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,794. 北京科技大学学报 第32卷 (7) 3缺陷模的特征 利用式(3)式(7)可以计算该矩形掺杂声子 从前面的分析可知：由于弹性波在一维固流结 晶体中弹性波各个模式的缺陷模，下面的计算中： 构矩形声子晶体中横向受限，使得其缺陷模与一维 8=1180kgm-,B=6=1000kgm3,g=462kg 非受限声子晶体中弹性波的缺陷模相比有新的特 m3,=2670m8,r=1120m8,== -3 征，这些新特征最主要表现为：一维固流结构矩形 1500m…8,=2050m·s,r=1650m…8取 声子晶体中弹性波的缺陷模会受模式量子数以及矩 d=/(46)由=(46)，k=(26),6为 形边长的影响， 中心频率（取6=10000Hz):归一化频率g=f/角， 下面研究模式量子数以及矩形边长对一维固~ 周期数N=5. 流结构矩形声子晶体中弹性波缺陷模的影响， 2模式的特征 3.1缺陷模随模式量子数的变化 固定a=4入，b=5入o,由式(9)可知，在这种情 首先由式(3)分析该一维固流结构矩形声子晶 况下(=0.572)透射波中弹性波的模式量子 体中弹性波各个模式的透射角A与归一化频率马 数的取值范围为≤4≤5.固定=1计算出 a和b的关系，令a=X入，b=Y入（入=u/),由 透射系数t随模式量子数】和归一化频率g变化 式(3)可得： 的立体图，如图2所示.在图2中横坐标J是连续 s4-1k2x)+(hY, 变化的，只有当1=01,23,4,5时才是六个模式 对应的缺陷模.在J=024处切出图2的切面图， 1=012…,=01,2… (8) 如图3所示.图3中细线、中粗线和粗线分别对应 特别地，若弹性波沿0面入射，则： [1,0]、[1,2和[14]三个模式的缺陷模. sn4=12gXJ=01=012… 由图2和图3可知：(1)对于透射波中的[1 若弹性波沿0z面入射，则： 0]、[1,2]和[14]三个模式，都出现了缺陷模，这表 sim6=J2gY人=0，J=0,12… 明在该固流结构矩形声子晶体中的弹性波的各个 由式(8)河知，该一维固流结构矩形声子晶体 模式都会出现缺陷模.(2)[10]、[1,2]和[1,4三 中弹性波各个模式有以下特征， 个模式的缺陷模其频率中心分别在g=1.015, (1)一维固流结构矩形声子晶体中弹性波存在 1.04,1.14处，即各模式缺陷模的频率中心随模式 许多模式，每个模式由模式量子数1和↓确定，记 量子数的增加而增大.(3)[10]、[1,2和[1,4]三 为[1]：而在一维非受限声子晶体中弹性波不存 个模式的缺陷模其频率的半高宽(full width at halt 在模式· maxinum,WHM)逐渐减小，即各模式的缺陷模其 (2)当a和b(X和Y)一定时，模式量子数越大 频率的半高宽随模式量子数的增加而减小. 对应的透射角越大；对同一模式的弹性波，a和b(X 和Y)越大对应的透射角越小；透射角一定时，a和b 越大对应的模式量子数越大， (3)透射波中出现一级禁带的缺陷模，其模式 1.0 6.8 .6 量子数的取值范围：一级禁带的缺陷模出现在g=1 1.20 -0.4 0.2 1.15 附近，将式(8)中的g取1，又因透射角6受全反射 1.10 临界角0.的限制，应满足≤6.=arsint(umr) 1.05 则有 1.00 在x方向，≤2X(/m),J=012… 在方向，区2Y(m人=012.(9) 图2透射系数随，和g的变化的立体图 Fig 2 3D diagram of transm ission coefficient versus Jy and g 式(9)为透射波中出现一级禁带的缺陷模其模式量 子数的取值范围的公式，由式(9)可知，一级禁带的 当矩形的长a和宽b取其他值时，其缺陷模也 缺陷模其模式量子数的取值范围由X和Y(a和b) 有相似的特征，上述缺陷模随模式量子数的变化特 唯一确定，X和Y越大，对应的模式量子数的取值范 征是一维非受限声子晶体中的弹性波不具有的，因 围就越大， 为在一维非受限声子晶体中的弹性波其缺陷模与模北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 ｔ＝ 1 Ｍ11 （7） 利用式 （3）～式 （7）可以计算该矩形掺杂声子 晶体中弹性波各个模式的缺陷模．下面的计算中： ρ1＝1180ｋｇ·ｍ —3ρ2＝ρ0＝1000ｋｇ·ｍ —3ρ3 ＝462ｋｇ· ｍ —3ｖ1Ｌ＝2670ｍ·ｓ —1ｖ1Ｔ ＝1120ｍ·ｓ —1ｖ2Ｌ ＝ｖ0Ｌ ＝ 1500ｍ·ｓ —1ｖ3Ｌ＝2050ｍ·ｓ —1ｖ3Ｔ ＝1650ｍ·ｓ —1；取 ｄ1＝ｖ1Ｌ／（4ｆ0）ｄ2 ＝ｖ2Ｌ／（4ｆ0）ｄ3 ＝ｖ3Ｌ／（2ｆ0）ｆ0 为 中心频率 （取 ｆ0 ＝10000Ｈｚ）；归一化频率 ｇ＝ｆ／ｆ0 周期数 Ｎ＝5． 2 模式的特征 首先由式 （3）分析该一维固-流结构矩形声子晶 体中弹性波各个模式的透射角 θ0 与归一化频率 ｇ、 ａ和 ｂ的关系．令 ａ＝Ｘλ0ｂ＝Ｙλ0 （λ0 ＝ｖ0Ｌ／ｆ0）由 式 （3）可得： ｓｉｎθ0＝ 1 ｇ （Ｊｘ／2Ｘ） 2＋（Ｊｙ／2Ｙ） 2 Ｊｘ＝012…Ｊｙ＝012… （8） 特别地若弹性波沿 ｘＯｚ面入射则： ｓｉｎθ0＝Ｊｘ／2ｇＸＪｙ＝0Ｊｘ＝012… 若弹性波沿 ｙＯｚ面入射则： ｓｉｎθ0＝Ｊｙ／2ｇＹＪｘ＝0Ｊｙ＝012… 由式 （8）可知该一维固-流结构矩形声子晶体 中弹性波各个模式有以下特征． （1）一维固-流结构矩形声子晶体中弹性波存在 许多模式每个模式由模式量子数 Ｊｘ和 Ｊｙ确定记 为 ［ＪｘＪｙ ］；而在一维非受限声子晶体中弹性波不存 在模式． （2）当 ａ和 ｂ（Ｘ和 Ｙ）一定时模式量子数越大 对应的透射角越大；对同一模式的弹性波ａ和 ｂ（Ｘ 和 Ｙ）越大对应的透射角越小；透射角一定时ａ和 ｂ 越大对应的模式量子数越大． （3）透射波中出现一级禁带的缺陷模其模式 量子数的取值范围：一级禁带的缺陷模出现在 ｇ＝1 附近将式 （8）中的 ｇ取 1又因透射角 θ0受全反射 临界角 θｃ的限制θ0应满足 θ0≤θｃ＝ａｒｃｓｉｎ（ｖ0Ｌ／ｖ1Ｌ） 则有 在 ｘ方向Ｊｘ≤2Ｘ（ｖ0Ｌ／ｖ1Ｌ）Ｊｘ＝012… 在 ｙ方向Ｊｙ≤2Ｙ（ｖ0Ｌ／ｖ1Ｌ）Ｊｙ＝012… （9） 式 （9）为透射波中出现一级禁带的缺陷模其模式量 子数的取值范围的公式．由式 （9）可知一级禁带的 缺陷模其模式量子数的取值范围由 Ｘ和 Ｙ（ａ和 ｂ） 唯一确定Ｘ和 Ｙ越大对应的模式量子数的取值范 围就越大． 3 缺陷模的特征 从前面的分析可知：由于弹性波在一维固-流结 构矩形声子晶体中横向受限使得其缺陷模与一维 非受限声子晶体中弹性波的缺陷模相比有新的特 征．这些新特征最主要表现为：一维固-流结构矩形 声子晶体中弹性波的缺陷模会受模式量子数以及矩 形边长的影响． 下面研究模式量子数以及矩形边长对一维固- 流结构矩形声子晶体中弹性波缺陷模的影响． 3∙1 缺陷模随模式量子数的变化 固定 ａ＝4λ0ｂ＝5λ0由式 （9）可知在这种情 况下 （ｖ0Ｌ／ｖ1Ｌ ＝0∙572）透射波中弹性波的模式量子 数的取值范围为 Ｊｘ≤4Ｊｙ≤5．固定 Ｊｘ＝1计算出 透射系数 ｔ随模式量子数 Ｊｙ和归一化频率 ｇ变化 的立体图如图 2所示．在图 2中横坐标 Ｊｙ是连续 变化的只有当 Ｊｙ＝012345时才是六个模式 对应的缺陷模．在 Ｊｙ＝024处切出图2的切面图 如图 3所示．图 3中细线、中粗线和粗线分别对应 ［10］、［12］和 ［14］三个模式的缺陷模． 由图 2和图 3可知：（1）对于透射波中的 ［1 0］、［12］和 ［14］三个模式都出现了缺陷模这表 明在该固-流结构矩形声子晶体中的弹性波的各个 模式都会出现缺陷模．（2） ［10］、［12］和 ［14］三 个模式的缺陷模其频率中心分别在 ｇ＝1∙015 1∙041∙14处即各模式缺陷模的频率中心随模式 量子数的增加而增大．（3） ［10］、［12］和 ［14］三 个模式的缺陷模其频率的半高宽 （ｆｕｌｌ-ｗｉｄｔｈａｔｈａｌｔ- ｍａｘｉｍｕｍＦＷＨＭ）逐渐减小即各模式的缺陷模其 频率的半高宽随模式量子数的增加而减小． 图 2 透射系数随 Ｊｙ和 ｇ的变化的立体图 Ｆｉｇ．2 3ＤｄｉａｇｒａｍｏｆｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｖｅｒｓｕｓＪｙａｎｄｇ 当矩形的长 ａ和宽 ｂ取其他值时其缺陷模也 有相似的特征．上述缺陷模随模式量子数的变化特 征是一维非受限声子晶体中的弹性波不具有的因 为在一维非受限声子晶体中的弹性波其缺陷模与模 ·794·