第6期 梁美社，等：广义优势多粒度直觉模糊粗糙集及规则获取 ·885· 势关系，其中AV.(闭=2T,6田.N.x》+S,a,闭. 2)=6≤4=9≤5≤1 N(v(x) 3)X4=X≤3≤5≤x6=X 根据以上定义的3种优势关系，我们可以得到 4)4≤2=3=5≤6≤xo 相应的3种优势类。 结果显示，[x过多关注支持与反对的绝对差， 定义12设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， [x侧重于表达相对于属性子集B支持程度绝对 B二A,Vxy∈U,称xB为对象x的强优势类，其中 高于x的对象集合，[x侧重于表达相对于属性子 [xlis=yEU:(x.y)ERiBo 集B支持程度可能高于x的对象集合，[x“vs则侧重 类似地，将RB替换成Rs,Rs,Rs可以得到对 于表达相对于属性子集B支持程度平均高于x的对 象x的普通优势类[xs、弱优势类[xB、平均优势 象集合。若(x,a)∈U×A,都有u()+y(x)=1,则 类[xvBo [s=[xs=xB=[x原vs均为普通模糊信息系统 定理1设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， 中的优势类。 BSA,Yx,y∈U,有[xs∈[BU[xSBo 定理3设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， 证明假设y生[x]听sU[x]有y[x]听a且y[xs U={x,…,xm。对于VBA,[x是由R生成的 即T(x)>Tay)且S.(x)>S.y)。根据定义11可得 优势类，表示T,S,AV3种算子，则 AV(x)>AVy),由定义12可知y[x乐B,从而证得 1)R满足自反性和传递性： [xTAv&S [x]iU[x]SBo 2)x∈xJs台[xlS[xs: 定理2设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， 3)[xal=U[l:xE[x; AV,AV?,AV分别由常见的对偶三元组生成，对于 4)U=U [xilB: (U,A,R),U={x,x,…,xm有[xAv4B=[2B=[vs 5)[x]s=[xlg台Ta(c)=Ta(x),Ha:∈B。 证明只需要证明对于(x,a)∈U×A均有 证明我们以[x为例，只证明2)，其余均可 AVa(x)=AV(x)=AV3(x)即可。 直接由定义14直接证明。 Ag(田=2min(a(d,N(a(》+ 充分性：若∈[xlB,则对于a:∈B有T4()≤ max(ua(x),N(v.(x)》= Ta();由于x∈x]昏B,则对于ya∈B有Ta(x)≤ (u(x)+N(v.(x))/2 Ta(),成立，从而x∈x]昏B,即[x]aS[x]昏B。 Ag=a(国No.+a国+ 必要性：根据Rg满足自反性有x∈[xB,由于 N(va(x))-u(x)-N(va(x)))= [x]所B≤[]匠s成立，故有x∈[x]B (ua (x)+N(va(x)))/2 2.2多粒度优势直觉模糊粗糙集 AVg(w=2max(0,.)+N.x》-1)+ 根据文献[6-9]所提出的多粒度粗糙集的思想， min(1,u(x)+v(x))))= 以下给出优势关系下直觉模糊多粒度粗糙集定义。 1 2max(0,ua()-v.G》+ 定义13设(U,A,)为一个直觉模糊信息系统， min(1,ua (x)+1-va(x))) U={x,,…,xm}。A1,A2,…,An≤A,YX∈U,[xA是 分两种情况讨论AV(x: 由，诱导产生的强优势关系类，则X在强优势关 1)若a(x)-a()≥0，min(1,a()+1-va(x》=1, 系下乐观多粒度下上近似集合分别为 max(0.u(x)-va (x))=u(x)-va (x),AV3=u (x)+ ∑=，R()={x∈U:x]fA,∈XV[fA∈ N(va(x)); XV…v[x]faX 2)若ua(x)-va(x)<0,有min(1,wa(x)+1-va(x)= ∑gRa(X)=~∑=R2(X) ua(x)+1-va(x),max(O,ua(x)-va(x))=0,AV3=ua(x)+ N(v(x),证毕。 式中~X表示集合X的补集。 例1假设一场选举中有6个候选人{x1,2,…, 序对∑，R积(X),∑R%,(X)称为强优势关系 x6,一名投票者A对6位候选人的支持意向表示为 下X的乐观直觉模糊粗糙集。 0.8,01),0.4,0.2,(0.5,0.3),(0.5,0.4),(0.6,0.4), 定义14设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， (0.4,0.1),利用定义9-定义12的优势关系，计算 U={x,2,…,xn}。A1,A2,…,An≤A,X∈U,[fa是 6位候选人优势关系如下： 由，诱导产生的强优势关系类，则X在强优势关 1)x4≤x2≤3≤x5≤x6≤x1; 系下悲观多粒度下上近似集合分别为AVa (x) = 1 2 (T (ua (x),N (va (x)))+S T (ua (x), N (va (x)))) 势关系，其中 。 根据以上定义的 3 种优势关系，我们可以得到 相应的 3 种优势类。 (U,A,R) B ⊆ A ∀x, y ∈ U [x] ⩽ T,B [x] ⩽ T,B = { y ∈ U : (x, y) ∈ R ⩽ T,B } 定义 12 设 为一个直觉模糊信息系统， ， ，称 为对象 x 的强优势类，其中 。 R ⩽ T,B R ⩽ f,B ,R ⩽ S,B ,R ⩽ AV,B [x] ⩽ f,B [x] ⩽ S,B [x] ⩽ AV,B 类似地，将 替换成 可以得到对 象 x 的普通优势类 、弱优势类 、平均优势 类 。 (U,A,R) B ⊆ A ∀x, y ∈ U [x] ⩽ AV,B ⊆ [x] ⩽ T,B ∪[x] ⩽ S,B 定理 1 设 为一个直觉模糊信息系统， ， ，有 。 y < [x] ⩽ T,B ∪[x] ⩽ S,B y < [x] ⩽ T,B y < [x] ⩽ S,B Ta (x) > Ta (y) S a (x) > S a (y) AVa (x) > AVa (y) y < [x] ⩽ AV,B [x] ⩽ AV,B ⊆ [x] ⩽ T,B ∪[x] ⩽ S,B 证明 假设 ，有 且 即 且 。根据定义 11 可得 ，由定义 12 可知 ，从而证得 。 (U,A,R) AV1 ,AV2 ,AV3 (U,A,R) U ={x1, x2,··· , xm} [x] ⩽ AV1,B = [x] ⩽ AV2,B = [x] ⩽ AV3,B 定理 2 设 为一个直觉模糊信息系统， 分别由常见的对偶三元组生成，对于 ， 有 。 ∀(x,a) ∈ U × A AVa 1 (x) = AVa 3 (x) = AVa 3 (x) 证 明 只需要证明对于 均 有 即可。 AV1 a (x) = 1 2 (min(ua (x),N (va (x)))+ max(ua (x),N (va (x)))) = (ua (x)+N (va (x))) /2 AV2 a (x) = 1 2 (ua (x)·N (va (x))+ua (x)+ N (va (x))−ua (x)·N (va (x))) = (ua (x)+N (va (x))) /2 AV3 a (x) = 1 2 (max(0,ua (x)+N (va (x))−1)+ min(1,ua (x)+N (va (x)))) = 1 2 (max(0,ua (x)−va (x))+ min(1,ua (x)+1−va (x))) AV3 a 分两种情况讨论 (x)： ua (x)−va (x) ⩾ 0 min(1,ua (x)+1−va (x)) = 1 max(0,ua (x)−va (x)) = ua (x)−va (x) AV3 a = ua (x)+ N (va (x)) 1) 若 ， ， ，则有 ； ua (x)−va (x) < 0 min(1,ua (x)+1−va (x)) = ua (x)+1−va (x) max(0,ua (x)−va (x))=0 AV3 a =ua (x)+ N (va (x)) 2) 若 ，有 ， ，则 ，证毕。 {x1, x2,··· , x6} ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ 例 1 假设一场选举中有 6 个候选人 ，一名投票者 A 对 6 位候选人的支持意向表示为 0.8，0, 1 ， 0.4，0.2 ， 0.5，0.3 ， 0.5，0.4 ， 0.6，0.4 ， 0.4，0.1 ，利用定义 9~定义 12 的优势关系，计算 6 位候选人优势关系如下： 1) x4 ⩽ x2 ⩽ x3 ⩽ x5 ⩽ x6 ⩽ x1； 2) x2 = x6 ⩽ x4 = x3 ⩽ x5 ⩽ x1； 3) x4 = x5 ⩽ x3 ⩽ x2 ⩽ x6 = x1； 4) x4 ⩽ x2 = x3 = x5 ⩽ x6 ⩽ x1。 [x] ⩽ f,B [x] ⩽ T,B [x] ⩽ S,B [x] ⩽ AV,B ∀(x,a) ∈ U × A µa (x)+νa (x) = 1 [x] ⩽ f,B = [x] ⩽ T,B = [x] ⩽ S,B = [x] ⩽ AV,B 结果显示， 过多关注支持与反对的绝对差， 侧重于表达相对于属性子集 B 支持程度绝对 高于 x 的对象集合， 侧重于表达相对于属性子 集 B 支持程度可能高于 x 的对象集合， 则侧重 于表达相对于属性子集 B 支持程度平均高于 x 的对 象集合。若 ，都有 ，则 均为普通模糊信息系统 中的优势类。 (U,A,R) U = {x1, x2,··· , xm} ∀B ⊆ A [x] ⩽ ·,B R ⩽ ·,B 定理 3 设 为一个直觉模糊信息系统， 。对于 ， 是由 生成的 优势类, ·表示 T，S，AV 3 种算子，则 R ⩽ 1) ·,B满足自反性和传递性； xj ∈ [xk] ⩽ ·,B ⇔ [ xj ]⩽ ·,B ⊆ [xk] ⩽ 2) ·,B； [xi] ⩽ ·,B = ∪ {[ xj ]⩽ ·,B : xj ∈ [xi] ⩽ ·,B } 3) ； U = ∪m i=1 [xi] ⩽ 4) ·,B； [xi] ⩽ ·,B = [ xj ]⩽ ·,B ⇔ Tai (xi) = Tai ( xj ) 5) ，∀ai ∈ B。 [x] ⩽ 证明 我们以 T,B为例，只证明 2)，其余均可 直接由定义 14 直接证明。 xl ∈ [ xj ]⩽ T,B ∀ai ∈ B Tai ( xj ) ⩽ Tai (xl) xj ∈ [xk] ⩽ T,B ∀ai ∈ B Tai (xk)⩽ Tai ( xj ) xl ∈ [xk] ⩽ T,B [ xj ]⩽ T,B ⊆ [xk] ⩽ T,B 充分性：若 ，则对于 有 ；由于 ，则对于 有 ，成立，从而 ，即 。 R ⩽ T,B xj ∈ [ xj ]⩽ T,B [ xj ]⩽ T,B ⊆ [xk] ⩽ T,B xj ∈ [xk] ⩽ T,B 必要性：根据 满足自反性有 ，由于 成立，故有 。 2.2 多粒度优势直觉模糊粗糙集 根据文献[6-9]所提出的多粒度粗糙集的思想， 以下给出优势关系下直觉模糊多粒度粗糙集定义。 (U,A,R) U = {x1, x2,··· , xm} A1,A2,··· ,An ⊆ A ∀X ∈ U [x] ⩽ T,Ai R ⩽ T,Ai 定义 13 设 为一个直觉模糊信息系统， 。 ， ， 是 由 诱导产生的强优势关系类，则 X 在强优势关 系下乐观多粒度下上近似集合分别为 ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (X) = { x ∈ U : [x] ⩽ T,A1 ⊆ X ∨[x] ⩽ T,A2 ⊆ X ∨ ··· ∨[x] ⩽ T,An ⊆ X } ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (X) =∼ ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (∼ X) 式中∼ X 表示集合 X 的补集。 (∑n i=1 R ⩽O T,Ai (X), ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (X) ) 序对 称为强优势关系 下 X 的乐观直觉模糊粗糙集。 (U,A,R) U = {x1, x2,··· , xm} A1,A2,··· ,An ⊆ A ∀X ∈ U [x] ⩽ T,Ai R ⩽ T,Ai 定义 14 设 为一个直觉模糊信息系统， 。 ， ， 是 由 诱导产生的强优势关系类，则 X 在强优势关 系下悲观多粒度下上近似集合分别为 第 6 期 梁美社，等：广义优势多粒度直觉模糊粗糙集及规则获取 ·885·