第13卷第5期 智能系统学报 Vol.13 No.5 2018年10月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Oct.2018 D0:10.11992/tis.201706066 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180419.1332.004html GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制 付兴建，于士贤 (北京信息科技大学自动化学院，北京100192) 摘要：针对一类不确定系统的跟踪控制，设计了一种将GBF-CMAC(cerebellar model articulation controller with Gauss basis function)与滑模控制相结合的控制系统。利用符号距离和分层结构减少了神经网络所需存储器的 数量，并提出了一种神经网络参数的自适应学习律。将设计的控制器用于含有不确定性和欠驱动结构的高阶 柔性直线结构系统的跟踪控制，并与一般滑模控制和积分滑模控制进行了比较。实验结果表明，所设计的控制 器不仅具有较好的鲁棒性，而且改善了滑模控制存在的抖振问题。同时通过调整神经网络的参数对抖振进行 控制，实现了抖振和跟踪性能之间的最优选择。 关键词：高斯基函数；小脑模型控制器：神经网络；自适应；分层结构；滑模控制；不确定系统：柔性直线系统 中图分类号：TP273 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2018)05-0791-08 中文引用格式：付兴建，于士贤.GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制1.智能系统学报，2018,13(5)：791-798 英文引用格式：FU Xingjian,YU Shixian.Flexible plant system control based on GBF-CMAC and sliding mode controlfJ.CAAI transactions on intelligent systems,2018,13(5):791-798. Flexible plant system control based on GBF-CMAC and sliding mode control FU Xingjian,YU Shixian (School of Automation,Beijing Information Science and Technology University,Beijing 100192,China) Abstract:In this paper,a tracking control method combining cerebellar model articulation controller with Gaussian basis function(GBF-CMAC)and sliding mode control (SMC)for uncertain systems is designed.An adaptive learning algorithm of GBF-CMAC is proposed,in which a signed distance and hierarchical structure are used to reduce the memory capacity needed by the neural network.The designed controller is applied for the tracking control of high-order flexible linear system with uncertainties and under-actuated structures,and it is compared with general SMC and integ- ral sliding mode control (ISMC).The experimental results show that the designed controller has a better robustness and improves the chattering problem of SMC.Moreover,the chattering is controlled by adjusting the parameters of the neur- al network to achieve the optimal choice between chattering and tracking performance. Keywords:Gaussian basis function;CMAC;neural network;adaptive;sliding mode control;hierarchical structure;un- certain system;flexible linear system 随着现代控制系统规模的不断扩大，系统的 不确定系统设计了各种各样的控制系统，并取 机械复杂度和环境复杂度越来越高，整个系统往 得了较好的效果。 往呈现出复杂的非线性和不确定性。不确定性的 滑模控制的基本原理是根据系统当前的状态 存在使得传统控制理论很难或者无法设计出满足 有目的地改变系统的“结构”，使系统按照预定的 性能要求的控制系统。近些年来，很多学者针对 “滑动模态”的状态轨迹运动，故称滑模控制是一 收稿日期：2017-06-19.网络出版日期：2018-04-19 种变结构控制。由于滑模控制具有“不变性”，当 基金项目：国家自然科学基金项目(61573230)】 通信作者：付兴建.E-mail:fuxingjian(@sina.com. 系统处于滑动模态运动状态时，系统动力学行为
DOI: 10.11992/tis.201706066 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180419.1332.004.html GBF-CMAC 和滑模控制的柔性结构系统控制 付兴建，于士贤 （北京信息科技大学 自动化学院，北京 100192） 摘 要：针对一类不确定系统的跟踪控制，设计了一种将 GBF-CMAC(cerebellar model articulation controller with Gauss basis function) 与滑模控制相结合的控制系统。利用符号距离和分层结构减少了神经网络所需存储器的 数量，并提出了一种神经网络参数的自适应学习律。将设计的控制器用于含有不确定性和欠驱动结构的高阶 柔性直线结构系统的跟踪控制，并与一般滑模控制和积分滑模控制进行了比较。实验结果表明，所设计的控制 器不仅具有较好的鲁棒性，而且改善了滑模控制存在的抖振问题。同时通过调整神经网络的参数对抖振进行 控制，实现了抖振和跟踪性能之间的最优选择。 关键词：高斯基函数；小脑模型控制器；神经网络；自适应；分层结构；滑模控制；不确定系统；柔性直线系统 中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2018)05−0791−08 中文引用格式：付兴建, 于士贤. GBF-CMAC 和滑模控制的柔性结构系统控制[J]. 智能系统学报, 2018, 13(5): 791–798. 英文引用格式：FU Xingjian, YU Shixian. Flexible plant system control based on GBF-CMAC and sliding mode control[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(5): 791–798. Flexible plant system control based on GBF-CMAC and sliding mode control FU Xingjian，YU Shixian (School of Automation, Beijing Information Science and Technology University, Beijing 100192, China) Abstract: In this paper, a tracking control method combining cerebellar model articulation controller with Gaussian basis function (GBF-CMAC) and sliding mode control (SMC) for uncertain systems is designed. An adaptive learning algorithm of GBF-CMAC is proposed, in which a signed distance and hierarchical structure are used to reduce the memory capacity needed by the neural network. The designed controller is applied for the tracking control of high-order flexible linear system with uncertainties and under-actuated structures, and it is compared with general SMC and integral sliding mode control (ISMC). The experimental results show that the designed controller has a better robustness and improves the chattering problem of SMC. Moreover, the chattering is controlled by adjusting the parameters of the neural network to achieve the optimal choice between chattering and tracking performance. Keywords: Gaussian basis function; CMAC; neural network; adaptive; sliding mode control; hierarchical structure; uncertain system; flexible linear system 随着现代控制系统规模的不断扩大，系统的 机械复杂度和环境复杂度越来越高，整个系统往 往呈现出复杂的非线性和不确定性。不确定性的 存在使得传统控制理论很难或者无法设计出满足 性能要求的控制系统。近些年来，很多学者针对 不确定系统设计了各种各样的控制系统[1-4] ，并取 得了较好的效果。 滑模控制的基本原理是根据系统当前的状态 有目的地改变系统的“结构”，使系统按照预定的 “滑动模态”的状态轨迹运动，故称滑模控制是一 种变结构控制。由于滑模控制具有“不变性”，当 系统处于滑动模态运动状态时，系统动力学行为 收稿日期：2017−06−19. 网络出版日期：2018−04−19. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61573230). 通信作者：付兴建. E-mail：fuxingjian@sina.com. 第 13 卷第 5 期 智 能 系 统 学 报 Vol.13 No.5 2018 年 10 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Oct. 2018
·792· 智能系统学报 第13卷 完全由设计的“滑动模态”决定，而与系统内部参 数的不确定性和外部扰动无关，此时系统具有完 全鲁棒性，使其在不确定系统的控制中得到广泛 应用-刀，并取得了较好的效果。但是滑模控制存 在一个较为严重的缺点，就是当系统状态轨迹到 达滑模面后，难以严格地沿着滑模面向平衡点移 动，而是会在滑模面两侧来回穿越，即发生抖 振。一方面，抖振的存在会很容易激发系统的未 建模特性，从而使控制性能下降甚至导致系统发 散；另一方面，抖振的存在对于控制系统的硬件 也具有一定的损伤，导致控制系统的寿命大大缩 图1GBF-CMAC映射原理 短。对此，文献[8]利用BP神经网络的输出来调 Fig.1 Mapping principle of GBF-CMAC 整离散指数趋近律中的到达速度常数和趋近速度 1)存储器寻址过程计算权值选择向量a(x)。 指数；文献[9]针对板球系统，设计了一种基于蚁 a(x)∈RxN中有N个1，N-N。个0。其中，N。个 群的直接自适应模糊滑模控制器；文献[10]针对 1对应于与输入匹配的N个存储器，其位置表示 磁轴承系统，设计了一种自适应滑模控制器；文 为p∈{1,2，…，N,j=1,2,…,Ne;N。=NN"表示实 献[11]针对一类不确定系统，设计了一种将CMAC 际存储器的个数，存储映射采用一一映射时也等 与滑模控制相结合的基于自组织小波CMAC的 于联想存储器的个数。 不确定非线性系统鲁棒自适应终端滑模控制。 2)输出过程就是将N。个存储器存储的权值进 本文针对一类不确定系统的跟踪控制问题， 行求和，得到神经网络输出值。 设计了一种将GBF-CMAC和滑模控制相结合的 GBF-CMAC在传统CMAC的映射过程中附 控制系统。利用符号函数和分层结构减少了神经 加了一个基函数的计算。基函数矩阵B(x)∈RNw 网络所需存储器的数量，进一步提出了一种神经 是一个对角矩阵，其对角线元素中有N个非零值， 网络参数的自适应学习律。并将设计的控制器用 位置为pj=1,2…,N,其计算如式(1)所示。 于含有不确定性和欠驱动结构的高阶柔性直线系 b()p,= exp --4)2 j=1,2…,N。(1) 统的跟踪控制。 式中：为输人向量的第k维；和σ分别为输 1分层结构GBF-CMAC神经网络设计 入向量第k维对应的第j层第个分块的高斯函数 CMAC本质是一种基于表格查询技术的， 的中心和宽度。以图1为例，当j=1时b(x)为图 局部连接的类感知器型联想记忆神经网络。由 中点1和点4的函数值的乘积。 于CMAC具有局部连接、收敛速度快和逼近精度 GBF-CMAC的输出如式(2)所示： 高等优点，所以在控制领域（尤其是机器人控制 y=a(x)B(x)w (2) 系统中)得到广泛应用31。其中Chiang等16 式中：y∈R为网络输出；a(r)∈RxM为权值选择向 量；B()ER“xM为基函数矩阵；w∈R“I为权值 将Albus提出的CMAC的常数型基函数推广到了 向量。 一般类型的基函数，并引入了可微型基函数 由上述可知，GBF-CMAC所需存储器的个数 GBF-CMAC即为其中一种。 N是输入维数的指数型函数。当输入维数增加时 GBF-CMAC神经网络映射原理如图1所示， 所需存储器个数呈指数型增加，给实际应用带来 其中GBF-CMAC的基本参数为：输入维数n=2、 极大的困难。有很多学者针对此问题作了大量研 输出维数m=1、联想空间层数N。=3、联想空间每 究，并取得了很多较好的成果。一种方法是在存 层分块数N=3和量化等级Q=7。 储映射时采用压缩映射，但有研究表明该方法可 CMAC包含5层（输入层I、离散层S、联想 能会导致网络学习能力下降甚至可能导致学习发 层A、存储层M和输出层O)和4个映射（离散映 散1。基于此，本文先利用符号距离减少神经 射I→S、联想映射S→A、存储映射A→M和输出 网络的输入维数，再利用分层结构进一步减少神 映射M→O)。4个映射过程进一步可以分为两部分。 经网络所需存储器的数量，并提出了一种多GBF-
完全由设计的“滑动模态”决定，而与系统内部参 数的不确定性和外部扰动无关，此时系统具有完 全鲁棒性，使其在不确定系统的控制中得到广泛 应用[5-7] ，并取得了较好的效果。但是滑模控制存 在一个较为严重的缺点，就是当系统状态轨迹到 达滑模面后，难以严格地沿着滑模面向平衡点移 动，而是会在滑模面两侧来回穿越，即发生抖 振。一方面，抖振的存在会很容易激发系统的未 建模特性，从而使控制性能下降甚至导致系统发 散；另一方面，抖振的存在对于控制系统的硬件 也具有一定的损伤，导致控制系统的寿命大大缩 短。对此，文献[8]利用 BP 神经网络的输出来调 整离散指数趋近律中的到达速度常数和趋近速度 指数；文献[9]针对板球系统，设计了一种基于蚁 群的直接自适应模糊滑模控制器；文献[10]针对 磁轴承系统，设计了一种自适应滑模控制器；文 献[11]针对一类不确定系统，设计了一种将 CMAC 与滑模控制相结合的基于自组织小波 CMAC 的 不确定非线性系统鲁棒自适应终端滑模控制。 本文针对一类不确定系统的跟踪控制问题， 设计了一种将 GBF-CMAC 和滑模控制相结合的 控制系统。利用符号函数和分层结构减少了神经 网络所需存储器的数量，进一步提出了一种神经 网络参数的自适应学习律。并将设计的控制器用 于含有不确定性和欠驱动结构的高阶柔性直线系 统的跟踪控制。 1 分层结构 GBF-CMAC 神经网络设计 CMAC 本质是一种基于表格查询技术的[12] ， 局部连接的类感知器型联想记忆神经网络。由 于 CMAC 具有局部连接、收敛速度快和逼近精度 高等优点，所以在控制领域 (尤其是机器人控制 系统中) 得到广泛应用[13-15]。其中 Chiang 等 [16] 将 Albus 提出的 CMAC 的常数型基函数推广到了 一般类型的基函数，并引入了可微型基函数， GBF-CMAC 即为其中一种。 n = 2 m = 1 Ne = 3 Nb = 3 Q = 7 GBF-CMAC 神经网络映射原理如图 1 所示， 其中 GBF-CMAC 的基本参数为：输入维数 、 输出维数 、联想空间层数 、联想空间每 层分块数 和量化等级 。 CMAC 包含 5 层 (输入层 I、离散层 S、联想 层 A、存储层 M 和输出层 O) 和 4 个映射 (离散映 射 I→S、联想映射 S→A、存储映射 A→M 和输出 映射 M→O)。4 个映射过程进一步可以分为两部分。 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 x1 3 2 1 4 5 6 (x1 , x2 ) 1 0 2 3 4 5 6 7 图 1 GBF-CMAC 映射原理 Fig. 1 Mapping principle of GBF-CMAC a(xI) a(xI) ∈ R 1×Nh Ne Nh −Ne Ne Ne pj ∈ {1,2,··· ,Nh}, j = 1,2,··· ,Ne Nh = NeNb n 1) 存储器寻址过程计算权值选择向量 。 中 有 个 1 ， 个 0。其中， 个 1 对应于与输入匹配的 个存储器，其位置表示 为 ； 表示实 际存储器的个数，存储映射采用一一映射时也等 于联想存储器的个数。 2) 输出过程就是将 Ne个存储器存储的权值进 行求和，得到神经网络输出值。 B(xI) ∈ R Nh×Nh Ne pj , j = 1,2,··· ,Ne GBF-CMAC 在传统 CMAC 的映射过程中附 加了一个基函数的计算。基函数矩阵 是一个对角矩阵，其对角线元素中有 个非零值， 位置为 ，其计算如式 (1) 所示。 b(xI)pj = ∏n k=1 exp −(xI,k −µk, j,l k j ) 2 σ 2 k, j,l k j , j = 1,2,··· ,Ne (1) xI,k k µk, j,l k j σk, j,l k j k j l k j j=1 b(xI)p1 式中： 为输入向量的第 维； 和 分别为输 入向量第 维对应的第 层第 个分块的高斯函数 的中心和宽度。以图 1 为例，当 时 为图 中点 1 和点 4 的函数值的乘积。 GBF-CMAC 的输出如式 (2) 所示： y = a(xI)B(xI)w (2) y ∈ R a(xI) ∈ R 1×Nh B(xI) ∈ R Nh×Nh w ∈ R Nh×1 式中： 为网络输出； 为权值选择向 量 ； 为基函数矩阵； 为权值 向量。 Nh 由上述可知，GBF-CMAC 所需存储器的个数 是输入维数的指数型函数。当输入维数增加时 所需存储器个数呈指数型增加，给实际应用带来 极大的困难。有很多学者针对此问题作了大量研 究，并取得了很多较好的成果。一种方法是在存 储映射时采用压缩映射，但有研究表明该方法可 能会导致网络学习能力下降甚至可能导致学习发 散 [17-18]。基于此，本文先利用符号距离减少神经 网络的输入维数，再利用分层结构进一步减少神 经网络所需存储器的数量，并提出了一种多 GBF- ·792· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷
第5期 付兴建，等：GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制 ·793· CMAC神经网络参数的自适应学习律。 数自适应学习律。不失一般性，现以输出维数 以二维输入为例，利用符号距离减少神经网 m=1为例说明其学习过程，当m≠1时仅需输出的 络输入维数的原理如图2所示，过程为： 每一维做下述运算即可。 1)若原网络的输人形如x=(x,2),则其可以 性能指标如式(4)： 表示为二维坐标系中的一个点； 2)设过原点的直线为x1+x2=0,其中1为常 E-y (4) 数。计算输入点到该直线的距离并将其作为网络 式中：y为输出期望值；y为神经网络输出。 的新输入，计算如式(3)所示： 第一层GBF-CMAC的个数为n=1,输入向 =专+ (3) V1+2 量为x1∈R,输出yR,参数学习律如式(5)(7)： a aE △wp=-U+Nb(x1)p,avp aE dy a(ya-y)b(x1)p (5) U+N.b(x1)p,dy awp U+N.b()p a (a(ya-y)b(x U+N.b(x) 2a(ya-y) U+N.b(xi)p, 1- Nb(x1)p, U+Neb(x1)p (6) [-(u-4)}2]x1-4 exp aa(ya-y)b(x1)p 图2符号距离原理图 △ci鵡= OGij U+N.b(x1)p Fig.2 Principle of signed distance 2a(ya-y) Neb(x1)p, 分层结构GBF-CMAC原理如图3所示。假 U+Neb(xi)p U+Nb(xi)p (7) 设网络输人维数为n,=18,若使用1个GBF-CMAC, -(x一 exp 其联想层数N=5,每层分块数N=42,则需要的 存储器总数N。=8.29×1029,这在实际应用中几乎 式中：△wp,、△4和△o#分别为权值的修正量、基 无法达到。若使用两层结构n1=1,2=6,每个 函数中心和宽度的修正量；α为学习率；U表示自 GBF-CMAC网络结构参数都选为N。=5,N。=42, 适应参数，为常数；i=1,2,…,2;j=1,2,…,N;除 则需要的存储器总数最少为N=7×10,这在实际 了P,和位置的参数，其余位置参数不更新。 应用中就可以很容易地实现。这种做法的实质是 该层网络除了计算各参数的修正量外，还需 通过增加少量的算法复杂度而达到大量减少所需 存储器个数的目的，随着处理器计算能力的加 要计算正，其计算如式(8： 强，这种方法完全具有可操作性8。 2wp b( =61. (8) GBF- :X2 CMAC2 式中：i=1,2,…,2;wp为权值向量w的第p个权值。 X1 GBF. GBF- 第二层GBF-CMAC的个数为m2。网络的输入 CMAC2 CMACI x2为m维列向量（其中i=1,2,…,2,,表示第i个 GBF- CMAC2 GBF-CMAC的输入维数， 立6=片输出为01。 i1 网络参数的学习律如式(9)(11)。 第二层 第一层 OE 图3分层结构GBF-CMAC原理图 AWp,=U+Nb(x2i)p Owp Fig.3 Principle of hierarchical GBF-CMAC OE 002= (9) 分层结构GBF-CMAC学习过程的参数更新 U+N.b(x2)002i Owp 一般采用反向传播和梯度下降法0-2。在此基础 上，本文提出了一种分层结构多GBF-CMAC的参 票装- U+N.b(x2i)p,Ox1i OWp
CMAC 神经网络参数的自适应学习律。 以二维输入为例，利用符号距离减少神经网 络输入维数的原理如图 2 所示，过程为： 1) 若原网络的输入形如 x = (x1, x2) ，则其可以 表示为二维坐标系中的一个点； 2) 设过原点的直线为x1 +λx2 = 0 ，其中 λ 为常 数。计算输入点到该直线的距离并将其作为网络 的新输入，计算如式 (3) 所示： xds = x1 +λx2 √ 1+λ 2 (3) O xds x1 (x1 , x2 ) x2 · 图 2 符号距离原理图 Fig. 2 Principle of signed distance nz = 18 Ne = 5 Nb = 42 Nh = 8.29×1029 n1 = 1,n2 = 6 Ne = 5,Nb = 42 Nh = 7×108 分层结构 GBF-CMAC 原理如图 3 所示。假 设网络输入维数为 ，若使用 1 个 GBF-CMAC， 其联想层数 ，每层分块数 ，则需要的 存储器总数 ，这在实际应用中几乎 无法达到。若使用两层结构 ， 每 个 GBF-CMAC 网络结构参数都选为 ， 则需要的存储器总数最少为 ，这在实际 应用中就可以很容易地实现。这种做法的实质是 通过增加少量的算法复杂度而达到大量减少所需 存储器个数的目的，随着处理器计算能力的加 强，这种方法完全具有可操作性[18-19]。 GBFCMAC2 GBFCMAC1 GBFCMAC2 GBFCMAC2 第二层 第一层 xI x2,1 x2,i x2,n2 o2,1 o2,i o2,n2 x1,1 x1,i x1,n2 y 图 3 分层结构 GBF-CMAC 原理图 Fig. 3 Principle of hierarchical GBF-CMAC 分层结构 GBF-CMAC 学习过程的参数更新 一般采用反向传播和梯度下降法[20-21]。在此基础 上，本文提出了一种分层结构多 GBF-CMAC 的参 m = 1 m , 1 数自适应学习律。不失一般性，现以输出维数 为例说明其学习过程，当 时仅需输出的 每一维做下述运算即可。 性能指标如式 (4)： E = 1 2 (yd −y) 2 (4) 式中： yd为输出期望值； y 为神经网络输出。 n1 = 1 x1 ∈ R n2 y ∈ R 第一层 GBF-CMAC 的个数为 ，输入向 量为 ，输出 ，参数学习律如式 (5)~(7)： ∆wpj = − α U +Neb(x1)pj ∂E ∂wpj = − α U +Neb(x1)pj ∂E ∂y ∂y ∂wpj = α(yd − y)b(x1)pj U +Neb(x1)pj (5) ∆µi, j,l i j = ∂ ∂µi, j,l i j ( α(yd −y)b(x1)pj U +Neb(x1)pj ) = 2α(yd −y) U +Neb(x1)pj ( 1− Neb(x1)pj U +Neb(x1)pj ) × exp −(x1,i −µi, j,l i j ) 2 σ 2 i, j,l i j x1,i −µi, j,l i j σ 2 i, j,l i j (6) ∆σi, j,l i j = ∂ ∂σi, j,l i j α(yd −y)b(x1)pj U +Neb(x1)pj = 2α(yd −y) U +Neb(x1)pj ( 1− Neb(x1)pj U +Neb(x1)pj ) × exp −(x1,i −µi, j,l i j ) 2 σ 2 i, j,l i j (xI,i −µi, j,l i j ) 2 σ 3 i, j,l i j (7) ∆wpj ∆µi, j,l i j ∆σi, j,l i j α U i = 1,2,··· ,n2 j = 1,2,··· ,Ne pj l i j 式中： 、 和 分别为权值的修正量、基 函数中心和宽度的修正量； 为学习率； 表示自 适应参数，为常数； ； ；除 了 和 位置的参数，其余位置参数不更新。 ∂E ∂x1,i 该层网络除了计算各参数的修正量外，还需 要计算 ，其计算如式 (8)： − ∂E ∂x1,i = ∑Ne j=1 2wpjb(x1,i) pj x1,i −µi, j,l i j σ 2 i, j,l i j = δ1,i (8) 式中： i = 1,2,··· ,n2； wpj为权值向量 w 的第 pj 个权值。 n2 x2,i n i 2 i = 1,2,··· ,n2 n i 2 i ∑n2 i=1 n i 2 = n3 o2,i 第二层 GBF-CMAC 的个数为 。网络的输入 为 维列向量 (其中 ， 表示第 个 GBF-CMAC 的输入维数， )；输出为 。 网络参数的学习律如式 (9)~(11)。 ∆wpj = − α U +Neb(x2,i) pj ∂E ∂wpj = − α U +Neb(x2,i) pj ∂E ∂o2,i ∂o2,i ∂wpj = − α U +Neb(x2,i) pj ∂E ∂x1,i ∂o2,i ∂wpj = αδ1,ib(x2,i) pj U +Neb(x2,i) pj (9) 第 5 期 付兴建，等：GBF-CMAC 和滑模控制的柔性结构系统控制 ·793·
·794· 智能系统学报 第13卷 a a61ib(x2)p △4= 不确定系统复合控制设计 U+Nb(x2i)p 2a61.i Nb(x2)p, 考虑如下形式的不确定系统： U+N.b(x2A)p U+N.b(x2i)p (10) i=Ax+bu+Ta -(r2-μ6)月 26一H y=Cx (12) exp σ2 五9 6,边 式中：x=[x1名…xn元JP∈Rmx1为系统的状 ad1b(x2i）p 态；u∈R为输入；A∈R2m、b∈R2mx1和C∈Rm2m为 U+Neb(x2i)p 系统参数矩阵，矩阵C的元素c2-1(i=1,2,…,n)为 2a01. N.b(x2i)p, 1,其余元素为0；t4∈R2x1为不确定部分。 U+N.b(x2i)p U+N.b(x2i)p (11) 对上述不确定系统的输出跟踪控制问题，滑 -(x2- 模控制器的设计如下。 exp 了 1)定义系统误差 从系统状态方程式(12)可知系统的状态向量 式中：△wp、△46和△c,分别为权值修正量、基 包含两部分：第一部分为系统输出y=y12…yJP= 函数中心和宽度修正量；α表示学习率；U表示自 [x2…xJT；第二部分为系统输出的导数 适应参数，为常数；i=1,2,…,n2;f=1,2…, =[2…=多…J「。所以系统的输出跟 j=1,2,…,Ne;除了p和位置的参数，其余位置参 踪控制即为部分状态的跟踪控制。设状态期望值 数不更新。 xa=[aa1a22…xanJ,定义系统的误差及其 1)在分层结构多GBF-CMAC神经网络中，对 导数如式(13)、(14)所示： 于具有封闭性质的GBF-CMAC神经网络结构参 e=[x4-a-…xn-xn元4n-元J (13) 数(N和N)和学习参数(a和U),每个GBF- e=[1-元1-龙…i4n-元n花n-无J (14) CMAC变量名称一样，但实际使用过程对于每个 式中e,eeR2mx1。 网络都有相互独立的参数值，且其生存期为神经 2)设计滑模面 网络的整个工作周期，另外j=1,2,…,N为一种固 为保证系统的输出跟踪满足一定的性能品 定表示形式。 质，设计的滑模面及其导数如式(15)、(16)所示： 2)在分层结构的多GBF-CMAC神经网络中， s(x)=Ae (15) 对于具有开放性质的网络参数（输入变量和输出 s(x)=Ae (16) 变量)，对于每个GBF-CMAC都作了有区别的命 式中：s(x)eR2mxl；A=diag(r1,r2,…,r2n),r>0o 名。分层结构的多GBF-CMAC神经网络整体：输 3)设计滑模控制器 入向量为x1eRx1,输出为y∈R。内部第一层网 滑模面的有限时间可达条件如式(17)所示： 络：输入向量为x1∈R,输出为y∈R,且 s50,i=1,2,…,2n(17) i=1,2,…,2为固定表示形式。内部第二层网络： 采用等速趋近律设计的滑模控制器如式(18) 输入向量为x2∈R,】 5=m,输出为0eR,且 所示： =1,2,…,为固定表示形式。 u=by-biAx v=a+bksat(s/6) (18) 3)在分层结构多GBF-CMAC神经网络中，对 式中：b:=(bTb)bT∈Rx2m,表示向量b的左逆； 于临时参数（存储器地址p和输入量化结果）仅根 k=[k1k2…k]eR1x2n,k>0;sat(s/⊙)表示s的饱和函 据其因变量进行附加型命名，如第一层两个参数 数，其中6为常数，其定义如式(19)所示： 分别命名为p和，第二层两个参数分别命名为 P和。另外，这两个参数的作用域和生存期为 1, 81 GBF-CMAC神经网络内部的一个学习周期。 sat(s/o)= s/6-1< <1 (19) 6 4)在分层结构多GBF-CMAC神经网络中，由 -1, 于本文只讨论两层结构GBF-CMAC的参数学习 采用积分类型的滑模面就可以构成积分滑模 律，故=1。但结果不失一般性，如果需要采用更 控制。针对上述不确定系统，设计的积分滑模面 多分层结构，仅需在前一层网络中计算参数6就 如式(20)所示。采用指数趋近律设计的积分滑模 可以对后一层网络的参数进行更新，通过这种递 控制器如式(21)所示。 推过程就可以实现任意分层数的网络参数自适应 s(x)=xa- (x-Ae)dt (20) 更新
∆µfi, j,l f i j = ∂ ∂µfi, j,l f i j αδ1,ib(x2,i) pj U +Neb(x2,i) pj = 2αδ1,i U +Neb(x2,i) pj 1− Neb(x2,i) pj U +Neb(x2,i) pj × exp −(x2,i, fi −µfi, j,l f i j ) 2 σ 2 fi, j,l f i j x2,i, fi −µfi, j,l f i j σ 2 fi, j,l f i j (10) ∆σfi, j,l f i j = ∂ ∂σfi, j,l f i j αδ1,ib(x2,i) pj U +Neb(x2,i) pj = 2αδ1,i U +Neb(x2,i) pj 1− Neb(x2,i) pj U +Neb(x2,i) pj × exp −(x2,i, fi −µfi, j,l f i j ) 2 σ 2 fi, j,l f i j ( x2,i, fi −µfi, j,l f i j )2 σ 3 fi, j,l f i j (11) ∆wpj ∆µfi, j,l f i j ∆σfi, j,l f i j α U i = 1,2,··· ,n2 fi = 1,2,··· ,n i 2 j = 1,2,··· ,Ne pj l fi j 式中： 、 和 分别为权值修正量、基 函数中心和宽度修正量； 表示学习率； 表示自 适应参数，为常数； ； ； ；除了 和 位置的参数，其余位置参 数不更新。 Ne Nb α U j = 1,2,··· ,Ne 1) 在分层结构多 GBF-CMAC 神经网络中，对 于具有封闭性质的 GBF-CMAC 神经网络结构参 数 ( 和 ) 和学习参 数 ( 和 ) ， 每 个 GBFCMAC 变量名称一样，但实际使用过程对于每个 网络都有相互独立的参数值，且其生存期为神经 网络的整个工作周期，另外 为一种固 定表示形式。 xI ∈ R n×1 y ∈ R x1 ∈ R n2 y ∈ R i = 1,2,··· ,n2 x2,i ∈ R n i 2 ∑n2 i=1 n i 2 = n3 o2,i ∈ R fi = 1,2,··· ,n i 2 2) 在分层结构的多 GBF-CMAC 神经网络中， 对于具有开放性质的网络参数 (输入变量和输出 变量)，对于每个 GBF-CMAC 都作了有区别的命 名。分层结构的多 GBF-CMAC 神经网络整体：输 入向量为 ，输出为 。内部第一层网 络：输入向量为 ，输出为 ， 且 为固定表示形式。内部第二层网络： 输入向量为 ， ，输出为 ，且 为固定表示形式。 p l pj l i j pj l fi j 3) 在分层结构多 GBF-CMAC 神经网络中，对 于临时参数 (存储器地址 和输入量化结果 ) 仅根 据其因变量进行附加型命名，如第一层两个参数 分别命名为 和 ，第二层两个参数分别命名为 和 。另外，这两个参数的作用域和生存期为 GBF-CMAC 神经网络内部的一个学习周期。 n3=n δ 4) 在分层结构多 GBF-CMAC 神经网络中，由 于本文只讨论两层结构 GBF-CMAC 的参数学习 律，故 。但结果不失一般性，如果需要采用更 多分层结构，仅需在前一层网络中计算参数 就 可以对后一层网络的参数进行更新，通过这种递 推过程就可以实现任意分层数的网络参数自适应 更新。 2 不确定系统复合控制设计 考虑如下形式的不确定系统： { x˙ = Ax+ bu+τd y = Cx (12) x = [x1 x˙1 x2 x˙2 ··· xn x˙n] T ∈ R 2n×1 u ∈ R A ∈ R 2n×2n b ∈ R 2n×1 C ∈ R n×2n C ci,2i−1(i = 1,2,··· ,n) τd ∈ R 2n×1 式中： 为系统的状 态 ； 为输入； 、 和 为 系统参数矩阵，矩阵 的元素 为 1，其余元素为 0； 为不确定部分。 对上述不确定系统的输出跟踪控制问题，滑 模控制器的设计如下。 1) 定义系统误差 y = [y1 y2 ··· yn] T = [x1 x2 ··· xn] T y˙ = [˙y1 y˙2 ··· y˙n] T =[ ˙x1 x˙2 ··· x˙n] T xd = [xd,1 x˙d,1 xd,2 x˙d,2 ··· xd,n x˙d,n] T 从系统状态方程式 (12) 可知系统的状态向量 包含两部分：第一部分为系统输出 ；第二部分为系统输出的导数 。所以系统的输出跟 踪控制即为部分状态的跟踪控制。设状态期望值 ，定义系统的误差及其 导数如式 (13)、(14) 所示： e = [xd,1 − x1 x˙d,1 − x˙1 ··· xd,n − xn x˙d,n − x˙n] T (13) e˙ = [ ˙xd,1 − x˙1 x¨d,1 − x¨1 ··· x˙d,n − x˙n x¨d,n − x¨n] T (14) e, e˙ ∈ R 式中 2n×1。 2) 设计滑模面 为保证系统的输出跟踪满足一定的性能品 质，设计的滑模面及其导数如式 (15)、(16) 所示： s(x) = Λe (15) s˙(x) = Λe˙ (16) s(x) ∈ R 2n×1 式中： ； Λ= diag(r1,r2,··· ,r2n)，ri > 0。 3) 设计滑模控制器 滑模面的有限时间可达条件如式 (17) 所示： sis˙i 0, i = 1,2,··· ,2n (17) 采用等速趋近律设计的滑模控制器如式 (18) 所示： { u = bliv− bliAx v = x˙d + bksat(s/δ) (18) bli = (b T b) −1 b T ∈ R 1×2n b k = [k1 k2 ··· k2n] ∈ R 1×2n ki > 0 sat(s/δ) s δ 式 中 : ，表示向量 的左逆； ， ； 表示 的饱和函 数，其中 为常数，其定义如式 (19) 所示： sat(s/δ)= 1, s δ ⩾ 1 s/δ, −1 < s δ < 1 −1, s δ ⩽ −1 (19) 采用积分类型的滑模面就可以构成积分滑模 控制。针对上述不确定系统，设计的积分滑模面 如式 (20) 所示。采用指数趋近律设计的积分滑模 控制器如式 (21) 所示。 s(x) = xd − ∫ t 0 (x˙ −ΛIe)dt (20) ·794· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷
第5期 付兴建，等：GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制 ·795· 式中：A=diag(nu,n2,…,n2),m>0。 t-5\ Ti=exp 02 i=12,…,6 (25) fu=bp-bE△x v=+Ae+b(ps+kisat(s/61)) (21) 0 0 0 0 0 式中：p=[p1p2…p2n,p>0;6为常数；k=kk2… -213.00 140.80 0 0 k2J,ki>0。 0 0 0 1 0 0 神经网络用于控制系统设计时，一种典型的 150.60-301.20 150.6 0 00 0 0 0 1 结构是利用神经网络逼近非线性映射的能力，将 0 0 150.60 -150.6 -3.94 神经网络与其他控制器并联组成复合控制器。针 (26) 对上述不确定系统的输出控制问题，设计GBF-CMAC b=[046000000 (27) 和滑模控制结合的控制系统结构如图4所示。 「100000 C= 001000 (28) 000010 分层结构的 GBF- 跟踪控制系统MATLAB/SIMULINK仿真图 CMAC 更新-一 如图6~8所示。图6为控制系统总体结构图；图7 所示为滑模面计算子系统，其中利用一个切换开 一般滑模 被控 滑模面 控制器 对象 关可以实现一般滑模面和积分滑模面之间的切 换；图8为GBF-CMAC子系统，包括符号函数计 算部分和分层GBF-CMAC两部分。 图4控制系统结构图 Fig.4 Structure of control system MAC 总控制量)为式(22)所示： u(t)=y(t)us(1)+(1-y(t))uc(1) (22) SMC 式中：u()为总控制量；us()和uc()分别为滑模控制 和GBF-CMAC控制器的输出；y0为选择函数，即 滑模面 被控对象 0-{628 (23) 图6控制系统总体仿真结构图 3高阶柔性直线系统复合跟踪控制 Fig.6 Simulation of control system 3.1被控对象建模及仿真参数 将设计的控制系统用于高阶柔性直线系统的 跟踪控制四，实际系统如图5所示，系统状态空间 表达式如式(24)所示。该系统是一种典型的欠驱 动系统，其部分小车无法直接控制，而只能通过 常数 各个小车之间的耦合作用实现控制的目的。 微分 微分 微分一 机电平台 DSP控制器/ 图7滑模面计算图 数据采集卡 Fig.7 Calculation of sliding surface 软件 实时控制箱 图5高阶柔性直线系统 DS Fig.5 High-order flexible linear system DS ()=Ax(1)+bu(t)+a(t) (24) y(t)=Cx(t) DS 分层GBF.CMAC 式中：ta()=[x1t2T3x4Tst「为系统不确定项，其值 图8高斯基函数小脑模型关节控制器 如式(25)；参数A、b和C是系统参数；x(0= Fig.8 GBF-CMAC [x1元122「为系统状态；()为系统控制量； 仿真控制参数为：仿真时间T=10s;仿真步 y()=y1y23T为系统输出。 长△T=0.001s。高阶柔性直线系统状态期望值为
式中： ΛI= diag(rI,1,rI,2,··· ,rI,2n)，rI,i > 0。 { u = bliv− bliΛIx v = x˙d +ΛIe+ b(ps+ kIsat(s/δI)) (21) p=[p1 p2 ··· p2n] T pi >0 δI kI =[kI,1 kI,2 ··· kI,2n], kI,i > 0 式中 ： ， ； 为常数； 。 神经网络用于控制系统设计时，一种典型的 结构是利用神经网络逼近非线性映射的能力，将 神经网络与其他控制器并联组成复合控制器。针 对上述不确定系统的输出控制问题，设计 GBF-CMAC 和滑模控制结合的控制系统结构如图 4 所示。 被控 对象 一般滑模 控制器 滑模面 dx dt xd e x s uC uS u 更新 + − xd · 分层结构的 多GBFCMAC 图 4 控制系统结构图 Fig. 4 Structure of control system 总控制量 u(t) 为式 (22) 所示： u(t) = γ(t)uS (t)+(1−γ(t))uC(t) (22) u(t) uS (t) uC(t) γ(t) 式中： 为总控制量； 和 分别为滑模控制 和 GBF-CMAC 控制器的输出； 为选择函数，即 γ(t) = { 1, t < 2 s 0, t ⩾ 2 s (23) 3 高阶柔性直线系统复合跟踪控制 3.1 被控对象建模及仿真参数 将设计的控制系统用于高阶柔性直线系统的 跟踪控制[22] ，实际系统如图 5 所示，系统状态空间 表达式如式 (24) 所示。该系统是一种典型的欠驱 动系统，其部分小车无法直接控制，而只能通过 各个小车之间的耦合作用实现控制的目的。 机电平台 DSP 控制器/ 数据采集卡 软件 实时控制箱 图 5 高阶柔性直线系统 Fig. 5 High-order flexible linear system { x˙(t) = Ax(t)+ bu(t)+τd(t) y(t) = Cx(t) (24) τd(t) = [τ1 τ2 τ3τ4 τ5 τ6] T A b C x(t) = [x1 x˙1 x2 x˙2 x3 x˙3] T u(t) y(t) = [y1 y2 y3] T 式中： 为系统不确定项，其值 如 式 (25) ；参数 、 和 是系统参数； 为系统状态； 为系统控制量； 为系统输出。 τi = exp − ( t−5 0.2 )2 , i = 1,2,··· ,6 (25) A = 0 1 0 0 0 0 −213.0 0 140.8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 150.6 0 −301.2 0 150.6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 150.6 0 −150.6 −3.94 (26) b = [ 0 4600 0 0 0 0 ]T (27) C = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 (28) 跟踪控制系统 MATLAB/SIMULINK 仿真图 如图 6~8 所示。图 6 为控制系统总体结构图；图 7 所示为滑模面计算子系统，其中利用一个切换开 关可以实现一般滑模面和积分滑模面之间的切 换；图 8 为 GBF-CMAC 子系统，包括符号函数计 算部分和分层 GBF-CMAC 两部分。 CMAC SMC 滑模面 被控对象 dx dt t … xd 图 6 控制系统总体仿真结构图 Fig. 6 Simulation of control system 微分 常数 xd − + − + − + − + − − + + − s + + + + − x 微分 微分 微分 Λ Λ 1 s 图 7 滑模面计算图 Fig. 7 Calculation of sliding surface xI 分层 GBF-CMAC yr uC DS DS DS 图 8 高斯基函数小脑模型关节控制器 Fig. 8 GBF-CMAC T = 10 ∆T = 0.001 仿真控制参数为：仿真时间 s；仿真步 长 s。高阶柔性直线系统状态期望值为 第 5 期 付兴建，等：GBF-CMAC 和滑模控制的柔性结构系统控制 ·795·
·796· 智能系统学报 第13卷 xu=sin().i=1.3.5 4种控制器的控制量输出如图11所示，跟踪 x=(r/2)cos(50,i=2,4,6 误差如图12所示。 3 ---22 -.-42 一般滑模控制器的参数设置为A=5I6、k= 0.2 10-3×[111111]和6=0.8。积分滑模控制参数为k= 5×10-×[111111),p=5×10×[111111],A= -02 diag(30,30,20,25,30,20)和6=0.8。 5 10 传统CMAC的参数设为N。=5、N=3、=0.1, (a)小车1 权值存储器数量为N。×102。 3 ---22 --42 GBF-CMAC部分首先利用符号函数将18维 02 输入变成9维输入，然后利用4个GBF-CMAC构 成两层结构，其参数设置为：m=1,2=3,n=9, 0 =3,i=1,2,3.4个GBF-CMAC的结构参数和学 10 tis 习参数都设置为相同的值：N。=5,N。=3、22、42, (b)小车2 a=0.5,U=3。 ---22-.-42 3.2结果分析 1)复合控制器中神经网络不同分块数(3、 22、42)下控制效果对比实验 3种控制器的控制量输出如图9所示，跟踪 5 误差如图10所示。 ts (c)小车3 0.02 图103种控制器跟踪误差 0 Fig.10 Tracking error of three controllers 0.02 -0.02 0 (a)N=3 -0.02 0.02 0 (a)SMC 0.02 -0.02 10 0 (b)N=22 -0.02 0 0.02 (b)ISMC 04 0.02 -0.02 10 (C)N,=42 0.01 图93种控制器输出对比 s Fig.9 Output contrast of three controllers (c)GBF-CMAC+SMC 综合图9和图10可以看出，神经网络的参数 N在不同值时，复合控制器的性能有较大差别。 0.02 N越小其控制量的抖振抑制效果越好，并且对距 离外部控制越远的小车的控制精度越高，但其鲁 棒性也越差。综合考虑，N。=3时的复合控制器的 5 s 性能最好。 (d)CMAC+SMC 2)一般滑模控制、积分滑模控制、传统CMAC 图114种控制器输出对比 复合控制和改进GBF-CMAC复合控制对比实验 Fig.11 Output contrast of four controller
xd,i = sin(π 2 t), i = 1,3,5 xd,i = (π/2) cos( π 2 t), i = 2,4,6 Λ = 5I6 10−3 ×[1 1 1 1 1 1] δ = 0.8 k = 5×10−4 ×[1 1 1 1 1 1] p = 5×10−4 ×[1 1 1 1 1 1] ΛI = δI = 0.8 一般滑模控制器的参数设置为 、k = 和 。积分滑模控制参数为 ， ， diag(30,30,20,25,30,20) 和 。 Ne = 5 Nb=3 α=0.1 Ne ×102 传统 CMAC 的参数设为 、 、 ， 权值存储器数量为 。 n1 = 1 n2 = 3 n = 9 n i 2 = 3,i = 1,2,3 Ne = 5 Nb α=0.5 U=3 GBF-CMAC 部分首先利用符号函数将 18 维 输入变成 9 维输入，然后利用 4 个 GBF-CMAC 构 成两层结构，其参数设置为： ， ， ， 。4 个 GBF-CMAC 的结构参数和学 习参数都设置为相同的值： ， =3、22、42， ， 。 3.2 结果分析 1) 复合控制器中神经网络不同分块数 (3、 22、42) 下控制效果对比实验 3 种控制器的控制量输出如图 9 所示，跟踪 误差如图 10 所示。 t/s u3/N 0.02 −0.02 0 0 5 10 (a) Nb=3 t/s u22/N 0.02 −0.02 0 0 5 10 (b) Nb=22 t/s u42/N 0.02 −0.02 0 5 10 (c) Nb=42 图 9 3 种控制器输出对比 Fig. 9 Output contrast of three controllers Nb Nb Nb = 3 综合图 9 和图 10 可以看出，神经网络的参数 在不同值时，复合控制器的性能有较大差别。 越小其控制量的抖振抑制效果越好，并且对距 离外部控制越远的小车的控制精度越高, 但其鲁 棒性也越差。综合考虑， 时的复合控制器的 性能最好。 2) 一般滑模控制、积分滑模控制、传统 CMAC 复合控制和改进 GBF-CMAC 复合控制对比实验 4 种控制器的控制量输出如图 11 所示，跟踪 误差如图 12 所示。 e2/cm t/s 0 5 10 −0.2 0 0.2 (a) 小车 1 e1/cm t/s 3 0 5 10 −0.2 0 0.2 22 42 3 22 42 3 22 42 (b) 小车 2 e3/cm t/s 0 5 10 −0.2 0 0.2 (c) 小车 3 图 10 3 种控制器跟踪误差 Fig. 10 Tracking error of three controllers t/s uSMC/N 0.02 −0.02 0 0 5 10 (a) SMC t/s uISMC/N 0.02 −0.02 0 0 0 0 5 10 (b) ISMC t/s uG-C+S/N 0.02 −0.02 0 5 10 (c) GBF-CMAC+SMC t/s uC+S/N 0.02 −0.02 0 5 10 (d) CMAC+SMC 图 11 4 种控制器输出对比 Fig. 11 Output contrast of four controller ·796· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷
第5期 付兴建，等：GBF-CMAC和滑模控制的柔性结构系统控制 ·797· -SMC ---ISMC -.-G-C++S LIANG Taonian,CHEN Jianjun.Design of fractional or- 0.2r der PI controller for fractional order systems with uncer- 0.2 tain parameters[J].Control theory applications,2011, -0.4 28(3):400-406. [2]叶思隽，王新民，张清江，等.不确定系统混合H,H鲁棒 (a)小车1 控制的直接迭代LM1方法[).控制理论与应用，2011， 28(2247-255. -SMC ---ISMC --G-C+S-C+S YE Sijun,WANG Xinmin,ZHANG Qingjiang,et al.Dir- 0.2 ect iterative LMI-based approach of mixed H-two/H-infin- 号 ity robust control for uncertain systems[J].Control theory -0.4 applications,2011,28(2):247-255. [3]齐丽强，孙明轩，管海娃.非参数不确定系统的有限时间 ds (b)小车2 选代学习控制U.自动化学报，2013,40(7)：1320-1327. SMC---ISMC --G-C+S-C+S QI LiQiang,SUN Ming Xuan,GUAN HaiWa.Finite-time 0.2 iterative learning control for systems with nonparametric uncertainties[J].Acta automatica sinica,2013,40(7): -0.2W 1320-1327. -04 [4]于靖，陈谋，姜长生，基于干扰观测器的非线性不确定系 10 於 统自适应滑模控制[.控制理论与应用，2014,31(8)： (c)小车3 993-999 图124种控制器跟踪误差 YU Jing,CHEN Mou,JIANG Changsheng,Adaptive slid- Fig.12 Tracking error of four controllers ing mode control for nonlinear uncertain systems based on 从图11和图12可以看出，一般滑模控制抖 disturbance observer[J].Control theory applications, 振程度最大；积分滑模控制抖振程度小，但鲁棒 2014,31(8):993-999 性和跟踪精度最差；本文设计的改进GBF-CMAC [5]王琦，陈龙胜.非仿射纯反馈不确定系统预设性能鲁棒 复合控制器，不仅抖振基本消除，而且具有较好 自适应控制[.电机与控制学报，2017,21(2)：109-116. WANG Qi,CHEN Longsheng.Prescribed performance ad- 的鲁棒性，同时输出跟踪精度要比一般滑模控 aptive robust control for a class of uncertain non-affine 制、积分滑模控制和传统CMAC复合控制器好。 pure feedback system[J].Electric machines and control, 4结束语 2017,21(2):109-116. [6]王艳敏，冯勇，夏红伟，等.多输入不确定系统的平滑非 针对一类不确定系统，设计了将GBF-CMAC 奇异终端滑模控制[.控制与决策，2015,30(1)：161- 与滑模控制结合的复合控制器，采用符号函数和 165 分层结构减少了GBF-CMAC所需存储器的数量， WANG Yanmin,FENG Yong,XIA Hongwei,et al. 提出了一种分层结构多GBF-CMAC参数的自适 Smooth nonsingular terminal sliding mode control of un- 应学习律。并将设计的复合控制器应用于高阶柔 certain multi-input systemsfJ].Control and decision,2015, 性直线系统的输出跟踪控制中。从实验结果可以 30(1):161-165. 看出，本文所提的复合控制器不仅具有较好的鲁 [7]胡盛斌.非线性多关节机械人系统滑模控制M.北京： 棒性，并基本消除抖振现象，而且跟踪精度比一 国防工业出版社，2015， [8]姚灵灵，贺乃宝，高倩，等.四旋翼偏航系统的优化神经 般滑模控制和积分滑模控制要好。此外，结果显 网络滑模控制[.机械设计与制造，2016(10)：147-150. 示可以通过调节复合控制器中神经网络的参数对 YAO Lingling,HE Naibao,GAO Qian,et al.Optimized 控制系统抖振程度、鲁棒性和跟踪精度进行调 neural network sliding mode control for the yaw system as- 节，从而可以在抖振程度、鲁棒性和跟踪精度之 sociated with quad-rotor[J].Machinery design manufac- 间进行最优选择。 ture,2016(10):147-150. 参考文献： [9]翟晨汐，李洪兴.板球系统的直接自适应模糊滑模控制 [.计算机仿真，2016,33(2)：383-388,432 [1]梁涛年，陈建军.分数阶参数不确定系统的PT控制器 ZHAI Chenxi,LI Hongxing.Direct adaptive fuzzy sliding- [.控制理论与应用，2011,28(3)：400-406. mode control for ball and plate system[J].Computer simu-
e2/cm t/s 0 5 10 −0.4 0 −0.2 0.2 (a) 小车 1 e1/cm t/s 0 5 10 −0.4 −0.2 0 0.2 (b) 小车 2 e3/cm t/s 0 5 10 −0.4 −0.2 0 0.2 (c) 小车 3 SMC ISMC G-C+S C+S SMC ISMC G-C+S C+S SMC ISMC G-C+S C+S 图 12 4 种控制器跟踪误差 Fig. 12 Tracking error of four controllers 从图 11 和图 12 可以看出，一般滑模控制抖 振程度最大；积分滑模控制抖振程度小，但鲁棒 性和跟踪精度最差；本文设计的改进 GBF-CMAC 复合控制器，不仅抖振基本消除，而且具有较好 的鲁棒性，同时输出跟踪精度要比一般滑模控 制、积分滑模控制和传统 CMAC 复合控制器好。 4 结束语 针对一类不确定系统，设计了将 GBF-CMAC 与滑模控制结合的复合控制器，采用符号函数和 分层结构减少了 GBF-CMAC 所需存储器的数量， 提出了一种分层结构多 GBF-CMAC 参数的自适 应学习律。并将设计的复合控制器应用于高阶柔 性直线系统的输出跟踪控制中。从实验结果可以 看出，本文所提的复合控制器不仅具有较好的鲁 棒性，并基本消除抖振现象，而且跟踪精度比一 般滑模控制和积分滑模控制要好。此外，结果显 示可以通过调节复合控制器中神经网络的参数对 控制系统抖振程度、鲁棒性和跟踪精度进行调 节，从而可以在抖振程度、鲁棒性和跟踪精度之 间进行最优选择。 参考文献： 梁涛年, 陈建军. 分数阶参数不确定系统的 PIλ 控制器 [J]. 控制理论与应用, 2011, 28(3): 400–406. [1] LIANG Taonian, CHEN Jianjun. Design of fractional order PIλ controller for fractional order systems with uncertain parameters[J]. Control theory & applications, 2011, 28(3): 400–406. 叶思隽, 王新民, 张清江, 等. 不确定系统混合 H2 /H∞鲁棒 控制的直接迭代 LMI 方法[J]. 控制理论与应用, 2011, 28(2): 247–255. YE Sijun, WANG Xinmin, ZHANG Qingjiang, et al. Direct iterative LMI-based approach of mixed H-two/H-infinity robust control for uncertain systems[J]. Control theory & applications, 2011, 28(2): 247–255. [2] 齐丽强, 孙明轩, 管海娃. 非参数不确定系统的有限时间 迭代学习控制[J]. 自动化学报, 2013, 40(7): 1320–1327. QI LiQiang, SUN MingXuan, GUAN HaiWa. Finite-time iterative learning control for systems with nonparametric uncertainties[J]. Acta automatica sinica, 2013, 40(7): 1320–1327. [3] 于靖, 陈谋, 姜长生. 基于干扰观测器的非线性不确定系 统自适应滑模控制[J]. 控制理论与应用, 2014, 31(8): 993–999. YU Jing, CHEN Mou, JIANG Changsheng, Adaptive sliding mode control for nonlinear uncertain systems based on disturbance observer[J]. Control theory & applications, 2014, 31(8): 993–999. [4] 王琦, 陈龙胜. 非仿射纯反馈不确定系统预设性能鲁棒 自适应控制[J]. 电机与控制学报, 2017, 21(2): 109–116. WANG Qi, CHEN Longsheng. Prescribed performance adaptive robust control for a class of uncertain non-affine pure feedback system[J]. Electric machines and control, 2017, 21(2): 109–116. [5] 王艳敏, 冯勇, 夏红伟, 等. 多输入不确定系统的平滑非 奇异终端滑模控制[J]. 控制与决策, 2015, 30(1): 161– 165. WANG Yanmin, FENG Yong, XIA Hongwei, et al. Smooth nonsingular terminal sliding mode control of uncertain multi-input systems[J]. Control and decision, 2015, 30(1): 161–165. [6] 胡盛斌. 非线性多关节机械人系统滑模控制[M]. 北京: 国防工业出版社, 2015. [7] 姚灵灵, 贺乃宝, 高倩, 等. 四旋翼偏航系统的优化神经 网络滑模控制[J]. 机械设计与制造, 2016(10): 147–150. YAO Lingling, HE Naibao, GAO Qian, et al. Optimized neural network sliding mode control for the yaw system associated with quad-rotor[J]. Machinery design & manufacture, 2016(10): 147–150. [8] 翟晨汐, 李洪兴. 板球系统的直接自适应模糊滑模控制 [J]. 计算机仿真, 2016, 33(2): 383–388, 432. ZHAI Chenxi, LI Hongxing. Direct adaptive fuzzy slidingmode control for ball and plate system[J]. Computer simu- [9] 第 5 期 付兴建，等：GBF-CMAC 和滑模控制的柔性结构系统控制 ·797·
·798· 智能系统学报 第13卷 lation,2016,33(2):383-388,432 [17]YEH M F.Single-input CMAC control system[J].Neuro- [10]楼晓春，吴国庆.主动磁轴承系统的自适应滑模控制)， computing,2007,70(16/17/18):2638-2644. 电工技术学报，2012,27(1)：142-147. [18]RODRIGUEZ F O.DE JESUS RUBIO J.GASPAR C R LOU Xiaochun,WU Guoqing.Adaptive sliding mode M,et al.Hierarchical fuzzy CMAC control for nonlinear control for an active magnetic bearing system[J].Transac- systems[J].Neural computing and applications,2013, tions of China electrotechnical society,2012,27(1): 231:323-331. 142-147. [19]YU Wen,RODRIGUEZ F O,MORENO-ARMENDAR- [11]张强，于宏亮，许德智，等.基于自组织小波小脑模型关 IZ M A.Hierarchical fuzzy CMAC for nonlinear systems 节控制器的不确定非线性系统鲁棒自适应终端滑模控 modeling[J].IEEE transactions on fuzzy systems,2008, 制).控制理论与应用，2016,33(3387-397. 16(5):1302-1314. ZHANG Qiang,YU Hongliang,XU Dezhi,et al.A ro- [20]段培永，邵惠鹤.基于广义基函数的CMAC学习算法 bust adaptive integral terminal sliding mode control for 的改进及收敛性分析J].自动化学报，1999,25(2)： uncertain nonlinear systems using self-organizing wave- 258-263 let cerebella model articulation controller[J].Control the- DUAN Peiyong,SHAO Huihe.Improved algorithm of ory applications,2016,33(3):387-397. CMAC with general basis function and its convergence [12]ALBUS JS.Data storage in the cerebellar model articula- analysis[J].Acta automatica sinica,1999,25(2):258-263. tion controller (CMAC)[J].Journal of dynamic systems, [21]NGO T Q,PHUONG T V.Robust adaptive self-organiz- measurement,and control,1975,97(3):228-233. ing wavelet fuzzy CMAC tracking control for de-icing ro- [13】鲍春雷，王斌锐，金英连，等.气动肌肉关节的无模型自 bot manipulator[J].International journal of computers 适应CMAC迟滞补偿控制.机器人，2015,37(3)： communications control,2015,10(4):567-578 298-303,309 [22]M210使用手册M.美国：易希普公司，2014. BAO Chunlei,WANG Binrui,JIN Yinglian,et al.Model free adaptive CMAC hysteresis compensation control of 作者简介： the pneumatic muscle joint[J].Robot,2015,37(3): 付兴建，男，1974年生，副教授， 298-303,309 博士，主要研究方向为非线性系统鲁 [14]LIN C M,LI H Y.Intelligent control using the wavelet 棒控制、智能控制、运动控制。发表学 术论文30余篇.被EI检索20余篇。 fuzzy CMAC backstepping control system for two-axis linear piezoelectric ceramic motor drive systems[J].IEEE transactions on fuzzy systems,2014,22(4):791-802. [15]ZHANG Ping,LIU Xin,DU Guanglong.Online robot auto-calibration using IMU with CMAC and EKF[C]// 于士贤，男，1993年生，硕士研究 生，主要研究方向为神经网络、鲁棒 Proceedings of 2015 IEEE International Conference on 控制。 Cyber Technology in Automation,Control,and Intelli- gent Systems.Shenyang China,2015. [16]CHIANG C T,LIN C S.CMAC with general basis func- tions[J].Neural networks,1996,9(7):1199-1211
lation, 2016, 33(2): 383–388, 432. 楼晓春, 吴国庆. 主动磁轴承系统的自适应滑模控制[J]. 电工技术学报, 2012, 27(1): 142–147. LOU Xiaochun, WU Guoqing. Adaptive sliding mode control for an active magnetic bearing system[J]. Transactions of China electrotechnical society, 2012, 27(1): 142–147. [10] 张强, 于宏亮, 许德智, 等. 基于自组织小波小脑模型关 节控制器的不确定非线性系统鲁棒自适应终端滑模控 制[J]. 控制理论与应用, 2016, 33(3): 387–397. ZHANG Qiang, YU Hongliang, XU Dezhi, et al. A robust adaptive integral terminal sliding mode control for uncertain nonlinear systems using self-organizing wavelet cerebella model articulation controller[J]. Control theory & applications, 2016, 33(3): 387–397. [11] ALBUS J S. Data storage in the cerebellar model articulation controller (CMAC)[J]. Journal of dynamic systems, measurement, and control, 1975, 97(3): 228–233. [12] 鲍春雷, 王斌锐, 金英连, 等. 气动肌肉关节的无模型自 适应 CMAC 迟滞补偿控制[J]. 机器人, 2015, 37(3): 298–303, 309. BAO Chunlei, WANG Binrui, JIN Yinglian, et al. Model free adaptive CMAC hysteresis compensation control of the pneumatic muscle joint[J]. Robot, 2015, 37(3): 298–303, 309. [13] LIN C M, LI H Y. Intelligent control using the wavelet fuzzy CMAC backstepping control system for two-axis linear piezoelectric ceramic motor drive systems[J]. IEEE transactions on fuzzy systems, 2014, 22(4): 791–802. [14] ZHANG Ping, LIU Xin, DU Guanglong. Online robot auto-calibration using IMU with CMAC and EKF[C]// Proceedings of 2015 IEEE International Conference on Cyber Technology in Automation, Control, and Intelligent Systems. Shenyang China, 2015. [15] CHIANG C T, LIN C S. CMAC with general basis functions[J]. Neural networks, 1996, 9(7): 1199–1211. [16] YEH M F. Single-input CMAC control system[J]. Neurocomputing, 2007, 70(16/17/18): 2638–2644. [17] RODRÍGUEZ F O, DE JESÚS RUBIO J, GASPAR C R M, et al. Hierarchical fuzzy CMAC control for nonlinear systems[J]. Neural computing and applications, 2013, 23(1): 323–331. [18] YU Wen, RODRIGUEZ F O, MORENO-ARMENDARIZ M A. Hierarchical fuzzy CMAC for nonlinear systems modeling[J]. IEEE transactions on fuzzy systems, 2008, 16(5): 1302–1314. [19] 段培永, 邵惠鹤. 基于广义基函数的 CMAC 学习算法 的改进及收敛性分析[J]. 自动化学报, 1999, 25(2): 258–263. DUAN Peiyong, SHAO Huihe. Improved algorithm of CMAC with general basis function and its convergence analysis[J]. Acta automatica sinica, 1999, 25(2): 258–263. [20] NGO T Q, PHUONG T V. Robust adaptive self-organizing wavelet fuzzy CMAC tracking control for de-icing robot manipulator[J]. International journal of computers communications & control, 2015, 10(4): 567–578. [21] [22] M210 使用手册[M]. 美国: 易希普公司, 2014. 作者简介： 付兴建，男，1974 年生，副教授， 博士，主要研究方向为非线性系统鲁 棒控制、智能控制、运动控制。发表学 术论文 30 余篇，被 EI 检索 20 余篇。 于士贤，男，1993 年生，硕士研究 生，主要研究方向为神经网络、鲁棒 控制。 ·798· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷