第12卷第6期 智能系统学报 Vol.12 No.6 2017年12月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec.2017 D0:10.11992/tis.201706034 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/cms/detail/23.1538.TP.20171109.1250.010.html 广义优势多粒度直觉模糊粗糙集及规则获取 梁美社2，米据生，赵天娜 (1.河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄050024,2.石家庄职业技术学院科技发展与校企合作部，河北 石家庄050081) 摘要：优势关系粗糙集模型是研究序信息系统中数据挖掘的主要方法。为了丰富现有优势关系粗糙集模型，使其 更加有效地应用于实际问题.本文首先在直觉模糊决策信息系统中利用三角模和三角余模定义了3种优势关系，得 到了3种优势类；其次构造了广义优势关系多粒度直觉模糊粗糙集模型，讨论了该模型的主要性质：随后给出如何从 直觉模糊决策信息系统中获取逻辑连接词为“或”的决策规则：最后通过实例说明该模型在处理直觉模糊决策序关系 信息系统时是有效的。 关键词：多粒度：粗糙集：三角模：优势关系；直觉模糊信息系统：决策规则 中图分类号：TP391文献标志码：A 文章编号：1673-4785(2017)06-0883-06 中文引用格式：梁美杜，米据生，赵天娜.广义优势多粒度直觉模糊粗糙集及规则获取J.智能系统学报，2017,12(6：883-888. 英文引用格式：LIANG Meishe,MI Jusheng,ZHAO Tianna..Generalized dominance--based multi-granularity intuitionistic fuzzy rough set and acquisition of decision rules J].CAAI transactions on intelligent systems,2017,12(6):883-888. Generalized dominance-based multi-granularity intuitionistic fuzzy rough set and acquisition of decision rules LIANG Meishe,MI Jusheng',ZHAO Tianna' (1.College of Mathematics and Information Science,Hebei Normal University,Shijiazhuang 050024,China;2.Office of Science Technology Administration,Shijiazhuang University of Applied Technology,Shijiazhuang 050081,China) Abstract:The dominance relation rough set model is the main method of data mining when researching order informa- tion systems.In this paper,we attempt to enrich the present model and make it more effective for practical problems us- ing the following methods:Firstly,defining three types of dominance relations using triangular norms and co-norms in an intuitionistic fuzzy decision information system;here,three types of dominance class were obtained;secondly,estab- lishing a generalized dominance-based multi-granularity intuitionistic fuzzy rough set model and discussing its proper- ties;thirdly,establishing the decision rules for obtaining the logic connective "OR"in the intuitionistic fuzzy decision information system;and finally,using an example to illustrate the effectiveness of the model. Keywords:multi-granularity;rough set;triangular norm;dominance relation;intuitionistic fuzzy information system; decision rules 直觉模糊集是Atanassovl-在系统研究Zadeh 隶属度和犹豫度3个方面的信息，因此在表达和处 理模糊性、不确定性等问题的时候更具灵活性和实 模糊集理论的基础上于1986年提出的。与传统Za- 用性。近年来将直觉模糊集理论561与粗糙集理论 deh模糊集相比，由于同时考虑了元素的隶属度、非 结合研究受到了广泛关注。 收稿日期：2017-06-09.网络出版日期：2017-11-09 经典的粗糙集理论-建立在一个等价关系之 基金项目：国家自然科学基金项目(61573127,61300121,61502144： 河北省自然科学基金项目(A2014205157):河北省高校 上，即处理单个粒空间上的目标近似逼近理论。考 创新团队领军人才培育计划项目(LRC022):河北师范 大学研究生创新项目基金项目(CXZZSS2017046). 虑到多个属性之间的关系可能是相互独立的，文 通信作者：梁美社.E-mail:liangmeishe@163.com. 献[9-12]从多个角度、多个层次出发，提出了多粒度
DOI: 10.11992/tis.201706034 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20171109.1250.010.html 广义优势多粒度直觉模糊粗糙集及规则获取 梁美社1,2，米据生1 ，赵天娜1 （1. 河北师范大学 数学与信息科学学院，河北 石家庄 050024; 2. 石家庄职业技术学院 科技发展与校企合作部，河北 石家庄 050081） 摘 要：优势关系粗糙集模型是研究序信息系统中数据挖掘的主要方法。为了丰富现有优势关系粗糙集模型，使其 更加有效地应用于实际问题，本文首先在直觉模糊决策信息系统中利用三角模和三角余模定义了 3 种优势关系，得 到了 3 种优势类；其次构造了广义优势关系多粒度直觉模糊粗糙集模型，讨论了该模型的主要性质；随后给出如何从 直觉模糊决策信息系统中获取逻辑连接词为“或”的决策规则；最后通过实例说明该模型在处理直觉模糊决策序关系 信息系统时是有效的。 关键词：多粒度；粗糙集；三角模；优势关系；直觉模糊信息系统；决策规则 中图分类号：TP391 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2017)06−0883−06 中文引用格式：梁美社, 米据生, 赵天娜. 广义优势多粒度直觉模糊粗糙集及规则获取[J]. 智能系统学报, 2017, 12(6): 883–888. 英文引用格式：LIANG Meishe, MI Jusheng, ZHAO Tianna. Generalized dominance-based multi-granularity intuitionistic fuzzy rough set and acquisition of decision rules[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(6): 883–888. Generalized dominance-based multi-granularity intuitionistic fuzzy rough set and acquisition of decision rules LIANG Meishe1,2 ，MI Jusheng1 ，ZHAO Tianna1 (1. College of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050024, China; 2. Office of Science & Technology Administration, Shijiazhuang University of Applied Technology, Shijiazhuang 050081, China) Abstract: The dominance relation rough set model is the main method of data mining when researching order information systems. In this paper, we attempt to enrich the present model and make it more effective for practical problems using the following methods: Firstly, defining three types of dominance relations using triangular norms and co-norms in an intuitionistic fuzzy decision information system; here, three types of dominance class were obtained; secondly, establishing a generalized dominance-based multi-granularity intuitionistic fuzzy rough set model and discussing its properties; thirdly, establishing the decision rules for obtaining the logic connective “OR” in the intuitionistic fuzzy decision information system; and finally, using an example to illustrate the effectiveness of the model. Keywords: multi-granularity; rough set; triangular norm; dominance relation; intuitionistic fuzzy information system; decision rules 直觉模糊集是 Atanassov[1-3]在系统研究 Zadeh[4] 模糊集理论的基础上于 1986 年提出的。与传统 Zadeh 模糊集相比，由于同时考虑了元素的隶属度、非 隶属度和犹豫度 3 个方面的信息，因此在表达和处 理模糊性、不确定性等问题的时候更具灵活性和实 用性。近年来将直觉模糊集理论[5-6]与粗糙集理论 结合研究受到了广泛关注。 经典的粗糙集理论[7-8]建立在一个等价关系之 上，即处理单个粒空间上的目标近似逼近理论。 考 虑到多个属性之间的关系可能是相互独立的，文 献[9-12]从多个角度、多个层次出发，提出了多粒度 收稿日期：2017−06−09. 网络出版日期：2017−11−09. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61573127，61300121，61502144)； 河北省自然科学基金项目 (A2014205157)；河北省高校 创新团队领军人才培育计划项目 (LJRC022)；河北师范 大学研究生创新项目基金项目 (CXZZSS2017046). 通信作者：梁美社. E-mail：liangmeishe@163.com. 第 12 卷第 6 期 智 能 系 统 学 报 Vol.12 No.6 2017 年 12 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec. 2017
·884· 智能系统学报 第12卷 粗糙集的概念。此后，许多学者开始了多粒度粗糙 若满足以下条件： 集的相关研究31。实际问题中，经常需要考虑描 1)NO)=1,N(1)=0(边界性)： 述对象的属性具有顺序性，如距离远近、人口密度 2)a≤b,则N(a)≥N(b)(单调性)： 等，S.Greco920等提出了基于优势关系的粗糙集模 称映射N为模糊补映射（或模糊负算子）。 型，并将该方法引入到模糊信息系统中。以往研究 若vae0,1]均有N(a)=1-a成立，称N为标准 中要么是建立在经典关系或者模糊关系上2的多粒 模糊补算子，记为No 度优势关系粗糙集，要么是考虑在单个粒度上的优 定义6241若映射T:[0,1]×0,1]→0,1，若 势直觉模糊粗糙集，并未考虑将二者结合起来研究。 Ya,b,c∈[0,1，满足以下条件： 本文主要考虑在直觉模糊语义下，通过引入三 1)T(a,1)=a(边界性)： 角模和三角余模，定义了强、弱、平均3种优势关系， 得到了与之对应的3种优势类。在此基础上提出了 2)若b≤c,则T(a,b)≤T(a,c)(单调性)： 广义优势关系多粒度直觉模糊粗糙集模型。通过讨 3)T(a,b)=T(b,a)(交换性)： 论该模型的主要性质，进而获取决策规则。 4)T(a,T(b,c)=T(T(a,b),c)(结合性)： 则称T为三角模（模）。 1预备知识 定义7241若映射S:[0,1]×0,1]→[0,1]，若 1a,bce0,1],满足以下条件： 1.1直觉模糊信息系统 定义1设U是非空集合，称A=《4a(x),va(x)川 1)S(a,0)=a(边界性)： x∈U为直觉模糊集，其中ua(x),ya(x)∈[O,1]分别为 2)若b≤c,则S(a,b)≤S(a,c)(单调性)： U中元素x属于A的隶属度和非隶属度，且对于 3)S(a,b)=S(b,a)(交换性)： YxEU满足关系式0≤4A(d)+yA()≤1。称1-uA(w)- 4)S(a,S(b,c)=S(S(a,b),c)(结合性)： ya(x)为x属于A的犹豫度或不确定度。用IFS(U)表 称S为三角模余模（余模）。 示U上全体直觉模糊子集，P(U)表示U上全体经 T和S,关于模糊补算子N满足是对偶的当且 典子集。 仅当Va,be0,1],N(T(a,b)=Sr(W(a),N(b)》或 定义2U对于任意A,B∈FS(U,即A={《uA(w), N(S,(a,b)=T(N(a),N(b),称(T,Sr,N)为对偶三元 ya(x)》x∈U,B={《s(x),ys(x)》x∈U,有： 组。常见的对偶三元组有： 1)AB台x∈U,4a(x)≤4s(x)且yA()≥Vs(x: min-max (min(a,b),max (a,b),Ns); 2)A=B台Yx∈U,4a()=4s(x,且ya(x)≥Vg(x: product-sum (ab,a+b-1,Ns ) 3)~A=(ya(x),μa(x》x∈U: Lukasiewicz (max(0,a+b-1),min(1,a+b),Ns)o 4)AnB台{ua(x)Aμg(x),ya(x)Vvs(x)r∈U 多粒度直觉模糊粗糙集 2 S)AUB台{a(x)Vμs(),Va(x)AVs(x》x∈U}o 设a=(ua,va),其中μa,yg∈[0,1，且0≤4.+y。≤1， 2.1直觉模糊信息系统中的优势关系 则称α为一个直觉模糊数。全体直觉模糊数集合记 定义8设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， 为IFN。它的得分函数s(a)=u。-v。,精确函数为 BSA,xyeU,称Rs={(x,yeU×U:f(x)≤fa). h(a)=。+va,利用得分函数和精确函数就可以给出 Ya∈B,为直觉模糊信息系统中属性子集B的普通优 比较两个直觉模糊数大小的方法。 定义322】对于ya1,a2∈NF,如果Ya,b,c∈ 势关系，其中fa(d=(ua(x),va(x)》。 定义9设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， [0,1],s(a)<s(a2),则a1<a2;如果s(a)=s(a2,且 若h(a)<h(a2),则a1<a2;若h(a)=h(a),则a1=a2o BA,Yx,y∈U,称RB={x,y)∈U×U:T(x)≤T.y) 定义4-]称(U,A,R)为一个直觉模糊信息系 Ya∈B为直觉模糊信息系统中属性子集B的强优势 统，U={x1,x2,,xn为对象集，A={a1,2,…,am}为条 关系，其中Ta(x)=T(u(x),W(a(x))。 件属性集，R为U到A的直觉模糊二元关系，即 定义10设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， R={《(x,a,4(x),y(x》I(x,a)∈U×AU{d}。其中μa: BA,Yx,y∈U,称RB={(xy)∈U×U:S.(x)≤Say), U×A→0,1]，y。:0×A→[0,1]，且满足y(x,a)∈U×A, Ya∈B)为直觉模糊信息系统中属性子集B的弱优势 0≤(x)+y.(x)≤1。本文中记U×A上的直觉模糊关 关系，其中S。(x)=S((x),N(w(x)。 系全体为FR(U×A)。 定义11设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， 1.2三角模算子 B≤A,Yx,y∈U,称RB={x,y)∈UXU:AV.()≤AV.), 定义52] 若映射N:[0,1]→[0,1，Ya,b∈[0,1] Ya∈B)为直觉模糊信息系统中属性子集B的平均优
粗糙集的概念。 此后，许多学者开始了多粒度粗糙 集的相关研究[13-18]。 实际问题中，经常需要考虑描 述对象的属性具有顺序性，如距离远近、人口密度 等，S. Greco[19-20]等提出了基于优势关系的粗糙集模 型，并将该方法引入到模糊信息系统中。以往研究 中要么是建立在经典关系或者模糊关系上[21]的多粒 度优势关系粗糙集，要么是考虑在单个粒度上的优 势直觉模糊粗糙集，并未考虑将二者结合起来研究。 本文主要考虑在直觉模糊语义下，通过引入三 角模和三角余模，定义了强、弱、平均 3 种优势关系， 得到了与之对应的 3 种优势类。在此基础上提出了 广义优势关系多粒度直觉模糊粗糙集模型。通过讨 论该模型的主要性质，进而获取决策规则。 1 预备知识 1.1 直觉模糊信息系统 A={⟨µA (x),νA (x)⟩| x ∈ U} µA (x) νA (x) ∈ [0,1] ∀x ∈ U 0 ⩽ µA (x)+νA (x) ⩽ 1 1−µA (x)− νA (x) IFS(U) P(U) 定义 1 [1-3] 设 U 是非空集合，称 为直觉模糊集，其中 ， 分别为 U 中元素 x 属于 A 的隶属度和非隶属度，且对于 满足关系式 。称 为 x 属于 A 的犹豫度或不确定度。用 表 示 U 上全体直觉模糊子集， 表示 U 上全体经 典子集。 A,B ∈ IFS(U) A={⟨µA (x), νA (x)⟩ |x ∈ U },B = {⟨µB (x),νB (x)⟩ |x ∈ U } 定义 2 [1] 对于任意 ，即 ，有： 1) A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ U，µA (x) ⩽ µB (x) 且νA (x) ⩾ νB (x) ； 2) A=B ⇔ ∀x ∈ U，µA (x) = µB (x) ，且νA (x)⩾νB (x) ； 3) ∼ A = {⟨νA (x), µA (x)⟩ |x ∈ U } ； 4) A∩ B ⇔ {⟨µA (x)∧µB (x),νA (x)∨νB (x)⟩ |x ∈ U } ； 5) A∪ B ⇔ {⟨µA (x)∨µB (x),νA (x)∧νB (x)⟩ |x ∈ U }。 α = (uα, vα) µα νβ ∈ [0,1] 0 ⩽ µα +να ⩽ 1 s(α) = uα −vα h(α) = uα +vα 设 ，其中 ， ，且 ， 则称 α 为一个直觉模糊数。全体直觉模糊数集合记 为 IFN。它的得分函数 ，精确函数为 ，利用得分函数和精确函数就可以给出 比较两个直觉模糊数大小的方法。 ∀α1, α2 ∈ INF ∀a, b, c ∈ s(α1) < s(α2) α1 < α2 s(α1) = s(α2) h(α1) < h(α2) α1 < α2 h(α1) = h(α2) α1 =α2 定义 3 [ 2 2 ] 对于 ，如果 [0，1]， ，则 ；如果 ，且 若 ，则 ；若 ，则 。 (U,A,R) U = {x1, x2,··· , xn} A = {a1,a2,··· ,am} R = {⟨(x,a), µa (x),νa (x)⟩ |(x,a) ∈ U × A∪{d} } µa : U × A → [0,1],νa : U × A → [0,1] ∀(x,a) ∈ U × A 0 ⩽ µa (x)+νa (x) ⩽ 1 U × A IFR(U × A) 定义 4 [1-3] 称 为一个直觉模糊信息系 统， 为对象集， 为条 件属性集，R 为 U 到 A 的直觉模糊二元关系，即 。其中 ，且满足 ， 。本文中记 上的直觉模糊关 系全体为 。 1.2 三角模算子 定义 5 N : [0,1] → [0,1] ∀a,b ∈ [0,1] [23] 若映射 ， 若满足以下条件： 1) N (0) = 1，N (1) = 0 (边界性)； 2) a ⩽ b ，则 N (a) ⩾ N(b) (单调性)； 称映射 N 为模糊补映射 (或模糊负算子)。 若 ∀a ∈ [0,1] 均有 N (a) = 1−a成立，称 N 为标准 模糊补算子，记为 Ns。 T : [0,1] × [0,1] → [0,1] ∀a,b, c ∈ [0,1] 定义 6 [ 2 4 ] 若映射 ，若 ，满足以下条件： 1) T (a,1) = a (边界性)； 2) 若 b ⩽ c，则 T (a,b) ⩽ T (a, c) (单调性)； 3) T (a,b)=T (b,a) (交换性)； 4) T (a,T (b, c))=T (T (a,b), c) (结合性)； 则称 T 为三角模 (t-模)。 S : [0,1] × [0,1] → [0,1] ∀a,b, c ∈ [0,1] 定义 7 [ 2 4 ] 若映射 ，若 ，满足以下条件： 1) S (a,0) = a (边界性)； 2) 若 b ⩽ c，则 S (a,b) ⩽ S (a, c) (单调性)； 3) S (a,b)=S (b,a) (交换性)； 4) S (a,S (b, c))=S (S (a,b), c) (结合性)； 称 S 为三角模余模 (t-余模)。 ∀a,b ∈ [0,1] N (T (a,b)) = S T (N (a),N (b)) N (S T (a,b)) = T (N (a),N (b)) (T,S T ,N) T 和 ST 关于模糊补算子 N 满足是对偶的当且 仅 当 ， 或 ，称 为对偶三元 组。常见的对偶三元组有： • min-max : (min(a,b),max(a,b),NS ) ； • product-sum : (ab,a+b−1,NS ) ； • Lukasiewicz : (max(0,a+b−1),min(1,a+b),NS )。 2 多粒度直觉模糊粗糙集 2.1 直觉模糊信息系统中的优势关系 (U,A,R) B ⊆ A ∀x, y ∈ U R ⩽ f,B = {(x, y) ∈ U ×U : fa (x) ⩽ fa (y), ∀a ∈ B} fa (x) = ⟨ua (x), va (x)⟩ 定义 8 设 为一个直觉模糊信息系统， ， ，称 为直觉模糊信息系统中属性子集 B 的普通优 势关系，其中 。 (U,A,R) B ⊆ A ∀x, y ∈ U R ⩽ T,B = {(x, y) ∈ U ×U : Ta (x) ⩽ Ta (y), ∀a ∈ B} Ta (x) = T (ua (x),N (va (x))) 定义 9 设 为一个直觉模糊信息系统， ， ，称 为直觉模糊信息系统中属性子集 B 的强优势 关系, 其中 。 (U,A,R) B ⊆ A ∀x, y ∈ U R ⩽ S,B = {(x, y) ∈ U ×U : S a (x) ⩽ S a (y), ∀a ∈ B} S a (x) = S (ua (x),N (va (x))) 定义 10 设 为一个直觉模糊信息系统， ， ，称 为直觉模糊信息系统中属性子集 B 的弱优势 关系，其中 。 (U,A,R) B⊆A ∀x, y∈U R ⩽ AV,B={(x, y)∈U×U : AVa(x)⩽AVa (y), ∀a ∈ B} 定义 11 设 为一个直觉模糊信息系统， ， ，称 为直觉模糊信息系统中属性子集 B 的平均优 ·884· 智 能 系 统 学 报 第 12 卷
第6期 梁美社，等：广义优势多粒度直觉模糊粗糙集及规则获取 ·885· 势关系，其中AV.(闭=2T,6田.N.x》+S,a,闭. 2)=6≤4=9≤5≤1 N(v(x) 3)X4=X≤3≤5≤x6=X 根据以上定义的3种优势关系，我们可以得到 4)4≤2=3=5≤6≤xo 相应的3种优势类。 结果显示，[x过多关注支持与反对的绝对差， 定义12设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， [x侧重于表达相对于属性子集B支持程度绝对 B二A,Vxy∈U,称xB为对象x的强优势类，其中 高于x的对象集合，[x侧重于表达相对于属性子 [xlis=yEU:(x.y)ERiBo 集B支持程度可能高于x的对象集合，[x“vs则侧重 类似地，将RB替换成Rs,Rs,Rs可以得到对 于表达相对于属性子集B支持程度平均高于x的对 象x的普通优势类[xs、弱优势类[xB、平均优势 象集合。若(x,a)∈U×A,都有u()+y(x)=1,则 类[xvBo [s=[xs=xB=[x原vs均为普通模糊信息系统 定理1设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， 中的优势类。 BSA,Yx,y∈U,有[xs∈[BU[xSBo 定理3设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， 证明假设y生[x]听sU[x]有y[x]听a且y[xs U={x,…,xm。对于VBA,[x是由R生成的 即T(x)>Tay)且S.(x)>S.y)。根据定义11可得 优势类，表示T,S,AV3种算子，则 AV(x)>AVy),由定义12可知y[x乐B,从而证得 1)R满足自反性和传递性： [xTAv&S [x]iU[x]SBo 2)x∈xJs台[xlS[xs: 定理2设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， 3)[xal=U[l:xE[x; AV,AV?,AV分别由常见的对偶三元组生成，对于 4)U=U [xilB: (U,A,R),U={x,x,…,xm有[xAv4B=[2B=[vs 5)[x]s=[xlg台Ta(c)=Ta(x),Ha:∈B。 证明只需要证明对于(x,a)∈U×A均有 证明我们以[x为例，只证明2)，其余均可 AVa(x)=AV(x)=AV3(x)即可。 直接由定义14直接证明。 Ag(田=2min(a(d,N(a(》+ 充分性：若∈[xlB,则对于a:∈B有T4()≤ max(ua(x),N(v.(x)》= Ta();由于x∈x]昏B,则对于ya∈B有Ta(x)≤ (u(x)+N(v.(x))/2 Ta(),成立，从而x∈x]昏B,即[x]aS[x]昏B。 Ag=a(国No.+a国+ 必要性：根据Rg满足自反性有x∈[xB,由于 N(va(x))-u(x)-N(va(x)))= [x]所B≤[]匠s成立，故有x∈[x]B (ua (x)+N(va(x)))/2 2.2多粒度优势直觉模糊粗糙集 AVg(w=2max(0,.)+N.x》-1)+ 根据文献[6-9]所提出的多粒度粗糙集的思想， min(1,u(x)+v(x))))= 以下给出优势关系下直觉模糊多粒度粗糙集定义。 1 2max(0,ua()-v.G》+ 定义13设(U,A,)为一个直觉模糊信息系统， min(1,ua (x)+1-va(x))) U={x,,…,xm}。A1,A2,…,An≤A,YX∈U,[xA是 分两种情况讨论AV(x: 由，诱导产生的强优势关系类，则X在强优势关 1)若a(x)-a()≥0，min(1,a()+1-va(x》=1, 系下乐观多粒度下上近似集合分别为 max(0.u(x)-va (x))=u(x)-va (x),AV3=u (x)+ ∑=，R()={x∈U:x]fA,∈XV[fA∈ N(va(x)); XV…v[x]faX 2)若ua(x)-va(x)<0,有min(1,wa(x)+1-va(x)= ∑gRa(X)=~∑=R2(X) ua(x)+1-va(x),max(O,ua(x)-va(x))=0,AV3=ua(x)+ N(v(x),证毕。 式中~X表示集合X的补集。 例1假设一场选举中有6个候选人{x1,2,…, 序对∑，R积(X),∑R%,(X)称为强优势关系 x6,一名投票者A对6位候选人的支持意向表示为 下X的乐观直觉模糊粗糙集。 0.8,01),0.4,0.2,(0.5,0.3),(0.5,0.4),(0.6,0.4), 定义14设(U,A,R)为一个直觉模糊信息系统， (0.4,0.1),利用定义9-定义12的优势关系，计算 U={x,2,…,xn}。A1,A2,…,An≤A,X∈U,[fa是 6位候选人优势关系如下： 由，诱导产生的强优势关系类，则X在强优势关 1)x4≤x2≤3≤x5≤x6≤x1; 系下悲观多粒度下上近似集合分别为
AVa (x) = 1 2 (T (ua (x),N (va (x)))+S T (ua (x), N (va (x)))) 势关系，其中 。 根据以上定义的 3 种优势关系，我们可以得到 相应的 3 种优势类。 (U,A,R) B ⊆ A ∀x, y ∈ U [x] ⩽ T,B [x] ⩽ T,B = { y ∈ U : (x, y) ∈ R ⩽ T,B } 定义 12 设 为一个直觉模糊信息系统， ， ，称 为对象 x 的强优势类，其中 。 R ⩽ T,B R ⩽ f,B ,R ⩽ S,B ,R ⩽ AV,B [x] ⩽ f,B [x] ⩽ S,B [x] ⩽ AV,B 类似地，将 替换成 可以得到对 象 x 的普通优势类 、弱优势类 、平均优势 类 。 (U,A,R) B ⊆ A ∀x, y ∈ U [x] ⩽ AV,B ⊆ [x] ⩽ T,B ∪[x] ⩽ S,B 定理 1 设 为一个直觉模糊信息系统， ， ，有 。 y Ta (y) S a (x) > S a (y) AVa (x) > AVa (y) y < [x] ⩽ AV,B [x] ⩽ AV,B ⊆ [x] ⩽ T,B ∪[x] ⩽ S,B 证明 假设 ，有 且 即 且 。根据定义 11 可得 ，由定义 12 可知 ，从而证得 。 (U,A,R) AV1 ,AV2 ,AV3 (U,A,R) U ={x1, x2,··· , xm} [x] ⩽ AV1,B = [x] ⩽ AV2,B = [x] ⩽ AV3,B 定理 2 设 为一个直觉模糊信息系统， 分别由常见的对偶三元组生成，对于 ， 有 。 ∀(x,a) ∈ U × A AVa 1 (x) = AVa 3 (x) = AVa 3 (x) 证 明 只需要证明对于 均 有 即可。 AV1 a (x) = 1 2 (min(ua (x),N (va (x)))+ max(ua (x),N (va (x)))) = (ua (x)+N (va (x))) /2 AV2 a (x) = 1 2 (ua (x)·N (va (x))+ua (x)+ N (va (x))−ua (x)·N (va (x))) = (ua (x)+N (va (x))) /2 AV3 a (x) = 1 2 (max(0,ua (x)+N (va (x))−1)+ min(1,ua (x)+N (va (x)))) = 1 2 (max(0,ua (x)−va (x))+ min(1,ua (x)+1−va (x))) AV3 a 分两种情况讨论 (x)： ua (x)−va (x) ⩾ 0 min(1,ua (x)+1−va (x)) = 1 max(0,ua (x)−va (x)) = ua (x)−va (x) AV3 a = ua (x)+ N (va (x)) 1) 若 ， ， ，则有 ； ua (x)−va (x) < 0 min(1,ua (x)+1−va (x)) = ua (x)+1−va (x) max(0,ua (x)−va (x))=0 AV3 a =ua (x)+ N (va (x)) 2) 若 ，有 ， ，则 ，证毕。 {x1, x2,··· , x6} ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ 例 1 假设一场选举中有 6 个候选人 ，一名投票者 A 对 6 位候选人的支持意向表示为 0.8，0, 1 ， 0.4，0.2 ， 0.5，0.3 ， 0.5，0.4 ， 0.6，0.4 ， 0.4，0.1 ，利用定义 9~定义 12 的优势关系，计算 6 位候选人优势关系如下： 1) x4 ⩽ x2 ⩽ x3 ⩽ x5 ⩽ x6 ⩽ x1； 2) x2 = x6 ⩽ x4 = x3 ⩽ x5 ⩽ x1； 3) x4 = x5 ⩽ x3 ⩽ x2 ⩽ x6 = x1； 4) x4 ⩽ x2 = x3 = x5 ⩽ x6 ⩽ x1。 [x] ⩽ f,B [x] ⩽ T,B [x] ⩽ S,B [x] ⩽ AV,B ∀(x,a) ∈ U × A µa (x)+νa (x) = 1 [x] ⩽ f,B = [x] ⩽ T,B = [x] ⩽ S,B = [x] ⩽ AV,B 结果显示， 过多关注支持与反对的绝对差， 侧重于表达相对于属性子集 B 支持程度绝对 高于 x 的对象集合， 侧重于表达相对于属性子 集 B 支持程度可能高于 x 的对象集合， 则侧重 于表达相对于属性子集 B 支持程度平均高于 x 的对 象集合。若 ，都有 ，则 均为普通模糊信息系统 中的优势类。 (U,A,R) U = {x1, x2,··· , xm} ∀B ⊆ A [x] ⩽ ·,B R ⩽ ·,B 定理 3 设 为一个直觉模糊信息系统， 。对于 ， 是由 生成的 优势类, ·表示 T，S，AV 3 种算子，则 R ⩽ 1) ·,B满足自反性和传递性； xj ∈ [xk] ⩽ ·,B ⇔ [ xj ]⩽ ·,B ⊆ [xk] ⩽ 2) ·,B； [xi] ⩽ ·,B = ∪ {[ xj ]⩽ ·,B : xj ∈ [xi] ⩽ ·,B } 3) ； U = ∪m i=1 [xi] ⩽ 4) ·,B； [xi] ⩽ ·,B = [ xj ]⩽ ·,B ⇔ Tai (xi) = Tai ( xj ) 5) ，∀ai ∈ B。 [x] ⩽ 证明 我们以 T,B为例，只证明 2)，其余均可 直接由定义 14 直接证明。 xl ∈ [ xj ]⩽ T,B ∀ai ∈ B Tai ( xj ) ⩽ Tai (xl) xj ∈ [xk] ⩽ T,B ∀ai ∈ B Tai (xk)⩽ Tai ( xj ) xl ∈ [xk] ⩽ T,B [ xj ]⩽ T,B ⊆ [xk] ⩽ T,B 充分性：若 ，则对于 有 ；由于 ，则对于 有 ，成立，从而 ，即 。 R ⩽ T,B xj ∈ [ xj ]⩽ T,B [ xj ]⩽ T,B ⊆ [xk] ⩽ T,B xj ∈ [xk] ⩽ T,B 必要性：根据 满足自反性有 ，由于 成立，故有 。 2.2 多粒度优势直觉模糊粗糙集 根据文献[6-9]所提出的多粒度粗糙集的思想， 以下给出优势关系下直觉模糊多粒度粗糙集定义。 (U,A,R) U = {x1, x2,··· , xm} A1,A2,··· ,An ⊆ A ∀X ∈ U [x] ⩽ T,Ai R ⩽ T,Ai 定义 13 设 为一个直觉模糊信息系统， 。 ， ， 是 由 诱导产生的强优势关系类，则 X 在强优势关 系下乐观多粒度下上近似集合分别为 ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (X) = { x ∈ U : [x] ⩽ T,A1 ⊆ X ∨[x] ⩽ T,A2 ⊆ X ∨ ··· ∨[x] ⩽ T,An ⊆ X } ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (X) =∼ ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (∼ X) 式中∼ X 表示集合 X 的补集。 (∑n i=1 R ⩽O T,Ai (X), ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (X) ) 序对 称为强优势关系 下 X 的乐观直觉模糊粗糙集。 (U,A,R) U = {x1, x2,··· , xm} A1,A2,··· ,An ⊆ A ∀X ∈ U [x] ⩽ T,Ai R ⩽ T,Ai 定义 14 设 为一个直觉模糊信息系统， 。 ， ， 是 由 诱导产生的强优势关系类，则 X 在强优势关 系下悲观多粒度下上近似集合分别为 第 6 期 梁美社，等：广义优势多粒度直觉模糊粗糙集及规则获取 ·885·
·886· 智能系统学报 第12卷 ∑，R(X)={x∈U:[fA,SXA[听A 决策属性d基于强优势关系R的多粒度乐观下上 XA…A[faX, 近似集分别为 ∑a1RX)=~∑R(~X), ∑R%(d)=vgi{A{d0):yex4》 式中、X表示集合X的补集。 aR%(d)=-Vdo):yeA》 序对ΣRX,∑R(X称为强优势关系 序对∑，R%),∑R%f)称为强优势关系 下的悲观直觉模糊粗糙集。 下石的乐观直觉模糊粗糙集。 上述定义的乐观多粒度下近似要求至少有一个 定义16设(U,AU{d,R)为一个直觉模糊决策 粒度满足优势关系，而悲观多粒度下近似则要求在 信息系统，其中U={x1,2,…,xm,A1,A2,…,Am≤A, 所有粒度空间中满足一致的优势关系。多粒度上近 决策属性d基于强优势关系R的多粒度悲观下上 似均由下近似的补集定义得到。 近似集分别为 3多粒度优势粗糙直觉模糊集及决策 ∑，R))=A-{A{i0):y∈[x} 规则获取 ∑Rfa)Gw)=Va{V{a:y∈u》 序对R(X),∑aR(X)称为强优势关系 在直觉模糊决策信息系统中，由于被近似的决 下右的悲观直觉模糊粗糙集。 策属性集合是直觉模糊集合，而不是由决策属性确 例2表1为一个关于风险投资的直觉模糊决 定的等价类集合，因此需要将上述结论进行推广。 策信息系统实例。其中U={x,2,…,xg表示风险投 3.1多粒度优势粗糙直觉模糊集 资项目；A={a1,a2,a,a为条件属性，表示不同领域 定义15设(U,AU{d,R)为一个直觉模糊决策 专家对投资项目所在位置、人口密度、交通状况和 信息系统，其中U={x1,2,…,xm,A1,A2,…,An二A, 投资额度给出的评价，d为决策属性。 表1风险决策直觉模糊信息系统 Table 1 Intuitionistic fuzzy information system with risk decision 0 42 a 9 d (0.90,0.05) (0.70,0.20) (0.20,0.80) (0.70,0.20) (0.7,0.2) (0.90,0.05) (0.20.0.60》 (0.200.50 (0.10,0.80) (08.0.1) (0.10,0.70〉 (0.10,0.80> (0.10,0.80) (0.90,0.05) (0.0.1.0) X4 (0.00,0.90) (0.90,0.10) (0.90,0.10> (0.80,0.10) 0.5,0.4) x (0.10,0.80) (0.10,0.90》 1.00,0.00 (0.80,0.05) 0.4,0.6) 6 (0.30.0.60) (0.20,0.70 (0.90.0.00) (0.15,0.80) 0.3,0.6) 0.00,0.90） (0.10.0.80) (0.90.0.10) (0.20,0.60) 0.0,0.9〉 Xg 0.90,0.05) (0.90,0.10〉 (0.10,0.80 (1.00,0.00 0.6.0.3 若将例2中每个条件属性都看作一个独立的 定理4设(U,AU{d,R)为直觉模糊决策信息系 粒度空间，则根据定义15、定义16，决策属性d关 统，其中A1,A2,,AnSA,则： 于属性集合的多粒度乐观和悲观下、上近似集如下 1）)∑R9,fa)sfic∑R9,fa,,Rf)S 所示。 ∑Rf)=UR%Gfa: ∑%R9(f)={0.6,0.3),0.6,0.3》,0.0,1.0), 2)R (fa)=R(fa),R (fa)= 0.5,0.4),0.4,0.6),0.3,0.6),(0.0,0.9),0.6,0.3月 Ri(fa): ∑=1R%f)={0.7,0.2).0.8,0.1),0.4,0.6), 3)R (fa)=R(fa),R (fa)= 0.5.0.4),0.4,0.6),0.4,0.6),0.4.0.6,0.6,0.3) Ri (fa): ∑Rf)={0.0,1.0),0.0,1.0),0.0,1.0), 0.0.1.0),0.0,1.0),0.0,1.0>,0.0,1.0),0.0,1.0 4)∑，R%(,R2f=∑，R%,aR网 ∑1Rf)={0.8,0.1),0.8,0.1),0.8,0.1), Raf=∑R(:) (0.8,0.1),0.8,0.1),(0.8,0.1),0.8.0.1),(0.8.0.1),} 5)∑=1R(ERfD=∑aRf,∑aR8
∑n i=1 R ⩽P T,Ai (X) = { x ∈ U : [x] ⩽ T,A1 ⊆ X ∧[x] ⩽ T,A2 ⊆ X ∧ ··· ∧[x] ⩽ T,An ⊆ X } , ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (X) =∼ ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (∼ X), 式中∼ X 表示集合 X 的补集。 (∑n i=1 R ⩽P T,Ai (X), ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (X) ) 序对 称为强优势关系 下的悲观直觉模糊粗糙集。 上述定义的乐观多粒度下近似要求至少有一个 粒度满足优势关系，而悲观多粒度下近似则要求在 所有粒度空间中满足一致的优势关系。多粒度上近 似均由下近似的补集定义得到。 3 多粒度优势粗糙直觉模糊集及决策 规则获取 在直觉模糊决策信息系统中，由于被近似的决 策属性集合是直觉模糊集合，而不是由决策属性确 定的等价类集合，因此需要将上述结论进行推广。 3.1 多粒度优势粗糙直觉模糊集 (U,A∪{d},R) U = {x1, x2,··· , xm} A1,A2,··· ,An ⊆ A 定义 15 设 为一个直觉模糊决策 信息系统，其中 ， ， R ⩽ 决策属性 T,Ai d 基于强优势关系 的多粒度乐观下上 近似集分别为 ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (d) (x) = ∨ n i=1 { ∧ { d (y) : y ∈ [x] ⩽ T,Ai }} ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (d) (x) = ∧ n i=1 { ∨ { d (y) : y ∈ [x] ⩾ T,Ai }} (∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd), ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ) 序对 称为强优势关系 下 fd 的乐观直觉模糊粗糙集。 (U,A∪{d},R) U = {x1, x2,··· , xm} A1,A2,··· ,An ⊆ A R ⩽ T,Ai 定义 16 设 为一个直觉模糊决策 信息系统，其中 ， ， 决策属性 d 基于强优势关系 的多粒度悲观下上 近似集分别为 ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) (x) = ∧ n i=1 { ∧ { fd (y) : y ∈ [x] ⩽ T,Ai }} ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) (x) = ∨ n i=1 { ∨ { fd (y) : y ∈ [x] ⩾ T,Ai }} (∑n i=1 R ⩽P T,Ai (X), ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (X) ) 序对 称为强优势关系 下 fd 的悲观直觉模糊粗糙集。 U = {x1, x2,··· , x8} A = {a1,a2,a3,a4} 例 2 表 1 为一个关于风险投资的直觉模糊决 策信息系统实例。其中 表示风险投 资项目； 为条件属性，表示不同领域 专家对投资项目所在位置、人口密度、交通状况和 投资额度给出的评价，d 为决策属性。 若将例 2 中每个条件属性都看作一个独立的 粒度空间，则根据定义 15、定义 16，决策属性 d 关 于属性集合的多粒度乐观和悲观下、上近似集如下 所示。 ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) = {⟨0.6,0.3⟩,⟨0.6,0.3⟩,⟨0.0,1.0⟩, ⟨0.5,0.4⟩,⟨0.4,0.6⟩ ,⟨0.3,0.6⟩,⟨0.0,0.9⟩,⟨0.6,0.3⟩} ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) = {⟨0.7,0.2⟩,⟨0.8,0.1⟩,⟨0.4,0.6⟩, ⟨0.5,0.4⟩, ⟨0.4,0.6⟩,⟨0.4,0.6⟩,⟨0.4,0.6⟩,⟨0.6,0.3⟩} ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) = {⟨0.0,1.0⟩,⟨0.0,1.0⟩,⟨0.0,1.0⟩, ⟨0.0,1.0⟩,⟨0.0,1.0⟩,⟨0.0,1.0⟩,⟨0.0,1.0⟩,⟨0.0,1.0⟩} ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) = {⟨0.8,0.1⟩,⟨0.8,0.1⟩,⟨0.8,0.1⟩ , ⟨0.8,0.1⟩,⟨0.8,0.1⟩,⟨0.8,0.1⟩,⟨0.8,0.1⟩,⟨0.8,0.1⟩,} (U,A∪{d},R) A1,A2,··· ,An ⊆ A 定理 4 设 为直觉模糊决策信息系 统，其中 ，则： ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ⊆ fd ⊆ ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) ⊆ ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) = ∪ n i=1R ⩽O T,Ai (fd) 1) ， ； ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) = ∪ n i=1R ⩽O T,Ai (fd) ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) = ∩ n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) 2) ， ； ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) = ∩ n i=1R ⩽P T,Ai (fd) ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) = ∪ n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) 3) ， ； ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ) = ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ) = ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) 4) ， ； ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) ) = ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) ∑n i=1 R ⩽P T,Ai 5) ， 表 1 风险决策直觉模糊信息系统 Table 1 Intuitionistic fuzzy information system with risk decision U a1 a2 a3 a4 d x1 ⟨ 0.90, 0.05 ⟩ ⟨ 0.70, 0.20 ⟩ ⟨ 0.20, 0.80 ⟩ ⟨ 0.70, 0.20 ⟩ ⟨ 0.7, 0.2 ⟩ x2 ⟨ 0.90, 0.05 ⟩ ⟨ 0.20, 0.60 ⟩ ⟨ 0.20, 0.50 ⟩ ⟨ 0.10, 0.80 ⟩ ⟨ 0.8, 0.1 ⟩ x3 ⟨ 0.10, 0.70 ⟩ ⟨ 0.10, 0.80 ⟩ ⟨ 0.10, 0.80 ⟩ ⟨ 0.90, 0.05 ⟩ ⟨ 0.0, 1.0 ⟩ x4 ⟨ 0.00, 0.90 ⟩ ⟨ 0.90, 0.10 ⟩ ⟨ 0.90, 0.10 ⟩ ⟨ 0.80, 0.10 ⟩ ⟨ 0.5, 0.4 ⟩ x5 ⟨ 0.10, 0.80 ⟩ ⟨ 0.10, 0.90 ⟩ ⟨ 1.00, 0.00 ⟩ ⟨ 0.80, 0.05 ⟩ ⟨ 0.4, 0.6 ⟩ x6 ⟨ 0.30, 0.60 ⟩ ⟨ 0.20, 0.70 ⟩ ⟨ 0.90, 0.00 ⟩ ⟨ 0.15, 0.80 ⟩ ⟨ 0.3, 0.6 ⟩ x7 ⟨ 0.00, 0.90 ⟩ ⟨ 0.10, 0.80 ⟩ ⟨ 0.90, 0.10 ⟩ ⟨ 0.20, 0.60 ⟩ ⟨ 0.0, 0.9 ⟩ x8 ⟨ 0.90, 0.05 ⟩ ⟨ 0.90, 0.10 ⟩ ⟨ 0.10, 0.80 ⟩ ⟨ 1.00, 0.00 ⟩ ⟨ 0.6, 0.3 ⟩ ·886· 智 能 系 统 学 报 第 12 卷
第6期 梁美社，等：广义优势多粒度直觉模糊粗糙集及规则获取 ·887· RD=∑=R%,f)。 T4y)≥0.02→fay)≥(0.6,0.3)： 证明这里只给出乐观多粒度情况下的证明， 3)Tay）≥0.03VTy）≥0.02vTy）≥0.02v 悲观多粒度的可类似得到。 Ta40y≥0.86→fa0y)≥(0.0,1.0)； 1)x∈U,根据定义15有ΣR积，(d()= 4)T,y≥0.00vTy)≥0.81VTy≥0.81V v{A{dG):yex》。由近似关系的自反性知 T0y≥0.72→f0y)≥(0.5,0.4)； A{dGy:y∈[a}sf(d,从而∑R%(d()≤v 5)Tay≥0.02vTy)≥0.01vTa0y)≥1.0V (fa(x)=fa(),即∑，R9)sfa成立。同理f后≤ T4y≥0.76→fa0y）≥(0.4,0.6)； 6)Ta,0y≥0.12VTy）≥0.06VTy）≥0.90V ∑R%f)。 T4y）≥0.02→fay)≥(0.3,0.6)； 2)Yx∈U,由定义15有∑R积，f))=V= 7)Tay）≥0.00VTmy)≥0.02vTay）≥0.81V {A{aG):ye[u听a}=vR%f(x,即，Ra)= T4y）≥0.08→fiy)≥(0.0,0.9)； U片Rf)o 8)Ta,y)≥0.86vTmy)≥0.81VTy≥0.02V 3)同理∑1RA(f)=nRaf)。 T40y≥1.0→fa0y)）≥(0.60.3)。 4)由1)可知∑，R%(∑RaDs∑，Ra 4结束语 (,因此只要证明Σ=R%)c∑，R积R2(f) 即可。由2)可知ΣRa(R2D=U2 本文将多粒度的基本思想引入到直觉模糊决策 信息系统中，利用1-模及-余模定义了3种新的优 (R ()-RR (aR 势关系。分析这3种优势关系所表达的不同语义， R织f)=UR%f)=∑R%,f。类似的，易证 在此基础上提出了广义优势关系下多粒度直觉模糊 粗糙集模型。通过该模型的主要性质进行讨论，这 ∑R积，f)=∑1R%,(fa)。 种模型使得多粒度方法能够有效处理直觉模糊决策 定理5设(U,AU{d,R为直觉模糊决策信息系 信息系统中直觉模糊概念近似和规则提取等问题。 统，其中A1,A2,…,AnA,则： 最后结合实例，具体给出了在直觉模糊决策信息系 1)∑=Rf)e∑=R9fa 统中，逻辑连接词为“或”的决策规则。 2)∑Ra(fa)s∑1Rfa)。 在本文基础上，将深入研究3种优势关系之间 证明：根据定义15、定义16，此定义易证。 的内在联系，以及如何利用辨识矩阵和启发算法获 3.2决策规则获取 得广义优势关系多粒度粗糙直觉模糊集模型的属性 经典粗糙集理论中，下近似中的元素对决策规 约简。 则的支持是确定的，而边界域中的元素对决策规则 参考文献： 的支持是不确定的。在此基础上Greco利用优势关 系定义了两种由逻辑连词“且”构成的决策规则。根 [1]ATANASSOV K T.Intuitionistic fuzzy sets[M].Heidel- 据多粒度思想，由上一小节构造的优势关系多粒度 berg,German:Springer-Verlag Telos,1999:1-324 粗糙直觉模糊集可得到逻辑连接词为“或”的两种决 [2]ATANASSOV K T.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy sets system,1986,20(1:87-96. 策规则，具体形式如下： “at least”决策规则： [3]ATANASSOV K T.New operations defined over the intu- itionistic fuzzy sets[J].Fuzzy sets system,1994,61(2): Tay)≥Tam(x)VT(x)V...VTa (y)≥Tn)→ 137-142. fG)≥=Rfa)x: [4]ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and control, “at most”决策规则： 1965(8:338-353. Ta,y)≤Ta(x)VTa(x)V.VTa.y)≤Tan(x)→ [5]JENA S.Intuitionistic fuzzy rough sets[J].Notes on intu- fOy≤∑Rfa)). itionistic fuzzy sets,2002,8(1):1-18. [6]SAMAMTA S K,MONDAL T K.Intuitionistic fuzzy rough 例3根据例2计算结果，可以生成两种“或” sets and rough intuitionistic fuzzy sets[J].Journal of fuzzy 决策规则，这里只给出“at least'规则： mathemaics,200L,9(6):561-582. 1）Ty≥0.86vTmy)≥0.56VTy）≥0.04V [7]PAWLAK Z.Rough sets[J].International Journal of com- T4y)≥0.56→fiy）≥(0.6,0.3)； puter and information sciences,1982,11(5):341-356. 2)Tay)≥0.86VTmy）≥0.08VTay）≥0.10V [8]PAWLAK.Rough sets:some extensions[J].Information sci-
(∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) ) = ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd)。 证明 这里只给出乐观多粒度情况下的证明， 悲观多粒度的可类似得到。 ∀x ∈ U ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (d) (x) = ∨ n i=1 { ∧ { d (y) : y ∈ [x] ⩽ T,Ai }} ∧ { d (y) : y ∈ [x] ⩽ T,Ai } ⩽fd (x) ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (d) (x)⩽∨ n i=1 (fd (x)) = fd (x) ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ⊆ fd fd ⊆ ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) 1 ) ，根据定 义 1 5 有 。由近似关系的自反性知 ，从而 ， 即 成立。同理 。 ∀x ∈ U ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) (x) = ∨ n i=1 { ∧ { d (y) : y ∈ [x] ⩽ T,Ai }} = ∨ n i=1R ⩽O T,Ai (fd) (x) ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) = ∪ n i=1R ⩽O T,Ai (fd) 2 ) ，由定义 1 5 有 ，即 。 ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) = ∩ n i=1R ⩽O T,Ai (f 3) 同理 d)。 ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ) ⊆ ∑n i=1 R ⩽O T,Ai ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd)⊆ ∑n i=1R ⩽O T,Ai (∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ) ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ) = ∪ n i=1R ⩽O T,Ai (∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ) = ∪ n i=1 R ⩽O T,Ai ( ∪ n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ) ⊇ ∪n i=1 ∪ n i=1 R ⩽O T,Ai ( R ⩽O T,Ai (fd) ) = ∪ n i=1R ⩽O T,Ai (fd) = ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) (∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ) = ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) 4) 由 1 ) 可知 (fd )，因此只要证明 即可。 由 2 ) 可 知 。类似的，易证 。 (U,A∪{d},R) A1,A2,··· ,An ⊆ A, 定理 5 设 为直觉模糊决策信息系 统，其中 则： ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (fd) ⊆ ∑n i=1 R ⩽O T,Ai 1) (fd) ； ∑n i=1 R ⩽O T,Ai (fd) ⊆ ∑n i=1 R ⩽P T,Ai (f 2) d)。 证明：根据定义 15、定义 16，此定义易证。 3.2 决策规则获取 经典粗糙集理论中，下近似中的元素对决策规 则的支持是确定的，而边界域中的元素对决策规则 的支持是不确定的。在此基础上 Greco 利用优势关 系定义了两种由逻辑连词“且”构成的决策规则。根 据多粒度思想，由上一小节构造的优势关系多粒度 粗糙直觉模糊集可得到逻辑连接词为“或”的两种决 策规则，具体形式如下： “at least”决策规则： Ta1 (y) ⩾ Ta1 (x)∨Ta2 (x)∨ ··· ∨Tan (y) ⩾ Tan (x) → fd (y) ⩾ ∑n i=1 R ⩽O T,ai (fd) (x); “at most”决策规则： Ta1 (y) ⩽ Ta1 (x)∨Ta2 (x)∨ ··· ∨Tan (y) ⩽ Tan (x) → fd (y) ⩽ ∑n i=1 R ⩽P T,ai (fd) (x). 例 3 根据例 2 计算结果，可以生成两种“或” 决策规则，这里只给出“at least”规则： Ta1 (y) ⩾ 0.86∨Ta2 (y) ⩾ 0.56∨Ta3 (y) ⩾ 0.04 ∨ Ta4 (y) ⩾ 0.56 → fd (y) ⩾ (0.6,0.3) 1 ) ； Ta1 (y) ⩾ 0.86∨Ta2 (y) ⩾ 0.08∨Ta3 2 ) (y) ⩾ 0.10 ∨ Ta4 (y) ⩾ 0.02 → fd (y) ⩾ (0.6,0.3) ； Ta1 (y) ⩾ 0.03∨Ta2 (y) ⩾ 0.02∨Ta3 (y) ⩾ 0.02 ∨ Ta4 (y) ⩾ 0.86 → fd (y) ⩾ (0.0,1.0) 3 ) ； Ta1 (y) ⩾ 0.00∨Ta2 (y) ⩾ 0.81∨Ta3 (y) ⩾ 0.81 ∨ Ta4 (y) ⩾ 0.72 → fd (y) ⩾ (0.5,0.4) 4 ) ； Ta1 (y) ⩾ 0.02∨Ta2 (y) ⩾ 0.01∨Ta3 (y) ⩾ 1.0 ∨ Ta4 (y) ⩾ 0.76 → fd (y) ⩾ (0.4,0.6) 5 ) ； Ta1 (y) ⩾ 0.12∨Ta2 (y) ⩾ 0.06∨Ta3 (y) ⩾ 0.90 ∨ Ta4 (y) ⩾ 0.02 → fd (y) ⩾ (0.3,0.6) 6 ) ； Ta1 (y) ⩾ 0.00∨Ta2 (y) ⩾ 0.02∨Ta3 (y) ⩾ 0.81 ∨ Ta4 (y) ⩾ 0.08 → fd (y) ⩾ (0.0,0.9) 7 ) ； Ta1 (y) ⩾ 0.86∨Ta2 (y) ⩾ 0.81∨Ta3 (y) ⩾ 0.02 ∨ Ta4 (y) ⩾ 1.0 → fd (y) ⩾ (0.6,0.3) 8 ) 。 4 结束语 本文将多粒度的基本思想引入到直觉模糊决策 信息系统中，利用 t-模及 t-余模定义了 3 种新的优 势关系。分析这 3 种优势关系所表达的不同语义， 在此基础上提出了广义优势关系下多粒度直觉模糊 粗糙集模型。通过该模型的主要性质进行讨论，这 种模型使得多粒度方法能够有效处理直觉模糊决策 信息系统中直觉模糊概念近似和规则提取等问题。 最后结合实例，具体给出了在直觉模糊决策信息系 统中，逻辑连接词为“或”的决策规则。 在本文基础上，将深入研究 3 种优势关系之间 的内在联系，以及如何利用辨识矩阵和启发算法获 得广义优势关系多粒度粗糙直觉模糊集模型的属性 约简。 参考文献： ATANASSOV K T. Intuitionistic fuzzy sets[M]. Heidelberg, German: Springer-Verlag Telos, 1999: 1–324. [1] ATANASSOV K T. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy sets system, 1986, 20(1): 87–96. [2] ATANASSOV K T. New operations defined over the intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy sets system, 1994, 61(2): 137–142. [3] ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Information and control, 1965(8): 338–353. [4] JENA S. Intuitionistic fuzzy rough sets[J]. Notes on intuitionistic fuzzy sets, 2002, 8(1): 1–18. [5] SAMAMTA S K, MONDAL T K. Intuitionistic fuzzy rough sets and rough intuitionistic fuzzy sets[J]. Journal of fuzzy mathemaics, 2001, 9(6): 561–582. [6] PAWLAK Z. Rough sets[J]. International Journal of computer and information sciences, 1982, 11(5): 341–356. [7] [8] PAWLAK. Rough sets: some extensions[J]. Information sci- 第 6 期 梁美社，等：广义优势多粒度直觉模糊粗糙集及规则获取 ·887·
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