《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 附数列气：》门单请有果正法欣武 Cauchy(1789一1857）最先给出这一极限，Riemann(1826一1866)最先给出以下证法一， 证法-（iCmm最先给出这一正法）设多-气+应用=项式晨环，得 =1+n片g-是+-Wa-22++a-32, =1+0-0-引+北-引》 10动0-nf} 注到-}引.(- 且此x多一项a-0 →x1>x,即xn☑ 0<141+分号+01+1+2ta2 11-引合》一（月》1*11-3有界 综上，数列{xn}单调有界 评注该证法朴素而稳健，不失大将风度 证法二（利用Bernoulli不等式） 注意到Bernoulli不等式(1+x)”21+x,(x>-l,n为正整数)，有 1 -+ (w 由a+少>-利用Bernou1i不等式，有 《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 7 附 数列               + n n 1 1 单调有界证法欣赏: Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一. 证法一 （ Riemann 最先给出这一证法 ） 设 . 1 1 n n n x       = + 应用二项式展开，得 = +  + n xn n 1 1  + + − −  + − 2 3  1 3! 1 ( 1)( 2) 2! ( 1) n n n n n n n n n n n n 1 ! ( 1) 3 2 1  −          −  −       −       + + −       −       + −      = + + − n n n n n n n n 1 1 2 1 1 1 ! 2 1 1 1 1 3! 1 1 1 2! 1 1 1   ， 2! 1 xn+1 = 1+1+  +      +  −      +  + −      + − 1 2 1 1 1 1 3! 1 1 1 1 n n n + ( 1)! 1 n + ; 1 1 1 1 1       +  −      + − n n n  注意到 , 1 1 1 1 1       +   −      − n n , 1 2 1 2 1       +   −      − n n . 1 1 1 1 , 1       + −   −      − − n n n n  且 n+1 x 比 n x 多一项 ( 1)! 1 n + 0, 1 1 1 1 1        +  −      + − n n n  , n 1 n  x  x + 即 n x ↗. n n n xn ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 1 1 ! 1 3! 1 2! 1 0 1 1 − + +  +    + + + ++  + +  n x n n n 3. 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1  = + + −        − −  + +       + −      = + + −  有界. 综上, 数列{ n x }单调有界. 评注 该证法朴素而稳健, 不失大将风度. 证法二 ( 利用 Bernoulli 不等式 ) 注意到 Bernoulli 不等式 x nx x n n (1+ ) 1+ , (  −1, 为正整数 ), 有 =       +       + + = + + n n n n n n x x 1 1 1 1 1 1 1 n n n n             + + +       + + 1 1 1 1 1 1 1 1 =         + + +       + = + n n n n n n 2 1 2 1 1 1 2 2 , ( 1) 1 1 1 1 1 2 n n n       +  −      + = + 由 1, ( 1) 1 2  − + − n 利用 Bernoulli 不等式,有