《数学分析》上厨教案 第二章数列极限 海南大学数学系 单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件一 一柯西收敛准则。 (二)Cauchy收敛准则 定理(Cauchy收敛准则)数列{a,}收敛的充分必要条件是：对任给的e>0,存在正整数 N,使得当n,m>N时有1a,-ank&. 证明“→”a,收敛，则存在极限，设ma,=0,则G>0,3V,当>N时有 |a,-ak6l2-当mm>N时有|a,-amam-a+|a。-ak6 “←”先证有界性，取6=l,则N,nm>N一|an-amk1 特别地，n>N时|a。-ak1→anaw1l+l 设M=+l,则n,la.sM 再由致密性定理知，a,}有收敛子列a,},设血a。=a, Vs>0.N,n,m>Nla,-aK8/2 3K,k>K→|aw-ake/2 取N=maNK,N),当n>N时有 nvd 2N+1>N la -als a-an +lan-aKE/2+612=E 故ma,=a Cauchy列、基本列（满足Cauchy收敛准则的数列） Cauchy收敛准则的另一表示形式： c>0,3V,当n>N时，对PeZ有lap-a,KE (三)说明 l、auchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题.《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 4 单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件— —柯西收敛准则. (二) Cauchy 收敛准则 定理（Ｃauchy 收敛准则） 数列 an 收敛的充分必要条件是：对任给的   0 ，存在正整数 Ｎ，使得当 n m N ,  时有 | | n m a a −   . 证明 “” { }n a 收敛，则存在极限，设 an a n = → lim ，则   0 ， N ，当 n  N 时有 | an − a |  / 2  当 n,m  N 时有 | a − a || a − a | + | a − a |  n m m n “ ”先证有界性，取  =1 ，则 N ，n,m  N  | an − am | 1 . 特别地， n  N 时 | an − aN+1 |1  | an || aN+1 | +1 , 设 max{| |,| |, ,| |,| | 1} M = a1 a2  aN aN+1 + ，则 n，| an | M . 再由致密性定理知， { }n a 有收敛子列 { } nk a ，设 a a nk k = → lim ,   0，N1， 1 n, m  N  | | / 2 n m a a −   , K ，k  K  | a − a |  / 2 nk , 取 max( , ) N = K N1 ，当 n  N 时有 1 1 N n N N +  +   −  − + −   +  =  + + | | | | | | / 2 / 2 1 1 a a a a a a n n nN nN , 故 an a k = → lim Cauchy 列、基本列（满足 Cauchy 收敛准则的数列） Cauchy 收敛准则的另一表示形式：   0，N ，当 n  N 时，对 P +   = Z 有 −   + | | an P an . (三) 说明 1、auchy 收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题