为 滓(t) = E着( t),牛顿黏壶的力 学响应为:滓(t) = 浊着 · (t). 而分数阶黏壶的力学响应可 写作两者的统一:滓(t) = E 1 - 琢 浊 琢D 琢 着(t),当 琢 = 0 时可退 化成弹簧元件,当 琢 = 1 时可退化成 Newton 黏壶. 取松 弛时间 子 = 浊/ E,于是可得简化后的分数阶黏壶本构为: 滓(t) = E子 琢D 琢 着(t). (4) 式中,弹性模量 E,松弛时间 子 与阶数 琢 为分数阶黏壶 的基本参数,且均与材料自身的性质有关. 分数阶黏 壶可用于模拟处于流体与固体之间的材料. 当受到持 荷作用时,其变形既不会像牛顿流体那样线性增加,也 不会像线弹性固体那样瞬时完成应变,而是呈现出非 线性增长的情况. 现实情况中是不存在理想的固体和 流体的,因此采用分数阶导数黏壶对材料的蠕变行为 进行模拟具有更广泛的普适性. 本文采用带弹簧的活塞元件表示分数阶黏壶,将 几种常见的流变模型的组合列于图 6. 其中图 6( a)的 分数阶导数 Maxwell 模型(fMaxwell)与图 6(b)的分数 阶导数 Kelvin 模型(fKelvin)为四参数模型,图 6( c)的 分数阶导数 Ross 模型( fRoss) 为五参数串并联模型. 由于 fMaxwell 模型蠕变最终不会停止,而 fKelvin 模型 不能拟合加载初期的瞬时应变,均与实际材料特性不 符,因此本文采用 fRoss 模型对本试验进行模拟. 图 6 不同元件组合的流变模型. ( a) fMaxwell 模型;( b) fKelvin 模型;(c) fRoss 模型 Fig. 6 Various combinations of rheological models: ( a) fMaxwell model; (b) fKelvin model; (c) fRoss model 在恒定应力 滓 作用下,fRoss 模型的总应变 着 可以 看成由两部分组成(如图 6(c)所示): 着 = 滓 E1 + 滓 E2 + E3 子 琢D 琢 . (5) ·1398·