《数学分析》上厨教案 第二章数列极限 海南大学数学系 因此，如m=2n,则lan-aE1-1/2=1/2 这样，对，=12，不管N多大，如取=N+1,m=2则m>N,%>N 且1a-ae1-1-2=三，这说明a}不是一个Cacy数列 (四)应用 例5证明：任一无限十进小数=0.b,b,b.(0<a<1的不足近似值所组成的数列 收敛.其中b,(i=1,2,.9)是0,1，.，9中的数. 正明令=合合+叶有 以，=合哈.司 例6设0<q<l,xn=qsinq+g2snVg++g”snG.试证明数列(xn}收敛. 关于侵限回+=c(:=27川2)的证明围在下节进行。 ?” + 例8+)”， - 例9=3a 作业教材P38-391,3,5,6,10,11: 教材P40-411(1)(3),3,4(1)-3)(6)(8),5,10. (383(④提示：考定6，=士用双适原理可求得么→1)《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 6 因此，如 m = 2n ，则 | | 1 1/ 2 1/ 2 m n a a −  − = . 这样，对  0 = 1/ 2 ，不管 N 多大，如取 n0 = N +1 ， m0 = 2n0 则 m0  N ， 0 n N 且 2 1 2 1 | | 1 1 0 0 0 0 −  − = − = m n am an ，这说明 { }n a 不是一个 Cauchy 数列. （四） 应用 例 5 证明: 任一无限十进小数 0. (0 1)  = b1b2 bn    的不足近似值所组成的数列 , 10 10 10 , , 10 10 , 10 2 1 2 2 1 1 2   n n  b b b b b b + + + + 收敛. 其中 b (i =1,2,  ,9 ) i 是 0,1,  ,9 中的数. 证明 令 an = , 10 10 10 2 1 2 n b b bn + ++ 有       − = + + +  + + + + + − + + + + + + 2 1 1 2 1 1 10 1 10 1 1 10 9 10 10 10n p n p n p n n n n n p n b b b a a   1 10 9 + = n ( ) . 1 10 1 1 (0.1) 10 1 1 0.1 1 (0.1) n n p n p = −   − − . 例 6 设 0 1, sin sin sin . 2 n n  q  xn = q q + q q ++ q q 试证明数列{ }n x 收敛. 关于极限 1 lim 1 n n e → n     + =   ( e  2.71828 ) 的 证明留在下节进行. 例 7 . 1 , lim 1 1 lim 1 kn n n k n n n        +      + → + → 例 8 . 2 1 , lim 1 1 lim 1 , lim 1 3n n n n n k n n n n c        −       −      + → → + → 例 9 . 2 1 2 3 lim n n n n       + − → 作业 教材 P38—39 1，3，5，6，10，11； 教材 P40—41 1（1）（3），3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10. （P38 3（4）提示：考虑 , 1 n n a b = 用双逼原理可求得 →1, bn ）