解451=15→a+2 A=5-33 b=0 p(4)=(A+1)3=0→A1=2=43=-1 101 A-(-1)E=5-23→011:rank(A-(-1)E)=2 由此可得:对应特征值λ=-1只有1个线性无关的特征向量,而特征 方程的基础解系为51=1|,全体特征向量为x=k51(k1≠0 例9设方阵A的特征值λ1≠λ2,对应的特征向量分别为x1,x2,证明: (1)x1-x2不是A的特征向量 (2)x1,x1-x2线性无关 证(1)反证法.若A(x1-x2)=(x1-x2),则 λ1x1-2x2=A(x1-x2)→(1-1)x1+(-2)x2=0 λ≠2→x1,x2线性无关→1=λ=2矛盾! 故x1-x2不是A的特征向量 (2)设数组k1,k2使得k1x1+k2(x1-x2)=0,则 (k1+k2)x1+(-k2)x2=0 λ≠2→x1,x2线性无关→k1+k2=0,-k2=0 即k1=0,k2=0.故x1,x1-x2线性无关6 解 A 1 = 1       = = − = −            − =           + + − 0 3 1 1 2 1 b a b a               − − − − = 1 0 2 5 3 3 2 1 2 A ( ) ( 1) 0 3   =  + =  1 = 2 = 3 = −1           →           − − − − − − = 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 5 2 3 3 1 2 ( 1) 行 A E ： rank (A − (−1)E) = 2 由此可得：对应特征值  = −1 只有 1 个线性无关的特征向量, 而特征 方程的基础解系为           − = 1 1 1  1 , 全体特征向量为 ( 0) x = k1 1 k1  ． 例 9 设方阵 A 的特征值 1  2 , 对应的特征向量分别为 1 2 x , x , 证明： (1) x1 − x2 不是 A 的特征向量； (2) 1 x , x1 − x2 线性无关． 证 (1) 反证法．若 ( ) ( ) A x1 − x2 =  x1 − x2 , 则 ( ) 1 x1 − 2 x2 =  x1 − x2  (1 − )x1 + ( − 2 )x2 = 0 1  2  1 2 x , x 线性无关  1 =  = 2 矛盾！ 故 x1 − x2 不是 A 的特征向量． (2) 设数组 1 2 k ,k 使得 k1 x1 + k2 (x1 − x2 ) = 0 , 则 (k1 + k2 )x1 + (−k2 )x2 = 0 1  2  1 2 x , x 线性无关  k1 + k2 = 0, − k2 = 0 即 k1 = 0, k2 = 0 ．故 1 x , x1 − x2 线性无关．