第13卷第4期 智能系统学报 Vol.13 No.4 2018年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2018 D0:10.11992/tis.201706081 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180411.1237.012.html 基于关联熵系数的粗糙Vague集相似性度量方法 张倩倩23，马媛媛123，徐久成2,3 (1.河南师范大学计算机与信息工程学院，河南新乡453007；2.“智慧商务与物联网技术”河南省工程实验 室，河南新乡453007,3.河南省高校计算智能与数据挖据工程技术研究中心，河南新乡453007) 摘要：粗糙Vague集是将粗糙集和Vague集理论相互融合以处理不确定性信息的一种理论工具。本文在深 入研究Vgue集及粗糙模糊集的关联熵、关联嫡系数及集合相似性度量方法基础上，将关联嫡和关联嫡系数的 概念引入到粗糙Vague集，并详细讨论了它们的主要性质，同时证明了关联嫡系数满足粗糙Vague集相似度的 定义，可用于粗糙Vague集的相似性度量。最后通过实例验证了粗糙Vague集的关联嫡系数用于度量粗糙 Vague集之间相似性程度的有效性，该理论为粗糙Vague集相似性度量提供了一种新方法。 关键词：粗糙Vgue集；相似性度量；关联嫡：关联嫡系数；粗糙集 中图分类号：TP18 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2018)04-0650-06 中文引用格式：张倩倩，马媛媛，徐久成.基于关联嫡系数的粗糙Vgue集相似性度量方法J.智能系统学报，2018,13(4)： 650-655 英文引用格式：ZHANG Qiangian,MA Yuanyuan,.XU Jiucheng.Measurement method of the similarity of rough vague sets based on relative entropy coefficientJ.CAAI transactions on intelligent systems,2018,13(4):650-655. Measurement method of the similarity of rough vague sets based on relative entropy coefficient ZHANG Qianqian2,MA Yuanyuan'2,XU Jiucheng'2 (1.College of Computer and Information Technology,Henan Normal University,Xinxiang 453007,China;2.Engineering Lab of In- telligence Business&Internet of Things,Xinxiang 453007,China;3.Engineering Technology Research Center for Computing Intelli- gence Data Mining,Henan Province,Xinxiang 453007,China) Abstract:The rough Vague set is a theoretical tool that combines the theories of rough and Vague sets to deal with un- certain information.In this paper,we introduce the concept of relative entropy and its coefficient to a rough Vague set to investigate a method for measuring relative entropy,its coefficient,and the similarity of Vague and rough fuzzy sets.We also analyzed their main properties.We verified that the coefficient of the relative entropy has similarity with that of rough Vague sets,and that this coefficient can be used to measure the similarity of rough Vague sets.Finally,we con- ducted a case study to verify the effectiveness of using the relative entropy coefficient of a rough Vague set to determ- ine the degree of similarity between rough Vague sets.This theory provides a new method for measuring the similarity of rough Vague sets. Keywords:rough Vague set,similarity measure;relative entropy;relative entropy coefficient,rough set 作为一种有效的知识表示和处理工具，粗糙 提下，通过引入上近似和下近似等概念来刻画知 集理论的主要思想是在保持分类能力不变的前 识的不确定性和模糊性。Vague集是在模糊集 收稿日期：2017-06-26.网络出版日期：2018-04-11. 基础上发展起来的新型理论，与模糊集相比，该 基金项目：国家自然科学基金项目(61772176,61370169,61402153)： 河南省科技攻关（重点）项目(182102210362.162102210261)： 理论能同时表达支持和反对的证据，更加符合人 河南师范大学青年科学基金项目(2015QK26):河南 省高等学校重点科研项目(18A520031,5201119140059). 类的直觉，在模式识别、人工智能、故障诊断等领 通信作者：马媛媛.E-mail:hnxxmyy@sina.com. 域的应用已取得了显著效果B.。Atanassov于
DOI: 10.11992/tis.201706081 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180411.1237.012.html 基于关联熵系数的粗糙 Vague 集相似性度量方法 张倩倩1,2,3，马媛媛1,2,3，徐久成1,2,3 （1. 河南师范大学 计算机与信息工程学院，河南 新乡 453007; 2. “智慧商务与物联网技术”河南省工程实验 室，河南 新乡 453007; 3. 河南省高校计算智能与数据挖掘工程技术研究中心，河南 新乡 453007） 摘 要：粗糙 Vague 集是将粗糙集和 Vague 集理论相互融合以处理不确定性信息的一种理论工具。本文在深 入研究 Vague 集及粗糙模糊集的关联熵、关联熵系数及集合相似性度量方法基础上，将关联熵和关联熵系数的 概念引入到粗糙 Vague 集，并详细讨论了它们的主要性质，同时证明了关联熵系数满足粗糙 Vague 集相似度的 定义，可用于粗糙 Vague 集的相似性度量。最后通过实例验证了粗糙 Vague 集的关联熵系数用于度量粗糙 Vague 集之间相似性程度的有效性，该理论为粗糙 Vague 集相似性度量提供了一种新方法。 关键词：粗糙 Vague 集；相似性度量；关联熵；关联熵系数；粗糙集 中图分类号：TP18 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2018)04−0650−06 中文引用格式：张倩倩, 马媛媛, 徐久成. 基于关联熵系数的粗糙 Vague 集相似性度量方法[J]. 智能系统学报, 2018, 13(4): 650–655. 英文引用格式：ZHANG Qianqian, MA Yuanyuan, XU Jiucheng. Measurement method of the similarity of rough vague sets based on relative entropy coefficient[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(4): 650–655. Measurement method of the similarity of rough vague sets based on relative entropy coefficient ZHANG Qianqian1,2,3 ，MA Yuanyuan1,2,3 ，XU Jiucheng1,2,3 (1. College of Computer and Information Technology, Henan Normal University, Xinxiang 453007, China; 2. Engineering Lab of Intelligence Business &Internet of Things, Xinxiang 453007, China; 3. Engineering Technology Research Center for Computing Intelligence & Data Mining, Henan Province, Xinxiang 453007, China) Abstract: The rough Vague set is a theoretical tool that combines the theories of rough and Vague sets to deal with uncertain information. In this paper, we introduce the concept of relative entropy and its coefficient to a rough Vague set to investigate a method for measuring relative entropy, its coefficient, and the similarity of Vague and rough fuzzy sets. We also analyzed their main properties. We verified that the coefficient of the relative entropy has similarity with that of rough Vague sets, and that this coefficient can be used to measure the similarity of rough Vague sets. Finally, we conducted a case study to verify the effectiveness of using the relative entropy coefficient of a rough Vague set to determine the degree of similarity between rough Vague sets. This theory provides a new method for measuring the similarity of rough Vague sets. Keywords: rough Vague set; similarity measure; relative entropy; relative entropy coefficient; rough set 作为一种有效的知识表示和处理工具，粗糙 集理论[1]的主要思想是在保持分类能力不变的前 提下，通过引入上近似和下近似等概念来刻画知 识的不确定性和模糊性。Vague 集 [2]是在模糊集 基础上发展起来的新型理论，与模糊集相比，该 理论能同时表达支持和反对的证据，更加符合人 类的直觉，在模式识别、人工智能、故障诊断等领 域的应用已取得了显著效果[3-4]。Atanassov 于 收稿日期：2017−06−26. 网络出版日期：2018−04−11. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61772176，61370169，61402153)； 河南省科技攻关 (重点) 项目 (182102210362，162102210261)； 河南师范大学青年科学基金项目 (2015QK26)；河南 省高等学校重点科研项目 (18A520031，5201119140059). 通信作者：马媛媛. E-mail：hnxxmyy@sina.com. 第 13 卷第 4 期 智 能 系 统 学 报 Vol.13 No.4 2018 年 8 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug. 2018
第4期 张倩倩，等：基于关联熵系数的粗糙Vague集相似性度量方法 ·651· 1986年提出的直觉模糊集理论同时考虑了对象 为Vague集A的熵。 的隶属度、非隶属度和犹豫度3个方面的信息， 一个Vague集的嫡E同时表征了该Vague集 其实，Bustince等已经证明，Vague集和直觉模 的模糊正嫡和模糊负嫡，在定义2中，按惯例规 糊集在定义上是等同的，在本质上是一致的。目前， 定0ln0=0,ln0=-o。在此定义的Vague集A的 有很多学者对粗糙集理论和Vague集理论n-l相 熵刻画了论域U中元素x,与Vague集A之间关 互融合问题做了大量研究。我们后面的研究内 系的不确定性程度，E越大，我们对x与A的关系 容，将不对Vague集和直觉模糊集的描述方式作 了解得越少。 区分，在此统称为Vague集。 定义31刀 设A,B是论域U中任意两个 在模糊集、Vague集及粗糙Vague集理论研 Vague集，则A关于B的偏熵定义为 究中，相似性度量都是研究重点，它是模糊聚类、 模式识别、近似推理等理论研究的基础416。权 EsA=-∑(Us()Inta(x)+fa()lnfx》 双燕等研究了Vague集的偏嫡、关联熵和关联 式中B称为基准集。 嫡系数，将其应用于Vague集相似性度量；魏莱 与Vague集的熵定义类似，偏熵E(A)也是 等8将关联熵和关联熵系数引入粗糙模糊集，为 Vague集A的不确定性程度的一种度量。 考虑某种分类知识R下度量模糊集合之间的相似 定义47两个Vague集A与B之间的关联 性程度提供了一种新方法。上述方法仅限于模糊 熵定义为它们的偏熵之和，即 集、Vague集和粗糙模糊集的研究范畴，具有一定 E(A:B)=ER(A)+E(B)= 的局限性。粗糙Vague集模型是粗糙集和Vauge 集相互融合的理论方法，适用于处理现实世界中 -∑ts()n,)+f.(x)nf+ 兼具不可分辨性和模糊性概念的问题。Namburu ta (x:)Intg(x)+fa (x:)Infs (x)] 等提出了广义粗糙直觉模糊c均值聚类算法， 显然EA;B)关于1(x)、1(x)和f(x)、f(x)是 用于脑磁谐振图像分割；Liu等通过直觉模糊相 对称的，而且是非负的。关于Vague集的关联熵 似性度量定义了冲突距离测量方法，用于解决现 的相关性质证明过程请参考文献[17刀。 实生活中的冲突问题。为了有效度量粗糙Vague 作为处理不确定信息的两种工具，Vague集 集模型的相似性，本文将关联熵、关联嫡系数的 理论的出发点在于描述和解决概念内涵的模糊性 应用领域进一步推广，为粗糙Vague集相似性度 和人们对概念认识不精确性的问题，粗糙集理论 量及模式识别提供一种新的思路和方法。最后给 则侧重于知识对象不可分辨性的不确定性问题的 出的实例证明，在知识对象具有不可分辨关系的 研究。当人们所面对的问题兼具这两方面的不确 背景下，对Vague集对象进行聚类分析时，应用粗 定性时，即概念不但是模糊的，而且是不可分辨 糙Vague集的关联熵系数进行相似性度量更具合 的，此时，需要将粗糙集理论和Vague集理论相互 理性。 融合，研究粗糙Vauge集-的理论、方法及其不 1 粗糙Vague集理论基础 确定性度量，以弥补它们单独在处理实际问题时 的不足。 定义1回设论域U={1,2,…,x为一个对象 定义52训设0={，…x为一论域，R是 空间，元素x(i=1,2,…,n)是所讨论的对象。U上 U上的等价关系，V是U上一Vague集，Yx:eU,由 一Vague集A用一个真隶属函数t4和一个假隶属 R和V构成的粗糙Vague集(RV sets)定义如下： 函数f4表示：ta(x):U→0,1，f(:U→[0,1。 Rt(=inf(t(xx∈[xR} 其中14(x,)是由支持x,的证据所导出的x,隶属度 Rt(V=sup{t,(x)r∈[R 的下界，(x,)则是由反对x的证据所导出x的否 Rf(V)=suplf,(x)xE [xle) 定隶属度下界，且a(x)+fA(x)≤1。元素x,的隶 Rf(V)=infit,(x)xE [xlg) 属度被区间0,1]的一个子区间[(x),1-f(x】所界 式中：x]表示包含元素x∈U的R等价类，则上 定，称该区间为x在A中的Vague值。 定义211假定论域U=x,2,…,x}上 下近似Vague集表示为 RV =Ri(V),1-Rf(V) Vague集A,我们称 RV =[Rt(V),1-Rf(V)], 1 E(A)=-nin2X 称序对RV=Rv,RV)为论域U上的粗糙Vague集。 （)It)+fc)血fA》 定义62)设RV=(RV,RV)是给定论域U上 的粗糙Vague集，x∈U,定义：
1986 年提出的直觉模糊集[5]理论同时考虑了对象 的隶属度、非隶属度和犹豫度 3 个方面的信息， 其实，Bustince 等 [6]已经证明，Vague 集和直觉模 糊集在定义上是等同的，在本质上是一致的。目前， 有很多学者对粗糙集理论和 Vague 集理论[7-13]相 互融合问题做了大量研究。我们后面的研究内 容，将不对 Vague 集和直觉模糊集的描述方式作 区分，在此统称为 Vague 集。 在模糊集、Vague 集及粗糙 Vague 集理论研 究中，相似性度量都是研究重点，它是模糊聚类、 模式识别、近似推理等理论研究的基础[14-16]。权 双燕等[17]研究了 Vague 集的偏熵、关联熵和关联 熵系数，将其应用于 Vague 集相似性度量；魏莱 等 [18]将关联熵和关联熵系数引入粗糙模糊集，为 考虑某种分类知识 R 下度量模糊集合之间的相似 性程度提供了一种新方法。上述方法仅限于模糊 集、Vague 集和粗糙模糊集的研究范畴，具有一定 的局限性。粗糙 Vague 集模型是粗糙集和 Vauge 集相互融合的理论方法，适用于处理现实世界中 兼具不可分辨性和模糊性概念的问题。Namburu 等 [19]提出了广义粗糙直觉模糊 c 均值聚类算法， 用于脑磁谐振图像分割；Liu 等 [20]通过直觉模糊相 似性度量定义了冲突距离测量方法，用于解决现 实生活中的冲突问题。为了有效度量粗糙 Vague 集模型的相似性，本文将关联熵、关联熵系数的 应用领域进一步推广，为粗糙 Vague 集相似性度 量及模式识别提供一种新的思路和方法。最后给 出的实例证明，在知识对象具有不可分辨关系的 背景下，对 Vague 集对象进行聚类分析时，应用粗 糙 Vague 集的关联熵系数进行相似性度量更具合 理性。 1 粗糙 Vague 集理论基础 U = {x1, x2,··· , xn} i = 1,2,··· ,n tA (xi) : U → [0,1] fA (xi) : U → [0,1] tA (xi) + fA (xi) ⩽ 1 定义 1 [2] 设论域 为一个对象 空间，元素 xi ( ) 是所讨论的对象。U 上 一 Vague 集 A 用一个真隶属函数 tA 和一个假隶属 函 数 f A 表示： ， 。 其中 tA(xi ) 是由支持 xi 的证据所导出的 xi 隶属度 的下界，fA(xi ) 则是由反对 xi 的证据所导出 xi 的否 定隶属度下界，且 。元素 xi 的隶 属度被区间[0, 1]的一个子区间[tA(xi ), 1–fA(xi )]所界 定，称该区间为 xi 在 A 中的 Vague 值。 定 义 2 U = {x1, x2,··· , xn} [ 1 7 ] 假定论域 上 一 Vague 集 A，我们称 E (A) = − 1 nln 2 × ∑n i=1 (tA(xi)lntA(xi)+ fA(xi)ln fA(xi)) 为 Vague 集 A 的熵。 一个 Vague 集的熵 E 同时表征了该 Vague 集 的模糊正熵和模糊负熵，在定义 2 中，按惯例规 定 0·ln 0=0，ln 0= –∞。在此定义的 Vague 集 A 的 熵刻画了论域 U 中元素 xi 与 Vague 集 A 之间关 系的不确定性程度，E 越大，我们对 x 与 A 的关系 了解得越少。 定义 3 [ 1 7 ] 设 A, B 是论域 U 中任意两个 Vague 集，则 A 关于 B 的偏熵定义为 EB (A) = − ∑n i=1 (tB(xi)lntA(xi)+ fB(xi)ln fA(xi)) 式中 B 称为基准集。 与 Vague 集的熵定义类似，偏熵 EB(A) 也是 Vague 集 A 的不确定性程度的一种度量。 定义 4 [17] 两个 Vague 集 A 与 B 之间的关联 熵定义为它们的偏熵之和，即 E (A;B) = EB (A)+ EA (B) = − ∑n i=1 [tB(xi)lntA(xi)+ fB(xi)ln fA(xi)+ tA (xi)lntB (xi) + fA (xi)ln fB (xi)] 显然 E(A; B) 关于 tA(xi )、tB(xi ) 和 fA(xi )、fB(xi ) 是 对称的，而且是非负的。关于 Vague 集的关联熵 的相关性质证明过程请参考文献[17]。 作为处理不确定信息的两种工具，Vague 集 理论的出发点在于描述和解决概念内涵的模糊性 和人们对概念认识不精确性的问题，粗糙集理论 则侧重于知识对象不可分辨性的不确定性问题的 研究。当人们所面对的问题兼具这两方面的不确 定性时，即概念不但是模糊的，而且是不可分辨 的，此时，需要将粗糙集理论和 Vague 集理论相互 融合，研究粗糙 Vauge 集 [7-8]的理论、方法及其不 确定性度量，以弥补它们单独在处理实际问题时 的不足。 U = {x1, x2,··· , xn} ∀xi ∈ U 定义 5 [21] 设 为一论域，R 是 U 上的等价关系，V 是 U 上一 Vague 集， ，由 R 和 V 构成的粗糙 Vague 集 (RV sets) 定义如下： Rt(V) = inf{tv (x)|x ∈ [x]R } Rt(V) = sup{tv (x)|x ∈ [x]R } Rf(V) = sup{fv (x)|x ∈ [x]R } Rf(V) = inf{tv (x)|x ∈ [x]R } 式中：[x]R 表示包含元素 x∈U 的 R 等价类，则上 下近似 Vague 集表示为 RV = [ Rt(V), 1−Rf(V) ] RV = [Rt(V), 1−Rf(V)], 称序对 RV = (RV,RV) 为论域 U 上的粗糙 Vague 集。 定义 6 RV = (RV,RV) [21] 设 是给定论域 U 上 的粗糙 Vague 集，x∈U，定义： 第 4 期 张倩倩，等：基于关联熵系数的粗糙 Vague 集相似性度量方法 ·651·
·652· 智能系统学报 第13卷 I)RVA C RVB台(x)≤ty(x),1-f,(x)≤1- 因此，Ey,RV)>E(RV )nln22,同理可有E.RVA)≥ fy(x),()≤(：，1-f,(x)≤1-f()。 ERVa)nln2因此ERv.RVA)≥min(ERys,ERVa)nln2 2)RVc=RVAURV igv (x)=maxlfgv,(x).Igv,(x)), 当ts(x)≤fs(x)时，ERVB)≥E(Ry可证得ERv.RV)≥ fy=minlfgv,(o,f匙(x)水，te()=max{t,(),t,(xl, E(RVg)nIn2:当ts(x)ERVa)nln2。 3)RVa=RVs台ty(x)=t型，l-fvx)=1-f( 性质3设S=(U,R为一近似空间，RV4、RVB ,()=(x,1-f(x)=1-f(x)。 是其上的两个粗糙Vague集，则有： 4)(RVAf=(RVaf,RVAr)台t匙r()=f), 1)ERV[(RVA)]=E(RVar (RVA) figv,r (x)=tgv,(x);Iv (x)=fv (x),fv (x)=Iv,(x) 2)ERVar[(RVA)]=EgV,(RVA) 2粗糙Vague集的偏熵 3)ERVAUORVT (RVA0(RVA))=ERVO(RVY(RVAU(RVA)) 这些性质根据定义很容易证明，在这里不再 定义7设S=(U,R)为一近似空间，U为论 赘述。 域，R为U上一等价关系，RVa,RVB是其上的两 个粗糙Vague集，定义RV.关于RVg的偏熵为 3粗糙Vague集的关联熵系数及相 ERv,(RVA)=Egv,(RV)AERV,(RVA) 似性度量方法 式中： 匙，-2 w.hp.t 定义8粗糙Vague集RV4、RVa的关联熵同 时考虑到两个粗糙Vague集的上近似与下近似并 fv.(x)In fiv.(x)] 且定义为它们的偏嫡之和，即 Ea=一2饭ha E(RVA:RVB)=E(RV:RV)AE(RVA:RV8)= (Egv.(RV)+Egv,(RV)A fv(x)In fv,(x) (Egv,(RVA)+Egv,(RVa)) 如果将RVs看作一个基准粗糙Vague集，那 显然，从定义7可以看出，粗糙Vague集的关 么RV.关于RVB的偏熵表示了粗糙Vague集 联熵系数E(RV;RV)是对称的，而且是非负的， RV.的一个不确定性程度，它分别考虑了RV4上 即有如下性质： 近似、RV4下近似的不确定性程度。 性质4E(RVA;RVg)=E(RVB:RVA)≥OO 下面给出粗糙Vague集RV4关于粗糙Vague 性质5RVa、RVg是粗糙Vague集，则有 集RVg的偏熵具有的性质。 E(RVAURVB:RVAORV8)=E(RVA:RVa)o 性质1（非负性）设S=(U,R)为一近似空间， 证明：令RVc=RVAURV8,RVo=RVAORV8,则 RV4、RVg是其上的两个粗糙Vague集，则有 E(RVAURVB:RVAORV8)=E(RVc:RVDFE(RV:RV)A ERv,(RVA)>0。 ERVc;RVD),因此，只要证明ERVc:RVo)=ERY 证明：由于0≤y,(x≤1，则有ln(c)≤0；又 RV;RVg),ERVc:RVo)=ERVA;RVB)即可o 由0≤fy(x)≤1，有nfy(x)≤0，由定义7有 在此，需要分4种情况进行讨论： EwRV)>0。 1)记X-{reU,(c)>(c)且f(w)> 同理有ERVA)>0,故ERv.RVA)>O。 fiv(x)) 性质2当ts()≤f(x时，ERv,(RVA)≥ERVB)m 2)记X⊙={∈U,t(x)>()且f(c)fa(x时，ERw(RVA)>ERVa)nn2。 f)} 证明：由于ERv,RVA)=EYRY)AE,RVA), 3)记X={r∈U,(x) 根据凸函数Jenson不等式有， Egv,(RV )-E(RV)nIn2 f()} 剑G+n感] 4)记X={r∈U,(x)<()且f(c)< ≥ f,x)} 她历)+画 则： f型()J E(RVc:RVp)=Egv(RVc)+Egv(RVp)= 2l* -立o,h银+辰ea.小 2a加饭，国*ab应，小
RVA ⊆ RVB ⇔ tRVA (x) ⩽ tRVB (x) 1− fRVA (x) ⩽ 1− fRVB (x) tRVA (x) ⩽ tRVB (x) 1− fRVA (x) ⩽ 1− fRVB (x) 1 ) , ; , 。 RVC =RVA ∪RVB⇔tRVC (x)=max{tRVA (x),tRVB (x)} fRVC =min{fRVA (x), fRVB (x)} tRVC (x)=max{tRVA (x),tRVB (x)} fRVC (x) = min{fRVA (x), fRVB (x)} 2) , ; , 。 RVA=RVB⇔tRVA (x)=tRVB (x) 1−fRVA (x)=1− fRVB (x) tRVA (x) = tRVB (x) 1− fRVA (x) = 1− fRVB (x) 3) , ; , 。 (RVA) c = ((RVA) c ,(RVA) c )⇔ t(RVA ) c (x) = fRVA (x) f(RVA ) c (x) = tRVA (x) t (RVA) c (x) = fRVA (x) f (RVA) c (x) = tRVA (x) 4 ) , ; , 。 2 粗糙 Vague 集的偏熵 定义 7 设 S=(U, R) 为一近似空间，U 为论 域，R 为 U 上一等价关系，RVA, RVB 是其上的两 个粗糙 Vague 集，定义 RVA 关于 RVB 的偏熵为 ERVB (RVA) = ERVB (RVA )∧ ERVB (RVA) 式中： ERVB (RVA ) = − ∑n i=1 [ tRVB (xi)lntRVA (xi)+ fRVB (xi)ln fRVA (xi) ] ERVB (RVA) = − ∑n i=1 [ tRVB (xi)lntRVA (xi)+ fRVB (xi)ln fRVA (xi) ] 如果将 RVB 看作一个基准粗糙 Vague 集，那 么 RVA 关于 RVB 的偏熵表示了粗糙 Vague 集 RVA 的一个不确定性程度，它分别考虑了 RVA 上 近似、RVA 下近似的不确定性程度。 下面给出粗糙 Vague 集 RVA 关于粗糙 Vague 集 RVB 的偏熵具有的性质。 ERVB (RVA) > 0 性质 1(非负性) 设 S=(U, R) 为一近似空间， RVA、RVB 是其上的两个粗糙 Vague 集，则有 。 0 ⩽ tRVB (xi) ⩽ 1 lntRVA (xi) ⩽ 0 0 ⩽ fRVB (xi) ⩽ 1 ln fRVA (xi) ⩽ 0 ERVB (RVA ) > 0 证明：由于 ，则有 ；又 由 ， 有 ，由定 义 7 有 。 ERVB (RVA) > 0 ERVB 同理有 ，故 (RVA) > 0。 tB (xi) ⩽ fB (xi) ERVB (RVA) ⩾ E(RVB )n ln 2 tB (xi) > fB (xi) ERVB (RVA) > E(RVB)nln 2 性质 2 当 时， ；当 时， 。 ERVB (RVA) = ERVB (RVA )∧ ERVB 证明：由于 (RVA) ， 根据凸函数 Jenson 不等式有， ERVB (RVA )− E(RVB )nln 2 = − ∑n i=1 [ tRVB (xi)ln tRVA (xi) tRVB (xi) + fRVB (xi)ln fRVA (xi) fRVB (xi) ] ⩾ − ∑n i=1 ln[ tRVB (xi)· tRVA (xi) tRVB (xi) + fRVB (xi)· fRVA (xi) fRVB (xi) ] = − ∑n i=1 ln[ tRVA (xi)+ fRVA (xi) ] ⩾ − ∑n i=1 ln 1 = 0 ERVB (RVA )⩾E(RVB )nln 2 ERVB (RVA)⩾ E(RVB)nln 2 ERVB (RVA)⩾min{E(RVB) E(RVB)}nln 2 tB (xi)⩽ fB (xi) E(RVB)⩾E(RVB ) ERVB (RVA)⩾ E(RVB )nln 2 tB (xi) E(RVB)nln 2 因此, , 同理可有 ，因此 ， ， 当 时， , 可证得 ；当 时， ，因 此有 。 性质 3 设 S=(U, R) 为一近似空间，RVA、RVB 是其上的两个粗糙 Vague 集，则有： ERVA [(RVA) c ]=E(RVA) 1) c (RVA) E(RVB) c [(RVA) c ]=ERVB 2) (RVA) ERVA∪(RV)c (RVA ∩(RVA) c )=ERVA∩(RV)c (RVA ∪(RVA) c 3) ) 这些性质根据定义很容易证明，在这里不再 赘述。 3 粗糙 Vague 集的关联熵系数及相 似性度量方法 定义 8 粗糙 Vague 集 RVA、RVB 的关联熵同 时考虑到两个粗糙 Vague 集的上近似与下近似并 且定义为它们的偏熵之和，即 E (RVA;RVB) = E(RVA ;RVB )∧ E(RVA;RVB)= ( ERVB (RVA )+ ERVA (RVB ) ) ∧ ( ERVB (RVA)+ ERVA (RVB) ) 显然，从定义 7 可以看出，粗糙 Vague 集的关 联熵系数 E(RVA; RVB) 是对称的，而且是非负的， 即有如下性质： 性质 4 E (RVA;RVB) = E (RVB;RVA) ⩾ 0。 E(RVA ∪RVB;RVA ∩RVB) = E (RVA;RVB) 性质 5 RVA、RVB 是粗糙 Vague 集，则有 。 RVC = RVA ∪RVB RVD = RVA ∩RVB E(RVA ∪RVB;RVA ∩RVB) = E (RVC;RVD) E(RVC ;RVD )∧ E(RVC;RVD) E(RVC ;RVD ) = E(RVA ; RVB ) E(RVC;RVD) = E(RVA;RVB) 证明：令 ， ，则 = ，因此，只要证明 ; RVB)， 即可。 在此，需要分 4 种情况进行讨论： X (1) = {x|x ∈ U,tRVA (xi) > tRVB (xi) fRVA (xi) > fRVB (xi) 1) 记 且 } X (2) = {x|x ∈ U,tRVA (xi) > tRVB (xi) fRVA (xi) fRVB (xi) 3) 记 且 } X (4) = {x|x ∈ U,tRVA (xi) < tRVB (xi) fRVA (xi) < fRVB (xi) 4) 记 且 } 则： E(RVC;RVD)=ERVD (RVC)+ ERVC (RVD) = − ∑n i=1 ( tRVD (xi)lntRVC (xi)+ fRVD (xi)ln fRVC (xi) ) − ∑n i=1 ( tRVC (xi)lntRVD (xi)+ fRVC (xi)ln fRVD (xi) ) = ·652· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷
第4期 张倩倩，等：基于关联嫡系数的粗糙Vague集相似性度量方法 ·653· 与Fuzzy集、粗糙模糊集的关联嫡系数类似， 在定义9中粗糙Vague集RVd、RVg的关联嫡系 rEXO 数的定义中，pRTA:RVg)是对两个粗糙Vague集 -∑(，xnx)+f,h RV,RVB上近似相似程度的度量，pRV,:RV)是 (.c)n.)+f.n®）= 对两个粗糙Vague集RVa、RVg下近似相似性度 量。为了有效度量两个粗糙Vague集间的相似 E(RVA:RVa) 性，关联熵系数pRV:RV)同时考虑了上、下近 其他3种情况证明类似。 似相似性程度，具有一定的合理性。 同理可以证明ERV:RVo)=ERV;RV),所以 性质8p(RVAURVR;RVORV)=p(RVA;RVB)o E(RVAURVE:RVAORVa)=E(RVA:RVa) 证明方法同性质5的证明类似，这里不再赘述。 定义9粗糙Vague集RV4、RVg的关联熵系 粗糙Vague集是针对现实世界中所研究对象 数定义为 兼具模糊性和不可分辨性特点的新的理论方法， P(RVA:RV8)=p(RV:RV)AP(RVA:RVg) 研究粗糙Vague集的关联嫡和关联熵系数可为粗 (E(RV)+E(RVg))nIn2 糙Vague集相似性度量提供一种新思路。 式中：pRV:RVa)= E(RV:RV) P(RVA: RVa)= (ERVA)+ER亚s)nln2 4实例分析与比较 E(RVA:RV) 为了进一步利用关联熵系数来度量粗糙Vague 例1给定一个知识库K=(U,R),其中论域 集的相似性，下面我们先给出粗糙Vague集相似 U={x1,2,…,x8,R是U上一个不分明关系，UR= 度的定义。 {E,E2,E3,E4},其中：E={x1,x4,x8},E2={x2,x5 定义10设论域U是一个非空集合，R是 x},E={x3},E={x6},假定U上两个Vague集分 U上的一个等价关系，A、B是U上两个Vague 别为： A={[0.7,0.8]/x1,[0.8,0.9]/x2,[0.3,0.4]/x,[0.1, 集，由R和A、B构成的粗糙Vague集分别为 0.2]/x4,[0.5,0.6]/x,[0.4,0.5]/x6,[0.3,0.5]/x,[0.5, RVA和RV,其中RVA=(RV,RVA,RVB=(RV,RVs), 0.7/x8 如果MRVa,RVg)满足性质： B={[0.7,0.9]x1,[0.6,0.7]k2,[0.5,0.6]/x3,[0.2 1)0≤MRVa.RVa)≤1： 0.3]/x4,[0.4,0.6]xs,[0.3,0.4]/x6,[0.4,0.5]/x[0.1, 2)如果RV4=RVB,则MRVa,RVa)=1; 0.2]/xg}。 3)M(RVRV)=M(RV RV). 对于每个对象Vague取值的依据，这里暂不 则称(RV4 RVB)为粗糙Vague集RVa与RVa 做讨论，有时候是凭借专家经验。由粗糙Vague 的相似度。 集的定义可知，论域U上的两个Vague集A、B在 显然，粗糙Vague集RV4、RVs的关联嫡系数 不分明关系R上的下、上近似Vague集分别为： p(RVa;RVa)是对称的，而且是非负的，即粗糙 RA={[0.1,0.2]/g1,[0.3,0.5]Vg2,[0.3,0.4]/g3 Vague集的关联熵系数具有如下性质： [0.4,0.5]g} 性质6p(RVA;RVB)=p(RVB;RVa)≥0。 RA={[0.7,0.8]Vg1,[0.8,0.9]Vg2,[0.3,0.4]Vg3 性质7RVa,RVa是任意的粗糙Vague集，则 [0.4,0.5]g4} 有0≤p(RVA:RVs)≤1；当且仅当RVa=RVB时， RB={[0.1,0.2]Vg1,[0.4,0.5]/g2,[0.5,0.6]Vg3 p(RV4 RV)=1。 [0.3,0.4]g4} 证明由定义6可知，当RV-RVE时，有型，(x)= RE={[0.7,0.9]/g1,[0.6,0.7]/g2,[0.5,0.6]/g3 y(),1-f匙(x)=1-fy(x)；且(x)=t(d), [0.4,0.5]g} 1-f,(o)=1-f,(m),所以根据粗糙Vague集关 式中：g,分别代表论域U上的对象在等价关系 联熵定义即有p(RVRV)Fl。 R下的等价类。这样，RVA=(RV,RTA,RVB=(RVg,RVs) 又因为pRV:RVs)≤Lp(RVA;RVa)≤lp(RVa;RVs)= 分别为等价关系R下的两个粗糙Vague集。 pRVa;RV)AP(RVA:RV),所以0≤pRV;RVg)≤I。 由粗糙Vague集关联嫡系数的定义，经计算 从性质6和性质7可以看出，粗糙Vague集 可得： 的关联嫡系数p(RV;RV)满足定义10中粗糙 P(RVRV)=0.95;p(RVA:RVB)=0.91 Vague集相似度的定义。 则RV4和RVB的关联熵系数p(RV:RVs)=
− ∑ x∈X(1) ( tRVB (xi)lntRVA (xi)+ fRVA (xi)ln fRVB (xi) ) − ∑ x∈X(1) ( tRVA (xi)lntRVB (xi)+ fRVB (xi)ln fRVA (xi) ) = − ∑ x∈X(1) ( tRVB (xi)lntRVA (xi)+ fRVB (xi)ln fRVA (xi) ) − ∑ x∈X(1) ( tRVA (xi)lntRVB (xi)+ fRVA (xi)ln fRVB (xi) ) = E(RVA;RVB) 其他 3 种情况证明类似。 E(RVC ;RVD ) = E(RVA ;RVB ) E(RVA ∪RVB;RVA ∩RVB) = E (RVA;RVB) 同理可以证明 ，所以 有 。 定义 9 粗糙 Vague 集 RVA、RVB 的关联熵系 数定义为 ρ(RVA;RVB) = ρ(RVA ;RVB )∧ρ(RVA;RVB) ρ(RVA ;RVB )= (E(RVA )+E(RVB ))nln 2 E(RVA ;RVB ) ρ(RVA; RVB) = (E(RVA)+ E(RVB ))nln 2 E(RVA;RVB) 式中： ； 。 为了进一步利用关联熵系数来度量粗糙 Vague 集的相似性，下面我们先给出粗糙 Vague 集相似 度的定义。 RVA = (RVA ,RVA) RVB = (RVB ,RVB) 定义 10 设论域 U 是一个非空集合，R 是 U 上的一个等价关系，A、B 是 U 上两个 Vague 集 ，由 R 和 A、 B 构成的粗糙 Vague 集分别为 RVA 和 RVB，其中 ， ， 如果 M(RVA, RVB) 满足性质： 1) 0 ≤ M(RVA, RVB) ≤ 1； 2) 如果 RVA = RVB，则 M(RVA, RVB) = 1； 3) M(RVA, RVB) = M(RVB, RVA)， 则称 M(RVA, RVB) 为粗糙 Vague 集 RVA 与 RVB 的相似度。 显然，粗糙 Vague 集 RVA、RVB 的关联熵系数 ρ(RVA; RVB) 是对称的，而且是非负的，即粗糙 Vague 集的关联熵系数具有如下性质： 性质 6 ρ(RVA;RVB) = ρ(RVB;RVA) ⩾ 0。 0 ⩽ ρ(RVA;RVB) ⩽ 1 性质 7 RVA, RVB 是任意的粗糙 Vague 集，则 有 ；当且仅 当 R V A =RV B 时 ， ρ(RVA; RVB)=1。 tRVA (x) = tRVB (x) 1− fRVA (x) = 1− fRVB (x) tRVA (x) = tRVB (x) 1− fRVA (x) = 1− fRVB (x) 证明 由定义 6 可知，当 RVA=RVB 时，有 ， ； 且 ， ，所以根据粗糙 Vague 集关 联熵定义即有 ρ(RVA; RVB)=1。 ρ(RVA ;RVB )⩽1 ρ(RVA;RVB)⩽1 ρ(RVA;RVB)= ρ(RVA;RVB)∧ρ(RVA;RVB) 又因为 , , , 所以 0≤ρ(RVA; RVB)≤1。 从性质 6 和性质 7 可以看出，粗糙 Vague 集 的关联熵系数 ρ(RVA; RVB) 满足定义 10 中粗糙 Vague 集相似度的定义。 ρ(RVA;RVB) ρ(RVA ;RVB ) 与 Fuzzy 集、粗糙模糊集的关联熵系数类似， 在定义 9 中粗糙 Vague 集 RVA、RVB 的关联熵系 数的定义中， 是对两个粗糙 Vague 集 RVA, RVB 上近似相似程度的度量， 是 对两个粗糙 Vague 集 RVA、RVB 下近似相似性度 量。为了有效度量两个粗糙 Vague 集间的相似 性，关联熵系数 ρ(RVA; RVB) 同时考虑了上、下近 似相似性程度，具有一定的合理性。 性质 8 ρ(RVA ∪RVB;RVA ∩RVB) = ρ(RVA;RVB)。 证明方法同性质 5 的证明类似，这里不再赘述。 粗糙 Vague 集是针对现实世界中所研究对象 兼具模糊性和不可分辨性特点的新的理论方法， 研究粗糙 Vague 集的关联熵和关联熵系数可为粗 糙 Vague 集相似性度量提供一种新思路。 4 实例分析与比较 U = {x1, x2,··· , x8} 例 1 给定一个知识库 K = (U, R)，其中论域 ，R 是 U 上一个不分明关系，U/R = {E1 , E2 , E3 , E4}，其中：E1= {x1 , x4 , x8}，E2= {x2 , x5 , x7}，E3= {x3 }，E4= {x6 }，假定 U 上两个 Vague 集分 别为： A={[0.7, 0.8]/x1 , [0.8, 0.9]/x2 , [0.3, 0.4]/x3 , [0.1, 0.2]/x4 , [0.5, 0.6]/x5 , [0.4, 0.5]/x6 , [0.3, 0.5]/x7 , [0.5, 0.7]/x8}； B={[0.7, 0.9]/x1 , [0.6, 0.7]/x2 , [0.5, 0.6]/x3 , [0.2, 0.3]/x4 , [0.4, 0.6]/x5 , [0.3, 0.4]/x6 , [0.4, 0.5]/x7 , [0.1, 0.2]/x8}。 对于每个对象 Vague 取值的依据，这里暂不 做讨论，有时候是凭借专家经验。由粗糙 Vague 集的定义可知，论域 U 上的两个 Vague 集 A、B 在 不分明关系 R 上的下、上近似 Vague 集分别为： RA = {[0.1, 0.2]/g1 , [0.3, 0.5]/g2 , [0.3, 0.4]/g3 , [0.4, 0.5]/g4} RA = {[0.7, 0.8]/g1 , [0.8, 0.9]/g2 , [0.3, 0.4]/g3 , [0.4, 0.5]/g4} RB = {[0.1, 0.2]/g1 , [0.4, 0.5]/g2 , [0.5, 0.6]/g3 , [0.3, 0.4]/g4} RB = {[0.7, 0.9]/g1 , [0.6, 0.7]/g2 , [0.5, 0.6]/g3 , [0.4, 0.5]/g4} RVA =(RVA ,RVA) RVB=(RVB ,RVB) 式中：gi 分别代表论域 U 上的对象在等价关系 R下的等价类。这样， ， 分别为等价关系 R 下的两个粗糙 Vague 集。 由粗糙 Vague 集关联熵系数的定义，经计算 可得： ρ(RVA ;RVB ) = 0.95; ρ(RVA;RVB) = 0.91 则 RVA 和 RVB 的关联熵系数 ρ(RVA;RVB) = 第 4 期 张倩倩，等：基于关联熵系数的粗糙 Vague 集相似性度量方法 ·653·
·654· 智能系统学报 第13卷 pRY:RYs)AP(RVA;RVg)=0.91,即在论域U中知 可用来度量两个Vague集的相似度；当Vague集 识具有不可分辨关系的背景下，两个Vague集 中对象之间具有不可分辨关系时，即可用关联熵 A和B具有极高的相似度，难以区分。 系数来度量粗糙Vague集的相似度，此时，需要同 同样可以计算，若不考虑知识背景R时，Vauge 时考虑上近似和下近似的相似程度。 集A和Vague集B的关联熵系数p(Va;Vg)=0.84, 则在模式识别或者聚类分析应用领域，若研究对 5结束语 象空间的粒度很细，即所研究对象可精确分辨的 若考虑一定的知识背景，即所研究对象在某 背景下，Vague集A和B相对容易区分。 种程度上不可分辨时，单纯度量模糊集或者Vague 为了进一步说明问题，下面和文献[22-23]中 集之间相似性的度量方法具有一定的局限性。有 有关直觉模糊集相似度在模式识别方面的应用来 学者通过引入粗糙模糊集的关联嫡系数，用于度 做对比分析。 量粗糙模糊集的相似性程度就比较合理。当实际 例2设有3个已知模式P、P2与P,分别被 应用中所面对的研究对象为更符合人类直觉的 标注为C、C2与C类。3个模式P、P2与P,是定 Vague集时，本文提出了基于关联嫡系数的粗糙 义在论域U={x1,x2,x,x4}上的直觉模糊集。在 Vague集模型相似性度量方法，并通过实例验证 此，我们将此例中的直觉模糊集用Vague集的形 了方法的有效性，为粗糙Vague集的相似性度量 式表示，则有： 提供一种新思路。在以后的研究中，将进一步讨 P={[0.5,0.8]/x1,[0.5,0.8]/x2,[0.4,0.8]/3,[0.5, 论粗糙Vague集相似性度量方法在真实数据集上 0.7刀]/x4 的相关应用，为Vague集聚类分析、模式识别和 P2={[0.5,0.7刀/x,[0.5,0.8]/x2,[0.4,0.8]x3,[0.3, 大数据挖掘提供理论基础。 0.5]x4 P3={[0.3,0.9]/x1,[0.5,1.0]/x2,[0.3,0.9]x3,[0.5, 参考文献： 0.5]x4} [1]PAWLAK Z.Rough sets:theoretical aspects of reasoning 现有一个定义在U={x1,x2,x,x}上的未知 about data[M].Dordrecht,Netherlands:Kluwer Academic 模式： Publishers,1991. Q={[0.4,0.8]/x,[0.5,0.8]/x2,[0.4,0.8]/x,[0.5, [2]GAU W L.BUEHRER D J.Vague sets[J].IEEE transac- 0.5]k4}。 tions on systems,man,and cybernetics,1993.23(2): 为了知道Q被划分到C、C2与C,的哪一个 610-614. [3]ZHANG Qingchuan,ZENG Guangping,XIAO Chaoen,et 类，需要分别计算Q与3个已知模式P、P2与 al.A rule conflict resolution method based on Vague set[J]. P的相似度。 Soft computing,2014,18(3):549-555. 在例2中，可以认为是最细粒度的粗糙Vague [4]欧阳春娟，李斌，李霞，等.基于Vague集相似度量的图 集，即每个对象x,都是可区分的。因此，只需要 像隐写系统安全性测度.计算机学报，2012,35(7)： 分别计算Q与P、P2、P3的关联嫡系数即可。由 1510-1521. 定义9计算得知p(P1;Q)=0.96,p(P2;Q)=0.97, OUYANG Chunjuan,LI Bin,LI Xia,et al.A new security pP3,Q=0.79。 evaluation for steganographic system based on Vague set 其中，在计算p(P,Q)过程中，由于P在上 similarity measure[J].Chinese journal of computers,2012, 的假隶属度=0，因此在计算中使用了一个较小 35(7):1510-1521. 的数，这里用0.01来替换，得出P3与Q的关联嫡 [5]ATANASSOV K T.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy sets 系数为0.79。如果用来替换的数值更小，关联嫡 and systems,1986,20(3y:87-96. 系数越小。因此，使用关联熵系数来度量Vague [6]BUSTINCE H,BURILLO P.Vague sets are intuitionistic 集的相似度时，将Q识别为C2类，得到了和文献 fuzzy sets[J].Fuzzy sets and systems,1996,79(3): 403-405. [23]一致的结论。此外，Q与C,类之间的相似度 [7]徐久成，张倩倩.覆盖粗糙Vague集的不确定性度量研 和Q与C2类之间的相似度差别较小，这就是为什 究).计算机科学，2010,37(10225-227,282. 么在文献[23]中，会出现采用某些度量方法将 XU Jiucheng,ZHANG Qianqian.Research on uncertainty Q识别为C,类，有些度量方法将Q识别为C2类。 measurement for covering rough-Vague sets[J].Computer 可见，文中采用关联熵系数来度量粗糙Vague science,2010,37(10y:225-227,282. 集相似度的方法，是Vague集相似度度量方法的 [8]王伟，彭进业，李展.一种覆盖粗糙Vague集模型及其不 推广。当Vague集中对象之间完全可区分时，即 确定性度量).计算机科学，2012,39(8：228-232
ρ(RVA ;RVB )∧ρ(RVA;RVB) = 0.91 ，即在论 域 U 中 知 识具有不可分辨关系的背景下，两个 Vague 集 A 和 B 具有极高的相似度，难以区分。 同样可以计算，若不考虑知识背景 R 时，Vauge 集 A 和 Vague 集 B 的关联熵系数 ρ(VA; VB) = 0.84， 则在模式识别或者聚类分析应用领域，若研究对 象空间的粒度很细，即所研究对象可精确分辨的 背景下，Vague 集 A 和 B 相对容易区分。 为了进一步说明问题，下面和文献[22-23]中 有关直觉模糊集相似度在模式识别方面的应用来 做对比分析。 例 2 设有 3 个已知模式 P1、P2 与 P3，分别被 标注为 C1、C2 与 C3 类。3 个模式 P1、P2 与 P3 是定 义在论域 U ={x1 , x2 , x3 , x4}上的直觉模糊集。在 此，我们将此例中的直觉模糊集用 Vague 集的形 式表示，则有： P1={[0.5, 0.8]/x1 , [0.5, 0.8]/x2 , [0.4, 0.8]/x3 , [0.5, 0.7]/x4}; P2={[0.5, 0.7]/x1 , [0.5, 0.8]/x2 , [0.4, 0.8]/x3 , [0.3, 0.5]/x4}; P3={[0.3, 0.9]/x1 , [0.5, 1.0]/x2 , [0.3, 0.9]/x3 , [0.5, 0.5]/x4}; 现有一个定义在 U ={x1 , x2 , x3 , x4}上的未知 模式： Q={[0.4, 0.8]/x1 , [0.5, 0.8]/x2 , [0.4, 0.8]/x3 , [0.5, 0.5]/x4}。 为了知道 Q 被划分到 C1、C2 与 C3 的哪一个 类，需要分别计算 Q 与 3 个已知模式 P1、P2 与 P3 的相似度。 在例 2 中，可以认为是最细粒度的粗糙 Vague 集，即每个对象 xi 都是可区分的。因此，只需要 分别计算 Q 与 P1、P2、P3 的关联熵系数即可。由 定义 9 计算得知 ρ(P1 ; Q) = 0.96，ρ(P2 ; Q) = 0.97， ρ(P3 ; Q)=0.79。 其中，在计算 ρ(P3 ; Q) 过程中，由于 P3 在 x2 上 的假隶属度 fx=0，因此在计算中使用了一个较小 的数，这里用 0.01 来替换，得出 P3 与 Q 的关联熵 系数为 0.79。如果用来替换的数值更小，关联熵 系数越小。因此，使用关联熵系数来度量 Vague 集的相似度时，将 Q 识别为 C2 类，得到了和文献 [23]一致的结论。此外，Q 与 C1 类之间的相似度 和 Q 与 C2 类之间的相似度差别较小，这就是为什 么在文献[23]中，会出现采用某些度量方法将 Q 识别为 C1 类，有些度量方法将 Q 识别为 C2 类。 可见，文中采用关联熵系数来度量粗糙 Vague 集相似度的方法，是 Vague 集相似度度量方法的 推广。当 Vague 集中对象之间完全可区分时，即 可用来度量两个 Vague 集的相似度；当 Vague 集 中对象之间具有不可分辨关系时，即可用关联熵 系数来度量粗糙 Vague 集的相似度，此时，需要同 时考虑上近似和下近似的相似程度。 5 结束语 若考虑一定的知识背景，即所研究对象在某 种程度上不可分辨时，单纯度量模糊集或者 Vague 集之间相似性的度量方法具有一定的局限性。有 学者通过引入粗糙模糊集的关联熵系数，用于度 量粗糙模糊集的相似性程度就比较合理。当实际 应用中所面对的研究对象为更符合人类直觉的 Vague 集时，本文提出了基于关联熵系数的粗糙 Vague 集模型相似性度量方法，并通过实例验证 了方法的有效性，为粗糙 Vague 集的相似性度量 提供一种新思路。在以后的研究中，将进一步讨 论粗糙 Vague 集相似性度量方法在真实数据集上 的相关应用，为 Vague 集聚类分析、模式识别和 大数据挖掘提供理论基础。 参考文献： PAWLAK Z. Rough sets: theoretical aspects of reasoning about data[M]. Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1991. [1] GAU W L, BUEHRER D J. Vague sets[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics, 1993, 23(2): 610–614. [2] ZHANG Qingchuan, ZENG Guangping, XIAO Chaoen, et al. A rule conflict resolution method based on Vague set[J]. Soft computing, 2014, 18(3): 549–555. [3] 欧阳春娟, 李斌, 李霞, 等. 基于 Vague 集相似度量的图 像隐写系统安全性测度[J]. 计算机学报, 2012, 35(7): 1510–1521. OUYANG Chunjuan, LI Bin, LI Xia, et al. A new security evaluation for steganographic system based on Vague set similarity measure[J]. Chinese journal of computers, 2012, 35(7): 1510–1521. [4] ATANASSOV K T. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy sets and systems, 1986, 20(3): 87–96. [5] BUSTINCE H, BURILLO P. Vague sets are intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy sets and systems, 1996, 79(3): 403–405. [6] 徐久成, 张倩倩. 覆盖粗糙 Vague 集的不确定性度量研 究[J]. 计算机科学, 2010, 37(10): 225–227, 282. XU Jiucheng, ZHANG Qianqian. Research on uncertainty measurement for covering rough-Vague sets[J]. Computer science, 2010, 37(10): 225–227, 282. [7] 王伟, 彭进业, 李展. 一种覆盖粗糙 Vague 集模型及其不 确定性度量[J]. 计算机科学, 2012, 39(8): 228–232. [8] ·654· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷
第4期 张倩倩，等：基于关联熵系数的粗糙Vague集相似性度量方法 ·655· WANG Wei,PENG Jinye,LI Zhan.Covering rough Vague [18]苗夺谦，魏莱，徐菲菲.粗糙模糊集的关联嫡与关联嫡 sets and uncertainty measurement[J].Computer science, 系数.同济大学学报：自然科学版，2007,35(7)： 2012,39(8):228-232 970-974 [9]SUN Bingzhen,XU Youquan,ZENG Dalin.Rough Vague MIAO Duoqian,WEI Lai,XU Feifei.Relative entropy set over two universes[C]//Proceedings of 2013 Interna- and Its coefficient of rough fuzzy sets[J].Journal of tional Conference on Machine Learning and Cybernetics. Tongji university:natural science,2007,35(7):970-974. Tianjin,China,2013:682-686 [19]NAMBURU A.SAMAYAMANTULA S K.EDARA S [10]HUANG Bing,WEI Dakuan,LI Huaxiong,et al.Using a R.Generalised rough intuitionistic fuzzy c-means for rough set model to extract rules in dominance-based inter- magnetic resonance brain image segmentation[J].IET im- val-valued intuitionistic fuzzy information systems[J].In- age processing,.2017,11(9):777-785. formation sciences,2013,221:215-229. [20]LIU Yong,LIN Yi.Intuitionistic fuzzy rough set model [11]郭庆，杨善林，刘文军.直觉模糊集信息系统属性约简 based on conflict distance and applications[J].Applied 算法.模糊系统与数学，2014,28(4)：138-143 soft computing,2015,31:266-273. GUO Qing,YANG Shanlin,LIU Wenjun.A novel attrib- [21]刘金良，闫瑞霞，姚炳学.粗糙Vague集的不确定性度 utes reduction algorithm of intuitionistic fuzzy-valued in- 量円.系统工程与电子技术，2008,30(1)：104107. formation system[J].Fuzzy systems and mathematics, LIU Jinliang,YAN Ruixia,YAO Bingxue.Uncertainty 2014,28(4138-143. measures in rough-vague set[J].Systems engineering and [12]HUANG Bing,GUO Chunxiang,ZHUANG Yuliang,et electronics.2008.30(1):104-107. al.Intuitionistic fuzzy multigranulation rough sets[J].In- [22]BORAN F E.AKAY D.A biparametric similarity meas- formation sciences,2014,277:299-320. ure on intuitionistic fuzzy sets with applications to pat- [13]郭郁婷，李进金，李克典，等.多粒度覆盖粗糙直觉模糊 tern recognition[J].Information sciences,2014,255: 集模型).南京大学学报：自然科学版，2015,51(2)： 45-57. 438-446. [23]刘鹏患.从模糊集到直觉模糊集相似度的构造方法)， GUO Yuting,LI Jinjin,LI Kedian,et al.Multi-granula- tion covering rough-intuitionistic fuzzy set model[J]. 西华大学学报：自然科学版，2016.35(2：17-24,87. Journal of Nanjing university:natural sciences,2015, LIU Penghui.Approaches to constructing similarity meas- 51(2:438-446. ures from fuzzy sets to intuitionistic fuzzy sets[J].Journal [14]范成礼，雷英杰，张戈.改进的直觉模糊粗糙集相似性 of Xihua university:natural science,2016,35(2):17-24, 度量方法).计算机应用，2011,31(5)：13441347. 87. FAN Chengli,LEI Yingjie,ZHANG Ge.Improved meas- 作者简介： ure of similarity between intuitionistic fuzzy rough 张倩倩，女，1982年生，实验师， sets[J].Journal of computer applications,2011,31(5): 主要研究方向为粗糙集，Vague集理 1344-1347. 论、粒计算。 [15]楚俊峰，王应明.基于新的区间直觉模糊集相似性测度 的模式识别[J1.计算机工程与应用，2013,49(9)： 140-143,155 CHU Junfeng,WANG Yingming.Method of pattern re- cognition based on new similarity measure of interval-val- ued intu-itionistic fuzzy set[J].Computer engineering and 马媛媛，女，1981年生，讲师，主 applications,.2013,49(9):140-143,155 要研究方向为粒计算、信息隐藏与多 [16]王毅，刘三阳，程月蒙，等.基于倾向性的直觉模糊相似 媒体安全。 度量方法[J].系统工程与电子技术，2015,37(4)： 863-867. WANG Yi,LIU Sanyang,CHENG Yuemeng,et al.Intu- itionistic fuzzy similarity measure approach based on ori- entation[J].Systems engineering and electronics,2015, 徐久成，男，1963年生，教授，博 37(4):863-867 士，主要研究方向为粗糙集、粒计算、 [17]权双燕，吴慧.Vague集的偏嫡与关联嫡[).计算机应 数据挖掘、生物信息。 用与软件，2008.25(2)：54-56. QUAN Shuangyan,WU Hui.Partial entropy and relative entropy of vague sets[J].Computer applications and soft- ware,2008.25(2):54-56
WANG Wei, PENG Jinye, LI Zhan. Covering rough Vague sets and uncertainty measurement[J]. Computer science, 2012, 39(8): 228–232. SUN Bingzhen, XU Youquan, ZENG Dalin. Rough Vague set over two universes[C]//Proceedings of 2013 International Conference on Machine Learning and Cybernetics. Tianjin, China, 2013: 682–686. [9] HUANG Bing, WEI Dakuan, LI Huaxiong, et al. Using a rough set model to extract rules in dominance-based interval-valued intuitionistic fuzzy information systems[J]. Information sciences, 2013, 221: 215–229. [10] 郭庆, 杨善林, 刘文军. 直觉模糊集信息系统属性约简 算法[J]. 模糊系统与数学, 2014, 28(4): 138–143. GUO Qing, YANG Shanlin, LIU Wenjun. A novel attributes reduction algorithm of intuitionistic fuzzy-valued information system[J]. Fuzzy systems and mathematics, 2014, 28(4): 138–143. [11] HUANG Bing, GUO Chunxiang, ZHUANG Yuliang, et al. Intuitionistic fuzzy multigranulation rough sets[J]. Information sciences, 2014, 277: 299–320. [12] 郭郁婷, 李进金, 李克典, 等. 多粒度覆盖粗糙直觉模糊 集模型[J]. 南京大学学报: 自然科学版, 2015, 51(2): 438–446. GUO Yuting, LI Jinjin, LI Kedian, et al. Multi-granulation covering rough-intuitionistic fuzzy set model[J]. Journal of Nanjing university: natural sciences, 2015, 51(2): 438–446. [13] 范成礼, 雷英杰, 张戈. 改进的直觉模糊粗糙集相似性 度量方法[J]. 计算机应用, 2011, 31(5): 1344–1347. FAN Chengli, LEI Yingjie, ZHANG Ge. Improved measure of similarity between intuitionistic fuzzy rough sets[J]. Journal of computer applications, 2011, 31(5): 1344–1347. [14] 楚俊峰, 王应明. 基于新的区间直觉模糊集相似性测度 的模式识别[J]. 计算机工程与应用, 2013, 49(9): 140–143, 155. CHU Junfeng, WANG Yingming. Method of pattern recognition based on new similarity measure of interval-valued intu-itionistic fuzzy set[J]. Computer engineering and applications, 2013, 49(9): 140–143, 155. [15] 王毅, 刘三阳, 程月蒙, 等. 基于倾向性的直觉模糊相似 度量方法[J]. 系统工程与电子技术, 2015, 37(4): 863–867. WANG Yi, LIU Sanyang, CHENG Yuemeng, et al. Intuitionistic fuzzy similarity measure approach based on orientation[J]. Systems engineering and electronics, 2015, 37(4): 863–867. [16] 权双燕, 吴慧. Vague 集的偏熵与关联熵[J]. 计算机应 用与软件, 2008, 25(2): 54–56. QUAN Shuangyan, WU Hui. Partial entropy and relative entropy of vague sets[J]. Computer applications and software, 2008, 25(2): 54–56. [17] 苗夺谦, 魏莱, 徐菲菲. 粗糙模糊集的关联熵与关联熵 系数[J]. 同济大学学报: 自然科学版, 2007, 35(7): 970–974. MIAO Duoqian, WEI Lai, XU Feifei. Relative entropy and Its coefficient of rough fuzzy sets[J]. Journal of Tongji university: natural science, 2007, 35(7): 970–974. [18] NAMBURU A, SAMAYAMANTULA S K, EDARA S R. Generalised rough intuitionistic fuzzy c-means for magnetic resonance brain image segmentation[J]. IET image processing, 2017, 11(9): 777–785. [19] LIU Yong, LIN Yi. Intuitionistic fuzzy rough set model based on conflict distance and applications[J]. Applied soft computing, 2015, 31: 266–273. [20] 刘金良, 闫瑞霞, 姚炳学. 粗糙 Vague 集的不确定性度 量[J]. 系统工程与电子技术, 2008, 30(1): 104–107. LIU Jinliang, YAN Ruixia, YAO Bingxue. Uncertainty measures in rough-vague set[J]. Systems engineering and electronics, 2008, 30(1): 104–107. [21] BORAN F E, AKAY D. A biparametric similarity measure on intuitionistic fuzzy sets with applications to pattern recognition[J]. Information sciences, 2014, 255: 45–57. [22] 刘鹏惠. 从模糊集到直觉模糊集相似度的构造方法[J]. 西华大学学报: 自然科学版, 2016, 35(2): 17–24, 87. LIU Penghui. Approaches to constructing similarity measures from fuzzy sets to intuitionistic fuzzy sets[J]. Journal of Xihua university: natural science, 2016, 35(2): 17–24, 87. [23] 作者简介： 张倩倩，女，1982 年生，实验师， 主要研究方向为粗糙集、Vague 集理 论、粒计算。 马媛媛，女，1981 年生，讲师，主 要研究方向为粒计算、信息隐藏与多 媒体安全。 徐久成，男，1963 年生，教授，博 士，主要研究方向为粗糙集、粒计算、 数据挖掘、生物信息。 第 4 期 张倩倩，等：基于关联熵系数的粗糙 Vague 集相似性度量方法 ·655·