《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 1 1 - 评注该证法很奇巧.以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4P22 证法四（仍利用均值不等式） -+别 n+1 .→xn<x,即xn 有界性证法可参阅上述各证法， 评注该证法以简单而奇妙见长.证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1马德尧 文“均值不等式妙用两则” 证法五先证明：对0≤a<b和正整数n,有不等式 a<(n+)b" b-a 事实上， 6-a=b-oX6+ba++bam+a=b+6a+.+b加-+a<(n+b b-a b-a 该不等式又可变形为 b[【n+1)a-nb<a,(0≤a<b,n为正整数) 在此不等式中，取a=1+ n+1 6=1+则有0a<就有 《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 9 . 1 1 1 1 1 n n n n       −         + 由 n n       − 1 1 ↗ n n       −  1 1 1 ↘. 2 2 1 1 1       −  xn  < 4. 评注 该证法很奇巧. 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P22. 证法四 ( 仍利用均值不等式 )   n个 n n n n n        +       +       = +      + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . , 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + +         +  = +      + + =             +  +      +  n n n n n x x n n n n n n 即 n x ↗. 有界性证法可参阅上述各证法. 评注 该证法以简单而奇妙见长. 证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1 马德尧 文“均值不等式妙用两则”. 证法五 先证明：对 0  a  b 和正整数 n ，有不等式 ( 1) . 1 1 n n n n b b a b a  + − − + + 事实上， = − − + + + + = − − + + − − b a b a b b a ba a b a b a n 1 n 1 n n 1 n 1 n ( )(  n n n n b + b a + + ba + a −1  −1 < ( 1) . n n + b 该不等式又可变形为 ( 1)  , +1 + −  n n b n a nb a ( 0  a  b, n 为正整数 ) 在此不等式中, 取 , 1 , 1 1 1 1 n b n a = + + = + 则有 0  a  b, 就有