王小萌等：干/湿状态下HP搭接接头的剪切蠕变试验及分数阶导数流变模型 ·1399· 如图6(c)所示，E,与E,分别为Ross模型中串 初始值进行确定 联以及并联部分弹簧的弹性模量，E,为分数阶黏壶 本文的参数拟合可归结为一个约束非线性最小二 的材料参数.根据式(5)可得Ross模型的本构关系 乘问题，令蠕变柔量计算值为J(x,),其中x=(x, 式为： …,x。)「为材料参数的列向量，t为时间，n为参数个 d+Ar“Do=Be+Cr“D°E (6) 数.所有材料参数均非负，其中关于分数阶阶数的参 式中，A=E3/(E,+E2),B=E,E2(E1+E2),C=E 数（例如x,)限制在0到1之间.若最终优化值x.=1, E/(E,+E2),式中A、B、C均为材料参数.根据蠕变 则说明Newton黏壶的拟合优于分数阶黏壶，反之亦 柔量的定义s=J(t)o,对式(6)做Laplace变换与逆变 然.试验所得数据记为(，：)，i=1,…,m,其中r为试 换可得Ross模型的蠕变柔量的表达式为： 验测得的蠕变柔量值，m为试验测试点的个数，且需满 w=a+4c【-2(片）] (7) 足m>n.则目标函数为： 其中，双参数Mittag-Lefflertis]函数表达式为：E。B(z)= minf(x)= [J(x,)-r]2, (9) 言a(eB>0.其L4pae变换有：e (x≥0，i=1,…,n-1: s.t. (0≤xm≤1. (±a)业=对于式(7)表达式B值为1，而 Powell法的基本思想是把整个寻优过程划分为数 个阶段，每个阶段对应n+1轮一维搜索，其中n为变 0≤a≤1.当a=B=1时，E.(z)=e;当a=0,B=1 量个数.前n轮搜索分别沿着n个互不相关的方向进 时，Eo,:(z)=1/(1-z);当B=1,0<a<1时，Mittag- 行搜索，并在搜索结束后得到的一个最好点.第n+1 Leffler函数相当于在指数函数e与双曲函数l/(1-z) 轮搜索由初始点与该最好点确定一个新的方向，沿该 之间进行插值. 方向搜索得到本阶段的最好点.在进行下一阶段搜索 考虑到式(4)中的E,与“并不独立，可将Ross模 时，将该方向替换n个搜索方向中的一个，然后重复上 型中并联部分的参数做进一步简化，令E3=E2=E”, 述过程直到满足收敛条件 将参数变缩减为四个，简化后的蠕变柔量表达式为： 考虑到可能出现n个搜索方向接近甚至完全线性 四=官+-(-（片”）小 (8) 相关的情况，这使得搜索很难达到极小点.为了避免 这种情况，杨晓东等[1]对Powell法进行了改进，每个 式中，四个材料参数E,、E·、T、α可通过对试验数据拟 阶段n个搜索方向保持不变，只有搜索区间发生变化. 合得到.拟合问题本质上是一个优化问题，目前常用 具体算法步骤如下： 的优化算法有遗传算法、直接搜索法、麦夸特法等.经 (1)给定初始点x(0),取允许误差e>0,设n个 典遗传算法虽然在全局分析上有一定优势，但在复杂 线性相关搜索方向为专=xe,(i=1,2,…,n),其 空间上的局部搜索能力较弱，易过早陷人未成熟收敛， 中e,是为n元单位列向量，第i个元素是1，其余为0. 并在接近最优解时，由于优化压力较小导致搜索效 率低，往往需要在其中嵌入局部搜索模块来提高搜 (2)将k用于对循环的阶段进行计数，令x,= 索能力.陈宏善等[]采用共轭梯度法对遗传算法给 x-”,开始进行i=1,2,…,n循环，从每阶段的初始点 出的参数进行局域优化，但由于计算梯度需要对目 x,)出发，沿方向，”进行一维非线性搜索，搜索方 标函数进行求导，而Mittag-Leffler函数的导数不易 法采用文献[18]中的黄金分割法.找到使得f(x-”+ 求得，故在计算时采用了近似函数对Mittag~Leffler A专)=minf(x-)+入专0)的入，更新x.0= 函数进行了替换.由于Mittag-Leffler函数包含无穷 x-》+入0，i=l,2,…,n.其中入被限定在一定 求和项，其导数尚无明确的表达式，因此优化时采用 区域，入∈[6,6，]，一维搜索空间根据x-)动态变 直接搜索法更为有效.Powell法[u6]是一种用于搜索 化，例如x.∈[6，x-”,6,x-],i=1,2,…,n. 多变量函数最小值的有效方法，其本质是共轭梯度 对于x来说，在沿专进行搜索时，还须满足6，≥-1 法，优点是不需要求导运算，方法简单，收敛速率快， 且≤min(62,l/x-)-1),以保证0≤x.≤1. 精度高，可靠性好)，但为了保证收敛到全局最优 (3)令x=x-l),如果‖x山-x4-‖/ 值，必须选择合适的初始点.杨晓东等[)]采用改进 ‖x‖≤￡，计算结束，否则k=k+1,继续(1) 的Powell法对聚合物熔体的黏度模型进行了参数拟 本算法的搜索速率与初始值、搜索范围以及终止 合，拟合结果优于阻尼Newton法与遗传算法.因此 标准有关.设置合理的初值既可减少计算量又可得到 本文采用此方法对参数进行拟合，并根据Mittag-Lef- 较好的拟合结果.Ross模型的参数初值可根据Mit- ler函数的性质采用了简单的初值确定方法对拟合 tag-Leffler函数的特性确定.王小萌等: 干/ 湿状态下 HFRP 搭接接头的剪切蠕变试验及分数阶导数流变模型 如图 6( c) 所示,E1 与 E2 分别为 fRoss 模型中串 联以及并联部分弹簧的弹性模量,E3 为分数阶黏壶 的材料参数. 根据式(5)可得 fRoss 模型的本构关系 式为: 滓 + A子 琢D 琢滓 = B着 + C子 琢D 琢 着. (6) 式中,A = E3 / ( E1 + E2 ),B = E1 E2 / ( E1 + E2 ),C = E1 E3 / (E1 + E2 ),式中 A、B、C 均为材料参数. 根据蠕变 柔量的定义 着 = J(t)滓,对式(6)做 Laplace 变换与逆变 换可得 fRoss 模型的蠕变柔量的表达式为: J(t) = 1 B + AB - C BC E琢,1 [ - ( B C t ) 子 ] 琢 . (7) 其中,双参数 Mittag鄄鄄 Leffler [15]函数表达式为:E琢,茁 (z) = 移 肄 k = 0 z k 祝(琢k + 茁) ,(琢,茁 > 0). 其 Laplace 变换有: 乙 肄 0 e - st E琢,1 ( 依 at 琢 )dt = s 琢 - 1 s 琢芎a . 对于式(7)表达式,茁 值为 1,而 0臆琢臆1. 当 琢 = 茁 = 1 时,E1,1 ( z) = e z ;当 琢 = 0,茁 = 1 时,E0,1 (z) = 1 / (1 - z);当 茁 = 1,0 < 琢 < 1 时,Mittag鄄鄄 Leffler 函数相当于在指数函数 e z与双曲函数 1 / (1 - z) 之间进行插值. 考虑到式(4)中的 E2与 子 琢并不独立,可将 fRoss 模 型中并联部分的参数做进一步简化,令 E3 = E2 = E * , 将参数变缩减为四个,简化后的蠕变柔量表达式为: J(t) = 1 E1 + 1 E * [ 1 - E琢,1 ( - ( t ) 子 ) ] 琢 . (8) 式中,四个材料参数 E1 、E * 、子、琢 可通过对试验数据拟 合得到. 拟合问题本质上是一个优化问题,目前常用 的优化算法有遗传算法、直接搜索法、麦夸特法等. 经 典遗传算法虽然在全局分析上有一定优势,但在复杂 空间上的局部搜索能力较弱,易过早陷入未成熟收敛, 并在接近最优解时,由于优化压力较小导致搜索效 率低,往往需要在其中嵌入局部搜索模块来提高搜 索能力. 陈宏善等[15]采用共轭梯度法对遗传算法给 出的参数进行局域优化,但由于计算梯度需要对目 标函数进行求导,而 Mittag鄄鄄 Leffler 函数的导数不易 求得,故在计算时采用了近似函数对 Mittag鄄鄄 Leffler 函数进行了替换. 由于 Mittag鄄鄄 Leffler 函数包含无穷 求和项,其导数尚无明确的表达式,因此优化时采用 直接搜索法更为有效. Powell 法[16] 是一种用于搜索 多变量函数最小值的有效方法,其本质是共轭梯度 法,优点是不需要求导运算,方法简单,收敛速率快, 精度高,可靠性好[17] ,但为了保证收敛到全局最优 值,必须选择合适的初始点. 杨晓东等[18] 采用改进 的 Powell 法对聚合物熔体的黏度模型进行了参数拟 合,拟合结果优于阻尼 Newton 法与遗传算法. 因此 本文采用此方法对参数进行拟合,并根据 Mittag鄄鄄Lef鄄 fler 函数的性质采用了简单的初值确定方法对拟合 初始值进行确定. 本文的参数拟合可归结为一个约束非线性最小二 乘问题,令蠕变柔量计算值为 J( x,t),其中 x = ( x1 , …,xn ) T 为材料参数的列向量,t 为时间,n 为参数个 数. 所有材料参数均非负,其中关于分数阶阶数的参 数(例如 xn )限制在 0 到 1 之间. 若最终优化值 xn = 1, 则说明 Newton 黏壶的拟合优于分数阶黏壶,反之亦 然. 试验所得数据记为(t i,ri),i = 1,…,m,其中 ri为试 验测得的蠕变柔量值,m 为试验测试点的个数,且需满 足 m > n. 则目标函数为: min f(x) = 移 m i = 1 [J(x,t i) - ri] 2 , (9) s. t. xi逸0,i = 1,…,n - 1; 0臆x { n臆1. Powell 法的基本思想是把整个寻优过程划分为数 个阶段,每个阶段对应 n + 1 轮一维搜索,其中 n 为变 量个数. 前 n 轮搜索分别沿着 n 个互不相关的方向进 行搜索,并在搜索结束后得到的一个最好点. 第 n + 1 轮搜索由初始点与该最好点确定一个新的方向,沿该 方向搜索得到本阶段的最好点. 在进行下一阶段搜索 时,将该方向替换 n 个搜索方向中的一个,然后重复上 述过程直到满足收敛条件. 考虑到可能出现 n 个搜索方向接近甚至完全线性 相关的情况,这使得搜索很难达到极小点. 为了避免 这种情况,杨晓东等[18] 对 Powell 法进行了改进,每个 阶段 n 个搜索方向保持不变,只有搜索区间发生变化. 具体算法步骤如下: (1)给定初始点 x(0),取允许误差 着 > 0,设 n 个 线性相关搜索方向为 孜 (0) i = x (0) i ei,( i = 1,2,…,n),其 中 ei是为 n 元单位列向量,第 i 个元素是 1,其余为 0. (2)将 k 用于对循环的阶段进行计数,令 x (k,0) = x (k - 1) ,开始进行 i = 1,2,…,n 循环,从每阶段的初始点 x (k,i - 1)出发,沿方向 孜 (k,i) i 进行一维非线性搜索,搜索方 法采用文献[18]中的黄金分割法. 找到使得 f(x (k,i -1) + 姿i 孜 (k,i) ) = min f( x (k,i - 1) + 姿i 孜 (k,i) ) 的 姿i,更新 x (k,i) = x (k,i - 1) + 姿i 孜 (k,i) , i = 1,2,…,n. 其中 姿 被限定在一定 区域,姿沂[ 啄1 ,啄2 ],一维搜索空间根据 x (k,i - 1) 动态变 化,例如 x (k,1) i 沂[ 啄1 x (k,i - 1) ,啄2 x (k,i - 1) ], i = 1,2,…,n. 对于 xn来说,在沿 孜 (k,n)进行搜索时,还须满足 啄1逸 - 1 且 姿臆min(啄2 ,1 / x (k,i - 1) n - 1),以保证 0臆xn臆1. (3 ) 令 x (k) = x (k - 1,n) , 如 果 椰 x (k) - x (k - 1) 椰/ 椰x (k)椰臆着,计算结束,否则 k = k + 1,继续(1). 本算法的搜索速率与初始值、搜索范围以及终止 标准有关. 设置合理的初值既可减少计算量又可得到 较好的拟合结果. fRoss 模型的参数初值可根据 Mit鄄 tag鄄鄄Leffler 函数的特性确定. ·1399·