《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 2、auchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到 后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意 小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起 3、auchy准则把c-N定义中a.与a的之差换成an与a.之差.其好处在于无需借助数列以 外的数ā，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性 例如数列a,满足la-a,上gla,-al(n=2.3)且0<g<1,证明数列a,收 敛 证明令x3-x卡c>0. |al-a sqla-an-i|≤g|a-1-an-2s.≤g-lx-xl amp-a anp-a+la-amp21++lam-a sc(g+p-2+gm-3++g-)=cg-(1+q+.+g-) 1-9. K-e N=1+ E>0,(不妨 0<6<1-4),取 n9,则当>N时，对任给自然数P有 lo.k ·故由Cauchy收敛准则知数列x,}收敛 制证项数别。1+宁.片发数 证明要证：3>0，对N,必有m>N,%>N使得a一a上。 a.-a2+nd明 1 设m>n则 《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 5 2、auchy 收敛准则的条件称为Ｃauchy 条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到 后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意 小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起. 3、auchy 准则把  −N 定义中 n a 与 a 的之差换成 n a 与 ma 之差.其好处在于无需借助数列以 外的数 a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性. 例 如数列 { }n a 满足 | | | | an+1 − an  q an − an−1 （ n = 2,3,  ）且 0  q  1 ，证明数列 { }n a 收 敛. 证明 令 | x2 − x1 |= c  0， | | | | an+1 − an  q an − an−1 2 1 1 2 2 1 | | | | n n n q a a q x x −  −   − − − | | | | | | | |  an+ p − an  an+ p − an+ p−1 + an+ p−1 − an+ p−2 ++ an+1 − an ( ) + −2 + −3 −1  + + + n p n p n c q q  q (1 ) −1 −1 = + + + n p cq q  q q q c n −  − 1 1 .   0 ，（不妨设 q c −   1 0  ），取 ] ln ) 1 ln( [1 q c q N  − = + ，则当 n  N 时，对任给自然数 p 有   − −  − + q cq a a n n p n 1 | | 1 .故由 Cauchy 收敛准则知数列 { }n x 收敛. 例 证明数列 n an 1 2 1 = 1+ ++ 发散. 证明 要证：  0  0 ，对 N ，必有 m0  N ， 0 n N 使得 0 | | 0 0 −   am an 设 m  n 则 ( ) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 | | n n m n n n m n am an + − + + + + + + + = + + + − =   m n m m n m m m = − −  + + + = 1 1 1 1 