1-13 2 列0-2 0-2-1-4 000c-2 (1)c#2: rankA= rank B=4 B的12,3,4列线性无关→A的1,2,3,4列线性无关 故a1,a2a3,a是T的一个最大无关组; (2)c=2: rankA= rank B=3 B的1,2,3列线性无关→A的1,2,3列线性无关 故a1,a2,ax3是T的一个最大无关组 例6f(x1,x2,x3)=2x2+5x2+5x2+4x1x2-4x1x3-8x2x3 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形 22-21 解∫的矩阵A=25-4 A的特征多项式g()=-(2-1)2(-10) λ=2=1的两个正交的特征向量p1=1,P2=-1 3=10的特征向量n3=2 正交矩阵Q=1/2-1/322/3 2/3 正交变换x=Qy:标准形∫=y2+y2+104             − − − − − − − − → 0 0 9 2 0 0 7 0 0 2 1 4 1 1 3 2 c c 列 B c =             − − − − − − − → 0 0 0 2 0 0 7 0 0 2 1 4 1 1 3 2 列 (1) c  2 ： rankA= rankB = 4 B 的 1,2,3,4 列线性无关  A 的 1,2,3,4 列线性无关 故 1 2 3 4  , , , 是 T 的一个最大无关组； (2) c = 2 ： rankA= rankB = 3 B 的 1,2,3 列线性无关  A 的 1,2,3 列线性无关 故 1 2 3  , , 是 T 的一个最大无关组． 例 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 5x + 5x + 4x x − 4x x − 8x x 用正交变换化 ( , , ) x1 x2 x3 f 为标准形． 解 f 的矩阵           − − − − = 2 4 5 2 5 4 2 2 2 A A 的特征多项式 ( ) ( 1) ( 10) 2   = −  −  − 1 = 2 = 1 的两个正交的特征向量           = 1 1 0 1 p ,           = − 1 1 4 p2  3 = 10 的特征向量           − = 2 2 1 p3 正交矩阵           − = − 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2 3 0 4 3 2 1 3 Q 正交变换 x = Q y ：标准形 2 3 2 2 2 f = y1 + y + 10 y