例7f(x1,x2,x3)=5x2+5x2+cx3-2x1x2+6x1x3-6x2x3,秩(f)=2 (1)求 (2)用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形 解(1)∫的矩阵A=-15-3(显见mnkA≥2) rank4=2→detA=0→c=3 -13 4-4-0 (2)p(1)=-15--3 3 4-0 16-a (-4)(λ-9) λ1=0,42=4,43=9的特征向量依次为 P1=1,P2=1,P3=-1(两两正交) 正交矩阵Q=1/61/2-1 正交变换x=Qy 标准形∫=0y2+4y2+9y 例8设A=5a3的一个特征向量为51=1,求数a,b及A的 全体特征值与特征向量5 例 7 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 5x1 + 5x + c x − 2x x + 6x x − 6x x ,秩 ( f ) = 2． (1) 求 c ； (2) 用正交变换化 ( , , ) x1 x2 x3 f 为标准形． 解 (1) f 的矩阵           − − − − = c A 3 3 1 5 3 5 1 3 （显见 rankA 2 ） rankA = 2 detA = 0 c = 3 (2)          − − − − − − − = − − − − − − − = + 3 3 3 1 5 3 4 4 0 3 3 3 1 5 3 5 1 3 ( ) 1 2 r r ( 4)( 9) 3 6 3 1 6 3 4 0 0 2 1 = − − − − − − − − − = −       c c 1 = 0, 2 = 4, 3 = 9 的特征向量依次为          − = 2 1 1 p1 ,           = 0 1 1 p2 ,           = − 1 1 1 p3 （两两正交） 正交矩阵           − − = 2 6 0 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 Q 正交变换 x = Q y 标准形 2 3 2 2 2 f = 0 y1 + 4 y + 9 y 例 8 设           − − − = 1 2 5 3 2 1 2 b A a 的一个特征向量为           − = 1 1 1  1 , 求数 a,b 及 A 的 全体特征值与特征向量．