《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 兰+x品1 为证上方有界、考虑数列元-气+”，可类证.八事实上 yn= +示2”≥牛+)此处利用了mui不等式) t4n+4n+!>1 n3+4n2+4n 显然有x<y.→m,有x,<y,≤.≤片=4即数列(y}有上界 评注该证法的特点是惊而无险，恰到好处 正法三（利用均值不等式）在均位不等式0a,口空a,a,>0 中令4=4=.=0=1+。=山就有 ”1s-g →x1≤xn,即xn/. 令4=a1-点2可份上送得23时气-}(-时无意 义，n=2时诸a,=0,不能用均值不等式.）当n22时，由《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 8 1. 3 3 1 3 3 2 ( 1) 1 1 1 1 3 2 3 2 2 1  + + + + + + =        +  −      +  + + n n n n n n n n x n x n n n  x ↗. 为证{ n x }上方有界, 考虑数列 . 1 1 +1       = + n n n y 可类证 n y ↘. 事实上, = n+1 n y y =       + +       + + + 2 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +             + + + + + n n n n 1 2 2 2 2 1 2 1 +         + + + + + = n n n n n n n       + + + + +        + + + + = + n n n n n n n n n n 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 (此处利用了 Bernoulli 不等式 ) n y n n n n n n 1, 4 4 4 4 1 3 2 3 2   + + + + + = ↘. 显然有 x y . n, n  n   有 4. xn  yn  y1 = 即数列{ n y }有上界. 评注 该证法的特点是惊而无险，恰到好处. 证 法 三 ( 利 用 均 值 不 等 式 ) 在 均 值 不 等 式 , ( 0) 1 1 1 2    = i n i i n n a a n a a a 中, 令 , 1, 1 1 1 2 1 1 = − = = = n− = + an n a a  a 就有 , 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x n n n n n n x  =      = + = +        +      −    − +      − = − − − , n 1 n  x  x − 即 n x ↗. 令 , 1, 1 1 1 2 1 1 = − = = = n− = − an n a a  a 可仿上证得 n  3 时               − n n 1 1 ↗, ( n =1 时无意 义, n = 2 时诸 i a = 0 , 不能用均值不等式. ) 当 n  2 时, 由 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 1 , 1 1 n n n n n       + − = −   +     −