第14卷第2期 智能系统学报 Vol.14 No.2 2019年3月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Mar.2019 D0:10.11992/tis.201707025 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180410.1519.024html 基于改进PSO和FCM的模糊辨识 刘楠，刘福才，孟爱文 (燕山大学电气工程学院，河北秦皇岛066004) 摘要：为了提高TS模糊模型的辨识精度和效率，本文提出了一种改进的粒子群算法和模糊C均值聚类算法 相结合的模糊辨识新方法。在该方法中，针对粒子群算法在处理高维复杂函数时容易陷入局部极值的问题，提 出了一种粒子群局部搜索和全局搜索动态调整的全新优化算法。模糊C均值聚类算法是模糊辨识最常用的方 法之一，该算法简单，计算效率高，但是对初始化特别敏感，容易陷入局部最优。为了解决这一问题，利用改进 粒子群算法的全局搜索能力优化聚类中心，显著地提高了算法的辨识精度和效率。最后，针对非线性系统进行 建模仿真，仿真结果表明了本文方法的有效性和优越性。 关键词：模糊辨识；非线性系统；模糊C均值聚类算法；T-S模型：智能算法；粒子群算法：Box-Jenkins数据辨识； 全局优化 中图分类号：TP15文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)02-0378-07 中文引用格式：刘楠，刘福才，孟爱文.基于改进PS0和FCM的模糊辨识机.智能系统学报，2019,14(2)：378-384. 英文引用格式：LIU Nan,LIU Fucai,.MENG Aiwen.Fuzzy identification based on improved PSO and FCMIJ.CAAI transactions on intelligent systems,2019,14(2):378-384. Fuzzy identification based on improved PSO and FCM LIU Nan,LIU Fucai,MENG Aiwen (College of Electrical Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China) Abstract:To improve the accuracy and efficiency of T-S model,a new fuzzy identification approach based on im- proved particle swarm optimization(PSO)algorithm and fuzzy C-means(FCM)algorithm is proposed.Considering that it is easy for PSO to fall into the local extremum in the treatment of high-dimensional complex functions,a PSO al- gorithm with dynamic adjustment between local search and global search is proposed in this paper.Moreover,the FCM algorithm is one of the most commonly used methods of fuzzy identification.The algorithm is simple and efficient,but it is particularly sensitive to initialization and easily falls into local optimum.To solve this problem,the global search capability of improved PSO is used to optimize the clustering center,and this significantly improves the accuracy and efficiency of the algorithm.Finally,a nonlinear system is modeled and simulated.The simulation results show the ef- fectiveness and superiority of this method. Keywords:fuzzy identification;nonlinear system;fuzzy C-means;T-S model;intelligent algorithm;particle swarm op- timization:Box-Jenkins identification:global optimization 系统的建模与辨识一直是人们研究的重点与点，这就使得传统的方法很难对这些系统进行建 难点，它的好坏直接影响着控制系统的性能。尤 模。模糊理论的产生为这些系统提供了新方法， 其对于现在控制系统越来越复杂，要求也越来越 现在已经应用于自动控制、电力系统和预测控制 等领域。T-S模型是在模糊辨识方面应用较广的 高，控制系统呈现出多变量、强耦合、非线性等特 模型，它是由Takagi和Sugeno于1985年提出的 收稿日期：2017-07-13.网络出版日期：2018-04-10. 基金项目：河北省自然科学基金项目(2015203362). 一种模糊模型。国内外学者对此方法进行了深 通信作者：刘福才.E-mail:Ifc@ysu.edu.cn. 入研究，主要研究的内容有前提参数辨识、结论
DOI: 10.11992/tis.201707025 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180410.1519.024.html 基于改进 PSO 和 FCM 的模糊辨识 刘楠，刘福才，孟爱文 （燕山大学 电气工程学院，河北 秦皇岛 066004） 摘 要：为了提高 T-S 模糊模型的辨识精度和效率，本文提出了一种改进的粒子群算法和模糊 C 均值聚类算法 相结合的模糊辨识新方法。在该方法中，针对粒子群算法在处理高维复杂函数时容易陷入局部极值的问题，提 出了一种粒子群局部搜索和全局搜索动态调整的全新优化算法。模糊 C 均值聚类算法是模糊辨识最常用的方 法之一，该算法简单，计算效率高，但是对初始化特别敏感，容易陷入局部最优。为了解决这一问题，利用改进 粒子群算法的全局搜索能力优化聚类中心，显著地提高了算法的辨识精度和效率。最后，针对非线性系统进行 建模仿真，仿真结果表明了本文方法的有效性和优越性。 关键词：模糊辨识；非线性系统；模糊 C 均值聚类算法；T-S 模型；智能算法；粒子群算法；Box-Jenkins 数据辨识； 全局优化 中图分类号：TP15 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)02−0378−07 中文引用格式：刘楠, 刘福才, 孟爱文. 基于改进 PSO 和 FCM 的模糊辨识[J]. 智能系统学报, 2019, 14(2): 378–384. 英文引用格式：LIU Nan, LIU Fucai, MENG Aiwen. Fuzzy identification based on improved PSO and FCM[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(2): 378–384. Fuzzy identification based on improved PSO and FCM LIU Nan，LIU Fucai，MENG Aiwen (College of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China) Abstract: To improve the accuracy and efficiency of T-S model, a new fuzzy identification approach based on improved particle swarm optimization (PSO) algorithm and fuzzy C-means (FCM) algorithm is proposed. Considering that it is easy for PSO to fall into the local extremum in the treatment of high-dimensional complex functions, a PSO algorithm with dynamic adjustment between local search and global search is proposed in this paper. Moreover, the FCM algorithm is one of the most commonly used methods of fuzzy identification. The algorithm is simple and efficient, but it is particularly sensitive to initialization and easily falls into local optimum. To solve this problem, the global search capability of improved PSO is used to optimize the clustering center, and this significantly improves the accuracy and efficiency of the algorithm. Finally, a nonlinear system is modeled and simulated. The simulation results show the effectiveness and superiority of this method. Keywords: fuzzy identification; nonlinear system; fuzzy C-means; T-S model; intelligent algorithm; particle swarm optimization; Box-Jenkins identification; global optimization 系统的建模与辨识一直是人们研究的重点与 难点，它的好坏直接影响着控制系统的性能。尤 其对于现在控制系统越来越复杂，要求也越来越 高，控制系统呈现出多变量、强耦合、非线性等特 点，这就使得传统的方法很难对这些系统进行建 模。模糊理论的产生为这些系统提供了新方法， 现在已经应用于自动控制、电力系统和预测控制 等领域。T-S 模型是在模糊辨识方面应用较广的 模型，它是由 Takagi 和 Sugeno 于 1985 年提出的 一种模糊模型[1]。国内外学者对此方法进行了深 入研究，主要研究的内容有前提参数辨识、结论 收稿日期：2017−07−13. 网络出版日期：2018−04−10. 基金项目：河北省自然科学基金项目 (2015203362). 通信作者：刘福才. E-mail: lfc@ysu.edu.cn. 第 14 卷第 2 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.2 2019 年 3 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Mar. 2019
第2期 刘楠，等：基于改进PSO和FCM的模糊辨识 ·379· 参数辨识、规则库优化、输入变量选择等。随着 局优化。 人工智能技术的不断发展，智能算法也越来越多 PSO算法可以描述为：设粒子在D维空间搜 地应用到了T-S模型的优化上。如文献[2]采用模 索，粒子个数为N。第k个粒子所处的位置为向量 糊聚类优化模型的前提结构，并应用遗传算法 X=(x,x2,…,xD),粒子的飞行速度为V=(y (genetic algorithm,GA)对前提参数进行了优化，但 a,…,知)，每一个粒子都是所优化问题的一个 是计算时间长，而且精度不是很高。文献[3]采用 解，粒子通过不断的改变自己的位置和速度找到 菌群优化算法(bacterial foraging optimization 新解。第k个粒子到目前为止搜索到的最优解 algorithm,BFO)优化T-S模型前提参数，虽然辨识 P=(P,P2,…,P知)，整个群体经历过的最优位置 精度有提高，但是收敛速度还是太慢，耗时太长。 为Pg=(Pg1P2,…,PgD。每个粒子的速度和位置 文献[4]采用粒子群算法(particle swarm optimiza- 按照式(1)、式(2)进行变化： tion algorithm,PSO)和最小二乘算法提出一种模 vid(t+1)=wVid(t)+ciri(pud(t)-xkd(1))+ (1) 糊自适应函数逼近器，由于标准粒子群算法本身 c2r2(pgd(t)-xkd(t)) x(t+1)=xd()+v(t+1) 的局限性而使辨识精度不高。 (2) 随着模糊聚类理论的发展和成熟，已经成功 式中：r,2为[0,1]之间的随机数；c1,c2为正常数， 应用到了很多的领域。目前，学者们已经提出了 称作加速因子；w为惯性权重。每个粒子第d维的速 很多模糊聚类算法，比较典型的有基于相似关系回 度和位置的变化范围为[-Vdmax,Vama]和[一Xd.max,xam]。 和模糊关系6的方法、基于目标函数的方法、基 粒子的最大速度vux太大，可能会使得粒子飞过 于模糊图论的最大支撑树方法等。其中研究最 最好解；'aas太小，会使得搜索速度太慢，而且容 易陷人局部最优解。惯性权重w可以很好地控制 多的是基于目标函数的模糊聚类方法。该方法主 粒子的搜索范围。w较大时，粒子进行较大范围 要思想就是求解一个带约束的非线性规划问题， 的搜索；w较小时，粒子进行小范围的挖掘。 得到数据集的模糊划分和聚类结果。模糊C均 值(fuzzy C-means.,FCM)聚类算法是基于目标函 2搜索模式动态调整的PSO算法 数聚类算法的一种，它的应用也最为广泛。FCM 算法是由K均值聚类算法加入模糊因子改进而 改进的PSO算法(SMPSO)分为两种搜索模 来，内平方误差和(within-groups sum of squared er- 式：局部搜索模式和全局搜索模式。局部搜索模 ror,WGSS)是聚类目标函数的常见形式，1973 式就如同自然界中大部分动物觅食一样，它在搜 索到的疑似最优位置周边都会进行更加细致地搜 年，Dunn扩展了内平方误差和函数，提出了类内 加权平均误差和函数作为目标函数。此后一 索，然后根据视觉、味觉、听觉等因素更加准确地 年，Bezdek提出在目标函数中引入了新的参数m, 判断全局最优解的位置。这样既避免了种群过早 的收敛，陷入局部最优解，而且通过在疑似最优 把原先的类内加权平均误差和函数改进为目标函 位置四周的搜索，更容易找到全局最优位置。在 数的无限簇，从而形成了广泛应用的FCM聚类算 法o。从此，FCM聚类算法蓬勃发展，已经成为 全局搜索模式时，粒子之间会协同合作，共享最 优位置信息，使整个种群向着全局最优位置逼 聚类算法中研究的热点。 近，以更短的时间寻找到最终目标。由于每代粒子 本文提出一种改进的粒子群算法和模糊C均 都具有“自我”学习提高和向“他人”学习的优点， 值聚类算法相结合的模糊辨识新方法。采用模 从而能使种群在较少的迭代次数内找到最优解。 糊C均值聚类算法对聚类中心进行初步优化，然 SMPSO算法首先要选择粒子的数目N,每个 后通过改进粒子群算法的全局搜索能力优化聚类 粒子都有自己的位置、适应度和处于局部搜索模 中心。这样既保持了模糊C均值聚类算法的优 式或者全局搜索模式的标识值。粒子的位置根据 点，又达到了对模型的全局优化，显著的提高了 求解的需要由D维向量表示，适应度可由目标函 算法的辨识精度和效率。 数的适当变形得到，所处模式的标识值可以用数 1PSO算法基本原理 字0和1表示。粒子的两种模式分别代表着算法 的不同进程。在程序的运行中，一部分粒子执行 Kennedy等于1995年提出了PS0算法，它 局部搜索模式，其余的粒子执行全局搜索模式。 具有进化计算和群智能的优点，是一种启发式全 它们各自的数量由搜索模式动态调整参数SM控 局优化算法。与其他进化算法类似，P$O算法也 制，SM表示处于全局搜索模式的粒子所占种群的 是通过个体间的协作与竞争，实现复杂问题的全 比例，按照式(3)计算得到，其中SM和SMn分
参数辨识、规则库优化、输入变量选择等。随着 人工智能技术的不断发展，智能算法也越来越多 地应用到了 T-S 模型的优化上。如文献[2]采用模 糊聚类优化模型的前提结构，并应用遗传算法 (genetic algorithm, GA) 对前提参数进行了优化，但 是计算时间长，而且精度不是很高。文献[3]采用 菌群优化算法 (bacterial foraging optimization algorithm, BFO) 优化 T-S 模型前提参数，虽然辨识 精度有提高，但是收敛速度还是太慢，耗时太长。 文献[4]采用粒子群算法 (particle swarm optimization algorithm, PSO) 和最小二乘算法提出一种模 糊自适应函数逼近器，由于标准粒子群算法本身 的局限性而使辨识精度不高。 m 随着模糊聚类理论的发展和成熟，已经成功 应用到了很多的领域。目前，学者们已经提出了 很多模糊聚类算法，比较典型的有基于相似关系[5] 和模糊关系[6]的方法、基于目标函数的方法[7] 、基 于模糊图论的最大支撑树方法[8]等。其中研究最 多的是基于目标函数的模糊聚类方法。该方法主 要思想就是求解一个带约束的非线性规划问题， 得到数据集的模糊划分和聚类结果。模糊 C 均 值 (fuzzy C-means, FCM) 聚类算法是基于目标函 数聚类算法的一种，它的应用也最为广泛。FCM 算法是由 K 均值聚类算法加入模糊因子改进而 来，内平方误差和 (within-groups sum of squared error, WGSS) 是聚类目标函数的常见形式，1973 年，Dunn 扩展了内平方误差和函数，提出了类内 加权平均误差和函数作为目标函数[9]。此后一 年，Bezdek 提出在目标函数中引入了新的参数 ， 把原先的类内加权平均误差和函数改进为目标函 数的无限簇，从而形成了广泛应用的 FCM 聚类算 法 [10]。从此，FCM 聚类算法蓬勃发展，已经成为 聚类算法中研究的热点。 本文提出一种改进的粒子群算法和模糊 C 均 值聚类算法相结合的模糊辨识新方法。采用模 糊 C 均值聚类算法对聚类中心进行初步优化，然 后通过改进粒子群算法的全局搜索能力优化聚类 中心。这样既保持了模糊 C 均值聚类算法的优 点，又达到了对模型的全局优化，显著的提高了 算法的辨识精度和效率。 1 PSO 算法基本原理 Kennedy 等于 1995 年提出了 PSO 算法[11] ，它 具有进化计算和群智能的优点，是一种启发式全 局优化算法。与其他进化算法类似，PSO 算法也 是通过个体间的协作与竞争，实现复杂问题的全 局优化。 D N k Xk = (xk1, xk2,··· , xkD) Vk = (vk1, vk2,··· , vkD) k Pk = (pk1, pk2,··· , pkD) Pg = (pg1, pg2,··· , pgD) PSO 算法可以描述为：设粒子在 维空间搜 索，粒子个数为 。第 个粒子所处的位置为向量 ，粒子的飞行速度为 ，每一个粒子都是所优化问题的一个 解，粒子通过不断的改变自己的位置和速度找到 新解。第 个粒子到目前为止搜索到的最优解 ，整个群体经历过的最优位置 为 。每个粒子的速度和位置 按照式 (1)、式 (2) 进行变化： vkd(t+1) = wvkd(t)+c1r1(pkd(t)− xkd(t))+ c2r2(pgd(t)− xkd(t)) (1) xkd(t+1) = xkd(t)+vkd(t+1) (2) r1,r2 c1, c2 w d [−vd,max, vd,max] [−xd,max, xd,max] vd,max vd,max w w w 式中： 为[0, 1]之间的随机数； 为正常数， 称作加速因子； 为惯性权重。每个粒子第 维的速 度和位置的变化范围为 和 。 粒子的最大速度 太大，可能会使得粒子飞过 最好解； 太小，会使得搜索速度太慢，而且容 易陷入局部最优解。惯性权重 可以很好地控制 粒子的搜索范围。 较大时，粒子进行较大范围 的搜索； 较小时，粒子进行小范围的挖掘。 2 搜索模式动态调整的 PSO 算法 改进的 PSO 算法 (SMPSO) 分为两种搜索模 式：局部搜索模式和全局搜索模式。局部搜索模 式就如同自然界中大部分动物觅食一样，它在搜 索到的疑似最优位置周边都会进行更加细致地搜 索，然后根据视觉、味觉、听觉等因素更加准确地 判断全局最优解的位置。这样既避免了种群过早 的收敛，陷入局部最优解，而且通过在疑似最优 位置四周的搜索，更容易找到全局最优位置。在 全局搜索模式时，粒子之间会协同合作，共享最 优位置信息，使整个种群向着全局最优位置逼 近，以更短的时间寻找到最终目标。由于每代粒子 都具有“自我”学习提高和向“他人”学习的优点， 从而能使种群在较少的迭代次数内找到最优解。 N D SM SM SMmax SMmin SMPSO 算法首先要选择粒子的数目 ，每个 粒子都有自己的位置、适应度和处于局部搜索模 式或者全局搜索模式的标识值。粒子的位置根据 求解的需要由 维向量表示，适应度可由目标函 数的适当变形得到，所处模式的标识值可以用数 字 0 和 1 表示。粒子的两种模式分别代表着算法 的不同进程。在程序的运行中，一部分粒子执行 局部搜索模式，其余的粒子执行全局搜索模式。 它们各自的数量由搜索模式动态调整参数 控 制， 表示处于全局搜索模式的粒子所占种群的 比例，按照式 (3) 计算得到，其中 和 分 第 2 期 刘楠，等：基于改进 PSO 和 FCM 的模糊辨识 ·379·
·380· 智能系统学报 第14卷 别为SM的最大值和最小值，DT为当前的迭代的 适应度值和最小适应度值。如果求解目的是要找 次数，MaxDT是最大的迭代次数。随着DT的增 到最大适应度值，则FSb=FSm,否则FS=FSax; 加，SM从SMmn线性地增加到SMm,这样可以使得 5)根据候选位置和它本身的可选择性P,运 粒子群在开始时搜索能力比较强，而到后期随着 用轮盘赌方法选择粒子的下一个位置。每个候选 种群的最优适应度越来越好，增大SM,有利于粒 位置和本身被选中的概率P为 子群聚集到更好的位置，进行更细致的搜索。 SN+1 SM=SM+DT.SMx-SM 1.2..N+I (6) (3) =1 MaxDT SMPSO算法整体进程描述如下： 在局部搜索模式，采用了遗传算法常用的轮 1)选择粒子群个体数为N; 盘赌选择法，正是借鉴了“物竞天择，适者生存 2)随机初始化粒子的位置为D维向量，按照 的生物进化理论，并且还保留了物种的多样性， SM随机分配粒子进人局部搜索模式和全局搜索 利用概率选择的方法，选择优胜的个体，淘汰劣 模式： 质个体。 3)根据适应度函数计算每个粒子的适应度 2.2全局搜索模式 值，选择适应度值最好的粒子为当前的最优解： 全局搜索模式对标准P$O进行简化处理，提 4)根据粒子所处模式的标识值，判断粒子处 高算法运行速度。粒子群按照式(7)、式(8)更新 于哪种搜索模式。如果粒子处于局部搜索模式， 粒子的位置。 应用局部搜索模式的程序；如果粒子处于全局搜 Xt+1)=X(0)+c·r·(P(0)-X() (7) Pk()=APg()+(1-)Px(0 (8) 索模式，应用全局搜索模式的程序。具体步骤详 见2.1和2.2； 式中：X表示第k个粒子的位置；P表示第k个粒 子的最佳搜寻位置；P表示粒子群经历的最好位 5)按照SM重新分配粒子进入局部搜索模式 和全局搜索模式； 置；P表示第k个粒子经历的最好位置；A是0和 1之间的一个常数；r是一个位于0和1之间的随 6)如果程序满足了终止条件，则终止程序； 机数；c是一个正常数，称作加速因子。 否则返回3)继续执行。 2.1局部搜索模式 从式(7)和式(8)可以看出本文方法与标准粒 子群算法的不同之处如下： 在此模式下，主要有两个基本的要素：局部搜 1)本文方法省去了粒子的速度，由于本文加 索次数(SN),表示每个处于局部搜索模式的粒子 入了局部搜索模式，使得粒子在两种模式之间切 迭代一次搜索的次数。粒子将按照之后描述的规 则，从中选择一个位置；局部搜索范围(SR),表示 换，粒子的历史速度对于粒子的影响并不是很 大。只要控制好参数SM和SR,粒群体将不容易 粒子局部搜索最大能抵达的范围。局部搜索模式 早熟，陷入局部最优解。同时，省去速度参数，也 步骤如下： 避免了对粒子速度的限制，进一步减少了算法的 1)复制SN份当前粒子的位置： 运行时间。 2)对于每个粒子的候选位置，按照式(4)更新 2)种群的每个粒子对局部最优解P和全局最 粒子的候选位置。 优解P的位置进行判断和权衡，找出最佳搜寻位 Xid(t+1)=xid (t)+rand.SR, d=1,2.…,D:i=1,2,…,SN (4) 置Pg,随后对此最佳位置进行跟踪。从式(8)可 式中：xa表示粒子的第个候选位置在第d维的位 以看出最佳搜寻位置P在P和P的连线上，A越 置，rand表示位于O~1之间的随机数； 接近1，P,离全局最优解P的距离越近；λ越接近 3)计算所有候选位置的适应度(FS): O,P离局部最优解P越近。 4)计算所有候选位置和它本身被选择的可能 2.3算法参数分析 性。如果所有的FS都相同，将所有候选位置的可 本文算法不同于标准PSO算法的参数主要 选择性设置为1；否则按照式（⑤）计算候选位置的 有SN、A、SMms、SMn和SR。对于不同的优化问 可选择性： 题参数选择不同，本文按照优化时间最短和优化 FS-FSl 结果最优原则，通过大量的仿真实验，总结了参 Pi= i=1,2,…,SN+1(5) FSmax -FSminl' 数的选取方法： 式中：P,表示候选位置的可选择性，FS,表示候选位 I)搜寻个数SN选取的越大，耗时越多，但是 置的适应度值，FSa和FSn表示候选位置中最大 相应的优化精度越高，一般选取3~5之间
SM DT MaxDT DT SM SMmin SMmax SM 别为 的最大值和最小值， 为当前的迭代的 次数， 是最大的迭代次数。随着 的增 加， 从 线性地增加到 ，这样可以使得 粒子群在开始时搜索能力比较强，而到后期随着 种群的最优适应度越来越好，增大 ，有利于粒 子群聚集到更好的位置，进行更细致的搜索。 SM = SMmin +DT· SMmax −SMmin MaxDT (3) SMPSO 算法整体进程描述如下： 1) 选择粒子群个体数为 N ； D SM 2) 随机初始化粒子的位置为 维向量，按照 随机分配粒子进入局部搜索模式和全局搜索 模式； 3) 根据适应度函数计算每个粒子的适应度 值，选择适应度值最好的粒子为当前的最优解； 4) 根据粒子所处模式的标识值，判断粒子处 于哪种搜索模式。如果粒子处于局部搜索模式， 应用局部搜索模式的程序；如果粒子处于全局搜 索模式，应用全局搜索模式的程序。具体步骤详 见 2.1 和 2.2； 5) 按照 SM 重新分配粒子进入局部搜索模式 和全局搜索模式； 6) 如果程序满足了终止条件，则终止程序； 否则返回 3) 继续执行。 2.1 局部搜索模式 SN SR 在此模式下，主要有两个基本的要素：局部搜 索次数 ( )，表示每个处于局部搜索模式的粒子 迭代一次搜索的次数。粒子将按照之后描述的规 则，从中选择一个位置；局部搜索范围 ( )，表示 粒子局部搜索最大能抵达的范围。局部搜索模式 步骤如下： 1) 复制 SN 份当前粒子的位置； 2) 对于每个粒子的候选位置，按照式 (4) 更新 粒子的候选位置。 xid (t+1) = xid (t)±rand ·SR, d = 1,2,··· ,D; i = 1,2,··· ,SN (4) xid i d rand 式中： 表示粒子的第 个候选位置在第 维的位 置， 表示位于 0~1 之间的随机数； 3) 计算所有候选位置的适应度 ( FS )； FS 4) 计算所有候选位置和它本身被选择的可能 性。如果所有的 都相同，将所有候选位置的可 选择性设置为 1；否则按照式 (5) 计算候选位置的 可选择性： Pi = |FSi −FSb| |FSmax −FSmin| , i = 1,2,··· ,S N +1 (5) Pi FSi FSmax FSmin 式中： 表示候选位置的可选择性， 表示候选位 置的适应度值， 和 表示候选位置中最大 FSb = FSmin FSb = FSmax 适应度值和最小适应度值。如果求解目的是要找 到最大适应度值，则 ，否则 ； Pi Pˆ i 5) 根据候选位置和它本身的可选择性 ，运 用轮盘赌方法选择粒子的下一个位置。每个候选 位置和本身被选中的概率 为 Pˆ i = Pi/ S N∑+1 i=1 Pi , i = 1,2,··· ,S N +1 (6) 在局部搜索模式，采用了遗传算法常用的轮 盘赌选择法，正是借鉴了“物竞天择，适者生存” 的生物进化理论，并且还保留了物种的多样性， 利用概率选择的方法，选择优胜的个体，淘汰劣 质个体。 2.2 全局搜索模式 全局搜索模式对标准 PSO 进行简化处理，提 高算法运行速度。粒子群按照式 (7)、式 (8) 更新 粒子的位置。 Xk(t+1) = Xk(t)+c ·r·(Pkg(t)− Xk(t)) (7) Pkg(t) = λPg(t)+(1−λ)Pk(t) (8) Xk k Pkg k Pg Pk k λ r c 式中： 表示第 个粒子的位置； 表示第 个粒 子的最佳搜寻位置； 表示粒子群经历的最好位 置 ； 表示第 个粒子经历的最好位置； 是 0 和 1 之间的一个常数； 是一个位于 0 和 1 之间的随 机数； 是一个正常数，称作加速因子。 从式 (7) 和式 (8) 可以看出本文方法与标准粒 子群算法的不同之处如下： SM SR 1) 本文方法省去了粒子的速度，由于本文加 入了局部搜索模式，使得粒子在两种模式之间切 换，粒子的历史速度对于粒子的影响并不是很 大。只要控制好参数 和 ，粒群体将不容易 早熟，陷入局部最优解。同时，省去速度参数，也 避免了对粒子速度的限制，进一步减少了算法的 运行时间。 Pk Pg Pkg Pkg Pg Pk λ Pkg Pg λ Pkg Pk 2) 种群的每个粒子对局部最优解 和全局最 优解 的位置进行判断和权衡，找出最佳搜寻位 置 ，随后对此最佳位置进行跟踪。从式 (8) 可 以看出最佳搜寻位置 在 和 的连线上， 越 接近 1， 离全局最优解 的距离越近； 越接近 0， 离局部最优解 越近。 2.3 算法参数分析 SN λ SMmax SMmin SR 本文算法不同于标准 PSO 算法的参数主要 有 、 、 、 和 。对于不同的优化问 题参数选择不同，本文按照优化时间最短和优化 结果最优原则，通过大量的仿真实验，总结了参 数的选取方法： 1) 搜寻个数 SN 选取的越大，耗时越多，但是 相应的优化精度越高，一般选取 3~5 之间。 ·380· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第2期 刘楠，等：基于改进PSO和FCM的模糊辨识 ·381· 2)入是控制最佳搜寻位置的参数，调节整体和 Y=XP (12) 局部的关系。针对参数λ的选择，本文采用了黄 式中：立是W维列向量；X是N×L的矩阵；P是 金分割点的位置1=0.618或者1=0.382。黄金分割 L=(+1)Xc维参数列向量。 已经在众多领域取得了成功的应用，例如在数学 由式(12)可得模型输出是参数向量P的线 上具有广泛应用价值的优选法，在股市上的应 性组合，采用递推最小二乘法求取参数P,算法如下： 用，在战术布阵中的应用等。黄金分割被认为是 P41=P+Sr1041-x41P (13) 建筑和艺术中最理想的比例，达到了局部与整体 1+xSx 的辩证统一。 SiS 3)SM表示处于全局搜索模式的粒子所占种 S41=S:-1+x41Sx (14) 群的比例。SM越大，全局搜索模式的粒子越多， 3.2模糊C均值聚类算法 算法收敛到最优解的速度越快，但是容易早熟， 模糊C均值聚类算法是一种自动对样本点进 陷入局部最优解；SM越小，局部搜索模式的粒子 行分类的方法，是当前应用较为广泛的一种模糊 越多，算法找到最优解的速度太慢，耗时太多，所 聚类算法。聚类的目标函数Jm(U,如式(15)，聚 以一般情况下SMax为1，SM为0.5。 类的最终目的是求得目标函数Jm(U,V)的极小值， 4)局部搜索范围SR越大，越有利于算法摆脱 具体实现步骤如下： 局部最优解，加快算法找到全局最优解，但是局 JU.V)=(y(da 部搜索能力比较弱；SR越小，局部搜索能力比较 =1k=1 (15) S.t UE Mfe 强，但是容易陷入局部最优解。根据具体问题的 1)设定聚类中心数c(2≤c≤n),n为样本个数， 取值范围合理的选择SR的大小。 给聚类中心V赋初值，设定模糊权重指数m、最大 3基于SMPSO和FCM的建模方法 迭代次数Cx和停止阈值： 2)根据聚类中心V",用式(16)计算第r+1次 3.1T-S模糊模型 迭代的隶属度矩阵U1,对于i,k,如果3d,则有： 在1985年，Takagi等m提出了T-S模糊模型， 第i条规则的形式为 = (16) Ri:ifx is Ai and x is A and ..and x,is Ai, theny=p%+pix+…+px, (9) 式中：i=1,2,…,c;j=1,2,…,r;x是第j个输入； 如果i,k,使得d=0,则有=1，对于j≠k A是一个模糊集合；y是第涤规则的输出；p是结 =0: 论参数。 3)根据隶属度矩阵U+,用式(17)计算第r+1 那么由各规则输出yi=1,2,·,c)的加权平均 次迭代的聚类中心V*: 可求得系统的总输出为 2(a' V*1= =124=宫w时W (17) (10) (u)m k=1 ∑w(p%+p+…+px) 4)根据给定的阈值ε，如果V*1-V‖<ε或者 式中：山=ΠA(),(i=1,2,…,c:Π是模糊化算子， 迭代次数大于Cmax,则停止迭代，最后一次的迭代 通常表示取小运算或者乘积运算，本文表示取小 结果就是隶属度矩阵U和聚类中心V,否则令 运算；w=4/∑4o r=r+1,转到2) 如果T-S模糊模型具有统一的前件结构，参 由以上算法步骤可以看出，整个迭代过程 照文献[12]的定义，T-S模糊模型的另一种表示方 就是不断优化聚类中心和隶属度矩阵的过程。 法如下： Bezdek等对算法进行了完善，并给出了收敛性说 R':if x is A' 明3：模糊C均值聚类算法可以从任意给定的 (11) then y=p%+px+…+px, 初始点开始收敛到目标函数Jm(U,V)的局部极 式中：x=(,,…,x)为输入变量向量，这样可以 小点。 使得模糊规则数等于输入变量的模糊集合数，明 3.3基于SMPSO和FCM的模糊辨识 显的减小了算法的复杂度。 模糊C均值聚类算法是一种局部搜索算法， 代入N对输入数据可得矩阵等式： 容易陷入局部最优解。为了解决这一问题，本文
λ λ λ = 0.618 λ = 0.382 2) 是控制最佳搜寻位置的参数，调节整体和 局部的关系。针对参数 的选择，本文采用了黄 金分割点的位置 或者 。黄金分割 已经在众多领域取得了成功的应用，例如在数学 上具有广泛应用价值的优选法，在股市上的应 用，在战术布阵中的应用等。黄金分割被认为是 建筑和艺术中最理想的比例，达到了局部与整体 的辩证统一。 SM SM SM SMmax SMmin 3) 表示处于全局搜索模式的粒子所占种 群的比例。 越大，全局搜索模式的粒子越多， 算法收敛到最优解的速度越快，但是容易早熟， 陷入局部最优解； 越小，局部搜索模式的粒子 越多，算法找到最优解的速度太慢，耗时太多，所 以一般情况下 为 1， 为 0.5。 SRSRSR 4) 局部搜索范围 越大，越有利于算法摆脱 局部最优解，加快算法找到全局最优解，但是局 部搜索能力比较弱； 越小，局部搜索能力比较 强，但是容易陷入局部最优解。根据具体问题的 取值范围合理的选择 的大小。 3 基于 SMPSO 和 FCM 的建模方法 3.1 T-S 模糊模型 i 在 1985 年，Takagi 等 [1]提出了 T-S 模糊模型， 第 条规则的形式为 R i : if x1 is A i 1 and x2 is A i 2 and ··· and xr is A i r , then y i = p i 0 + p i 1 x1 +···+ p i r xr (9) i = 1,2,··· , c j = 1,2,··· ,r xj j A i j y i i p i j 式中： ； ； 是 第 个输入； 是一个模糊集合； 是第 条规则的输出； 是结 论参数。 y i (i = 1,2,··· , c) yˆ 那么由各规则输出 的加权平均 可求得系统的总输出 为 yˆ = ∑c i=1 µiy i / ∑c i=1 µi = ∑c i=1 wiy i = ∑c i=1 wi(p i 0 + p i 1 x1 +···+ p i r xr) (10) µi = ∏r j=1 A i j (xi) (i = 1,2,··· , c) ∏ wi = µi/ ∑c i=1 µi 式中： ， ； 是模糊化算子， 通常表示取小运算或者乘积运算，本文表示取小 运算； 。 如果 T-S 模糊模型具有统一的前件结构，参 照文献[12]的定义，T-S 模糊模型的另一种表示方 法如下： R i : if x is A i , then y i = p i 0 + p i 1 x1 +···+ p i r xr (11) 式中： x = (x1, x2,··· , xr) 为输入变量向量，这样可以 使得模糊规则数等于输入变量的模糊集合数，明 显的减小了算法的复杂度。 代入 N 对输入数据可得矩阵等式： Yˆ = XP (12) Yˆ N X N × L P L = (r +1)×c 式中： 是 维列向量； 是 的矩阵； 是 维参数列向量。 Yˆ P P 由式 (12) 可得模型输出 是参数向量 的线 性组合，采用递推最小二乘法求取参数 ，算法如下： Pi+1 = Pi + Si · x T i+1 ·(yi+1 − xi+1 · Pi) 1+ xi+1 ·Si · x T i+1 (13) Si+1 = Si − Si · x T i+1 · xi+1 ·Si 1+ xi+1 ·Si · x T i+1 (14) 3.2 模糊 C 均值聚类算法 Jm(U,V) Jm(U,V) 模糊 C 均值聚类算法是一种自动对样本点进 行分类的方法，是当前应用较为广泛的一种模糊 聚类算法。聚类的目标函数 如式 (15)，聚 类的最终目的是求得目标函数 的极小值， 具体实现步骤如下： Jm(U,V) = ∑c i=1 ∑n k=1 (uik) m (dik) 2 s.t U ∈ Mf c (15) c(2 ⩽ c ⩽ n) n V 0 m Cmax ε 1) 设定聚类中心数 ， 为样本个数， 给聚类中心 赋初值，设定模糊权重指数 、最大 迭代次数 和停止阈值 ； V r r +1 U r+1 ∀i, k ∃d r ik 2) 根据聚类中心 ，用式 (16) 计算第 次 迭代的隶属度矩阵 ，对于 ，如果 ，则有： u r+1 ik = 1 ∑c l=1 ( d r ik d r lk ) 2 m−1 (16) ∃i, k d r ik = 0 u r+1 ik = 1 j , k, u r+1 i j = 0 如果 ，使得 ，则有 ，对于 ； U r+1 r +1 V r+1 3) 根据隶属度矩阵 ，用式 (17) 计算第 次迭代的聚类中心 ： V r+1 i = ∑n k=1 (u r+1 ik ) m xk ∑n k=1 (u r+1 ik ) m (17) ε V r+1 −V r < ε Cmax U V r = r +1 4) 根据给定的阈值 ，如果 或者 迭代次数大于 ，则停止迭代，最后一次的迭代 结果就是隶属度矩阵 和聚类中心 ，否则令 ，转到 2)。 Jm(U,V) 由以上算法步骤可以看出，整个迭代过程 就是不断优化聚类中心和隶属度矩阵的过程。 Bezdek 等对算法进行了完善，并给出了收敛性说 明 [13-15] ：模糊 C 均值聚类算法可以从任意给定的 初始点开始收敛到目标函数 的局部极 小点。 3.3 基于 SMPSO 和 FCM 的模糊辨识 模糊 C 均值聚类算法是一种局部搜索算法， 容易陷入局部最优解。为了解决这一问题，本文 第 2 期 刘楠，等：基于改进 PSO 和 FCM 的模糊辨识 ·381·
·382· 智能系统学报 第14卷 首先采用模糊C均值聚类算法对聚类中心进行 SIS0动态系统。本文选择r=2,c=6,输人变量选 初步优化，然后利用改进粒子群算法的全局搜索 择k-1)和(k-3),输出量为yk)。改进的粒子群 能力优化聚类中心。这样既保持了模糊C均值 算法的参数选择如表1所示。辨识模型需要优化 聚类算法的优点，又达到了对模型的全局优化， 的聚类中心的参数为rc=12个；结论参数为 显著的提高了算法的辨识精度和效率。具体算法 (r+1)c=18个。仿真结果如图1和图2所示，与其 步骤如下： 他方法的对比结果如表2所示。 1)由辨识的目标得到输入输出数据。 表1 SMPSO的参数设置 2)采用模糊C均值聚类算法对聚类中心V进 Table 1 Parameters setting of SMPSO 行初步优化，算法步骤详见32。 种群规模 迭代次数SN SR SMmax SMmin 3)选择输入变量个数为，即聚类中心的维数 40 200 520.61810.5 为r,那么粒子的位置表示为 65 X=[y1,i2,…,V1,…,a,V2,…,V…,Ve,Ve2,…,Ve 一实际输出 一一一-模型输出 (18) 60 式中：X为r×c维向量，即粒子群优化参数编码。 4)根据聚类中心V,用式(19)计算第1+1次 55 迭代的隶属度矩阵U1,对于i,k,如果d,则有： = 1 (19) 0 50100150200250300 如果3i,k,使得d=0,则有=1，对于j≠k 图1 SMPSO模糊模型辨识结果 1=0。 Fig.1 Identification result of fuzzy model with SMPSO 5)采用递推最小二乘法求取结论参数P,用 结论参数P和输入数据集计算模糊模型的输出 :。SMPSO算法的适应度函数如式(20)，根据适 应度函数算出每个个体的适应度值，由式(3)(8) 更新个体位置。 fitness=J(U,V)+w.MSE= 22ura+员2- (20) e1k= 式中：w为建模均方误差MSE的比例因子。因为， 50100150200250300 一般建模均方误差都很小，这样对适应度函数就 图2 SMPSO模糊模型辨识误差 起不到明显的作用，所以加人比例因子w,可以调 Fig.2 Identification error of fuzzy model with SMPSO 节Jm(U,V和MSE对适应度函数的影响，从而达到 表2不同辨识方法下的MSE 更好的寻优效果。 Table 2 MSE of different identification methods 6)如果程序满足了终止条件，则终止程序；否 算法 输入变量 规则数 MSE 则返回4)继续执行。 Yoshinari模型7 2 6 0.299 4仿真研究 FCM算法 6 0.1461 文献[18 7 0.1819 4.1Box-Jenkins煤气炉数据辨识 本文方法 6 著名的Box等煤气炉数据已经被许多学者 0.1238 用作检验辨识方法的标准试验数据。输入量 由仿真结果可以看出，本文方法所用模糊规则 (k)是流向煤气炉的流量，输出量是出口二氧 数少，但是辨识精度高，是一种有效的辨识方法。 化碳的浓度。 4.2非线性动态系统 这组数据有296对输入输出测量值，是一个 本节以式(25)的非线性动态系统为仿真对
首先采用模糊 C 均值聚类算法对聚类中心进行 初步优化，然后利用改进粒子群算法的全局搜索 能力优化聚类中心。这样既保持了模糊 C 均值 聚类算法的优点，又达到了对模型的全局优化， 显著的提高了算法的辨识精度和效率。具体算法 步骤如下： 1) 由辨识的目标得到输入输出数据。 2) 采用模糊 C 均值聚类算法对聚类中心 V 进 行初步优化，算法步骤详见 3.2。 r r 3) 选择输入变量个数为 ，即聚类中心的维数 为 ，那么粒子的位置表示为 X = [v11, v12,··· , v1r | {z } v1 ,··· , vi1, vi2,··· , vir | {z } vi ,··· , vc1, vc2,··· , vcr | {z } vc ] (18) 式中： X 为r ×c维向量，即粒子群优化参数编码。 V λ λ+1 U λ+1 ∀i, k ∃d λ ik 4) 根据聚类中心 ，用式 (19) 计算第 次 迭代的隶属度矩阵 ，对于 ，如果 ，则有： u λ+1 ik = 1 ∑c l=1 ( d λ ik d λ lk ) 2 m−1 (19) ∃i, k d λ ik = 0 u λ+1 ik = 1 j , k, u λ+1 i j = 0 如果 ，使得 ，则有 ，对于 。 P P yˆk 5) 采用递推最小二乘法求取结论参数 ，用 结论参数 和输入数据集计算模糊模型的输出 。SMPSO 算法的适应度函数如式 (20)，根据适 应度函数算出每个个体的适应度值，由式 (3)~(8) 更新个体位置。 fitness = Jm(U,V)+w·MSE = ∑c i=1 ∑n k=1 (uik) m (dik) 2 + w N ∑N k=1 (yk −yˆk) 2 (20) w MSE w Jm(U,V) MSE 式中： 为建模均方误差 的比例因子。因为， 一般建模均方误差都很小，这样对适应度函数就 起不到明显的作用，所以加入比例因子 ，可以调 节 和 对适应度函数的影响，从而达到 更好的寻优效果。 6) 如果程序满足了终止条件，则终止程序；否 则返回 4) 继续执行。 4 仿真研究 4.1 Box-Jenkins 煤气炉数据辨识 u(k) y(k) 著名的 Box 等煤气炉数据[16]已经被许多学者 用作检验辨识方法的标准试验数据。输入量 是流向煤气炉的流量，输出量 是出口二氧 化碳的浓度。 这组数据有 296 对输入输出测量值，是一个 r = 2, c = 6 y(k−1) u(k−3) y(k) rc= 12 (r +1)c=18 SISO 动态系统。本文选择 ，输入变量选 择 和 ，输出量为 。改进的粒子群 算法的参数选择如表 1 所示。辨识模型需要优化 的聚类中心的参数为 个；结论参数为 个。仿真结果如图 1 和图 2 所示，与其 他方法的对比结果如表 2 所示。 表 1 SMPSO 的参数设置 Table 1 Parameters setting of SMPSO 种群规模 迭代次数 SN SR λ SMmax SMmin 40 200 5 2 0.618 1 0.5 0 50 45 50 55 60 65 100 250 200 N P 150 300 实际输出 模型输出 图 1 SMPSO 模糊模型辨识结果 Fig. 1 Identification result of fuzzy model with SMPSO 0 50 −2 −1 0 1 2 100 200 250 N e 150 300 图 2 SMPSO 模糊模型辨识误差 Fig. 2 Identification error of fuzzy model with SMPSO 表 2 不同辨识方法下的 MSE Table 2 MSE of different identification methods 算法 输入变量 规则数 MSE Yoshinari 模型[17] 2 6 0.299 FCM 算法 2 6 0.146 1 文献[18] 2 7 0.181 9 本文方法 2 6 0.123 8 由仿真结果可以看出，本文方法所用模糊规则 数少，但是辨识精度高，是一种有效的辨识方法。 4.2 非线性动态系统 本节以式 (25) 的非线性动态系统为仿真对 ·382· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第2期 刘楠，等：基于改进PSO和FCM的模糊辨识 ·383· 象，由u()=sin(2kπ/100)产生输入数据。选择 算法相结合，提出一种新的模糊辨识方法。首先 r=3,c=6,输入变量选择(k)、yk)和y(k-1),输出 采用模糊C均值聚类算法对聚类中心进行初步 量为k+1),y(1)=0,训练数据500组。改进的粒 优化。然后对粒子群算法进行了改进，提出一种 子群算法的参数选择如表4所示。辨识模型需要 搜索模式动态调整的PSO算法，显著提高了 优化的聚类中心的参数为℃=18个；结论参数为 PSO算法处理复杂问题的全局优化能力。并且将 (+1)c=24个。仿真结果如图3和图4所示，与其 改进的PSO算法运用到聚类中心的优化中，有效 他方法的对比结果如表3所示。 的解决了FCM算法容易陷入局部最优的问题，提 实际输出 -一模型输出 高了模糊辨识的精度和效率。最后通过建模仿 1.5 真，表明了本文方法的有效性和优越性。 10 0.5 参考文献： 0 [1]TAKAGI T.SUGENO M.Fuzzy identification of systems 0.5 and its applications to modeling and control[J].IEEE trans- -1.0 actions on systems,man,and cybernetics,1985,SMC- 151):116-132 -15 100 200 300 400 500 [2]PARK B J,OH S K,PEDRYCZ W.Fuzzy identification by means of partitions of fuzzy input space and an aggreg- 图3 SMPSO模糊模型辨识结果 ate objective function[C]//IEEE International Fuzzy Sys- Fig.3 Identification result of fuzzy model with SMPSO tems Conference Proceedings.Seoul,South Korea,1999, 0.010 1:480-485 0.005 [3]李峰磊，窦金梅，刘福才，等.一种基于改进BFO和 RLS的模糊建模方法[.南京理工大学学报，2014， 38(2:252-258. 0.005 LI Fenglei,DOU Jinmei,LIU Fucai,et al.Fuzzy modeling method with improved BFO and RLS[J].Journal of 0.010 Nanjing university of science and technology,2014,38(2): -0.01 252-258 0 100 200300400 N 500 [4]LI C,WU T.Adaptive fuzzy approach to function approx- imation with PSO and RLSE[J].Expert systems with ap- 图4 SMPSO模糊模型辨识误差 Fig.4 Identification error of fuzzy model with SMPSO plications,2011,38(10:13266-13273. [5]TAMURA S,HIGUCHI S,TANAKA K.Pattern classific- 表3不同辨识方法的仿真结果 ation based on fuzzy relations[J].IEEE transactions on sys- Table 3 Simulation results of different identification meth ods tems,man,and cybernetics,1971,SMC-1(1):61-66. [6]BACKER E,JAIN A K.A clustering performance meas- 算法 种群规模 运行时间/s MSE ure based on fuzzy set decomposition[J].IEEE transac- BFOI阿 100 5.457×102 1.210×102 tions on pattern analysis and machine intelligence,1981, IBFO-RLS16] 40 6.102×10 7.098×10 PAM-31):66-75. 本文方法 40 3.111×10 3.508×108 [7]樊治平，于春海，尤天慧.一种基于三角模糊数多指标信 息的FCM聚类算法[.控制与决策，2004,19(12)： y(k) yk+1)= ++w (21) 1407-1411 FAN Zhiping,YU Chunhai,YOU Tianhui.An FCM clus- 从仿真结果可以看出，本文方法不仅提高了 tering algorithm for multiple attribute information with tri- 辨识精度，而且大幅度的缩短了程序运行时间， angular fuzzy numbers[J].Control and decision,2004, 验证了本文方法有很高的效率。 19(12:1407-1411. 5结束语 [8]WUZ,LEATHY R.An optimal graph theoretic approach to data clustering:theory and its application to image seg- 本文将改进的粒子群算法和模糊C均值聚类 mentation[J].IEEE transactions on pattern analysis and
u(k) =sin (2kπ/100) r = 3, c = 6 u(k) y(k) y(k−1) y(k+1) y(1) =0 rc=18 (r +1)c=24 象，由 产生输入数据。选择 ，输入变量选择 、 和 ，输出 量为 ， ，训练数据 500 组。改进的粒 子群算法的参数选择如表 4 所示。辨识模型需要 优化的聚类中心的参数为 个；结论参数为 个。仿真结果如图 3 和图 4 所示，与其 他方法的对比结果如表 3 所示。 0 100 −1.5 −1.0 −0.5 0.5 0 1.0 1.5 200 400 N P 300 500 实际输出 模型输出 图 3 SMPSO 模糊模型辨识结果 Fig. 3 Identification result of fuzzy model with SMPSO 0 100 −0.015 −0.010 −0.005 0.005 0 0.010 200 400 N e 300 500 图 4 SMPSO 模糊模型辨识误差 Fig. 4 Identification error of fuzzy model with SMPSO 表 3 不同辨识方法的仿真结果 Table 3 Simulation results of different identification methods 算法 种群规模 运行时间/s MSE BFO[6] 100 5.457×102 1.210×10-2 IBFO-RLS[6] 40 6.102×103 7.098×10-5 本文方法 40 3.111×101 3.508×10-8 y(k+1) = y(k) 1+y(k) 2 +u(k) 3 (21) 从仿真结果可以看出，本文方法不仅提高了 辨识精度，而且大幅度的缩短了程序运行时间， 验证了本文方法有很高的效率。 5 结束语 本文将改进的粒子群算法和模糊 C 均值聚类 算法相结合，提出一种新的模糊辨识方法。首先 采用模糊 C 均值聚类算法对聚类中心进行初步 优化。然后对粒子群算法进行了改进，提出一种 搜索模式动态调整 的 PSO 算法，显著提高 了 PSO 算法处理复杂问题的全局优化能力。并且将 改进的 PSO 算法运用到聚类中心的优化中，有效 的解决了 FCM 算法容易陷入局部最优的问题，提 高了模糊辨识的精度和效率。最后通过建模仿 真，表明了本文方法的有效性和优越性。 参考文献： TAKAGI T, SUGENO M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics, 1985, SMC- 15(1): 116–132. [1] PARK B J, OH S K, PEDRYCZ W. Fuzzy identification by means of partitions of fuzzy input space and an aggregate objective function[C]//IEEE International Fuzzy Systems Conference Proceedings. Seoul, South Korea, 1999, 1: 480–485. [2] 李峰磊, 窦金梅, 刘福才, 等. 一种基于改进 BFO 和 RLS 的模糊建模方法[J]. 南京理工大学学报, 2014, 38(2): 252–258. LI Fenglei, DOU Jinmei, LIU Fucai, et al. Fuzzy modeling method with improved BFO and RLS[J]. Journal of Nanjing university of science and technology, 2014, 38(2): 252–258. [3] LI C, WU T. Adaptive fuzzy approach to function approximation with PSO and RLSE[J]. Expert systems with applications, 2011, 38(10): 13266–13273. [4] TAMURA S, HIGUCHI S, TANAKA K. Pattern classification based on fuzzy relations[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics, 1971, SMC-1(1): 61–66. [5] BACKER E, JAIN A K. A clustering performance measure based on fuzzy set decomposition[J]. IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence, 1981, PAMI-3(1): 66–75. [6] 樊治平, 于春海, 尤天慧. 一种基于三角模糊数多指标信 息的 FCM 聚类算法[J]. 控制与决策, 2004, 19(12): 1407–1411. FAN Zhiping, YU Chunhai, YOU Tianhui. An FCM clustering algorithm for multiple attribute information with triangular fuzzy numbers[J]. Control and decision, 2004, 19(12): 1407–1411. [7] WU Z, LEATHY R. An optimal graph theoretic approach to data clustering: theory and its application to image segmentation[J]. IEEE transactions on pattern analysis and [8] 第 2 期 刘楠，等：基于改进 PSO 和 FCM 的模糊辨识 ·383·
·384· 智能系统学报 第14卷 machine intelligence,1993,15(11):1101-1113 Fuzzy sets and systems,1993,54(2):157-165 [9]DUNN J C.A fuzzy relative of the isodata process and its [18]王宏伟，马广富，王子才.一种基于模糊规则的模糊辩 use in detecting compact well-separated clusters[J].Journ- 识方法U.系统仿真学报，1998,10(4)61-64 al of cybernetics,1973,3(3):32-57. WANG Hongwei,MA Guangfu,WANG Zicai.A fuzzy [10]BEZDEK J C.Numerical taxonomy with fuzzy sets[J]. identification method via fuzzy rules[J].Acta simulata Journal of mathematical biology,1974,1(1):57-71. [11]KENNEDY J,EBERHART R C.Particle swarm optimiz- systematica sinica,1998,10(4):61-64. ation[C]//Proceedings of the IEEE International Confer- 作者简介： ence on Neural Networks,Australia 1995:1942-1948. [12]CHEN Jianqin,XI Yugeng,ZHANG Zhongjun.A clus- 刘楠，男，1990年生，硕士研究 tering algorithm for fuzzy model identification[J].Fuzzy 生，主要研究方向为模糊辨识与控制、 sets and systems,1998,98(3):319-329. 智能优化算法。 [13]HATHAWAY R J,BEZDEK J C,TUCKER W T.Re- cent convergence results for the fuzzy C-means cluster- ing algorithms[J].Journal of classification,1988,5(2): 237-247. [14]BEZDEK J C,HATHAWAY R J,SABIN M J,et al.Con- 刘福才，男，1966年生，教授，博 vergence theory for fuzzy c-means:counterexamples and 士生导师，主要研究方向为模糊辨识 repairs[J.IEEE transactions on systems,man,and cyber- 与预测控制、电力拖动及其计算机控 制。发表学术论文160余篇，出版专 netics,1987,17(5873-877. 著1部。 [15]HATHAWAY R J,BEZDEK J C,TUCKER W T.Re- cent convergence results for the fuzzy C-means cluster- ing algorithms[J].Journal of classification,1988,5(2): 237-247. 孟爱文，女，1991年生，硕士研究 生，主要研究方向为模糊辨识、多项式 [16]BOX G E P,JENKINS A D.Time series analysis:fore- 模糊正系统控制与稳定性分析。 casting and control[M].San Francisco,USA:Holden- Day,1976. [17]YOSHINARI Y,PEDRYCZ W,HIROTA K.Construc- tion of fuzzy models through clustering techniques[J]
machine intelligence, 1993, 15(11): 1101–1113. DUNN J C. A fuzzy relative of the isodata process and its use in detecting compact well-separated clusters[J]. Journal of cybernetics, 1973, 3(3): 32–57. [9] BEZDEK J C. Numerical taxonomy with fuzzy sets[J]. Journal of mathematical biology, 1974, 1(1): 57–71. [10] KENNEDY J, EBERHART R C. Particle swarm optimization[C]//Proceedings of the IEEE International Conference on Neural Networks, Australia 1995: 1942−1948. [11] CHEN Jianqin, XI Yugeng, ZHANG Zhongjun. A clustering algorithm for fuzzy model identification[J]. Fuzzy sets and systems, 1998, 98(3): 319–329. [12] HATHAWAY R J, BEZDEK J C, TUCKER W T. Recent convergence results for the fuzzy C-means clustering algorithms[J]. Journal of classification, 1988, 5(2): 237–247. [13] BEZDEK J C, HATHAWAY R J, SABIN M J, et al. Convergence theory for fuzzy c-means: counterexamples and repairs[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics, 1987, 17(5): 873–877. [14] HATHAWAY R J, BEZDEK J C, TUCKER W T. Recent convergence results for the fuzzy C-means clustering algorithms[J]. Journal of classification, 1988, 5(2): 237–247. [15] BOX G E P, JENKINS A D. Time series analysis: forecasting and control[M]. San Francisco, USA: HoldenDay, 1976. [16] YOSHINARI Y, PEDRYCZ W, HIROTA K. Construction of fuzzy models through clustering techniques[J]. [17] Fuzzy sets and systems, 1993, 54(2): 157–165. 王宏伟, 马广富, 王子才. 一种基于模糊规则的模糊辩 识方法[J]. 系统仿真学报, 1998, 10(4): 61–64. WANG Hongwei, MA Guangfu, WANG Zicai. A fuzzy identification method via fuzzy rules[J]. Acta simulata systematica sinica, 1998, 10(4): 61–64. [18] 作者简介： 刘楠，男，1990 年生，硕士研究 生，主要研究方向为模糊辨识与控制、 智能优化算法。 刘福才，男，1966 年生，教授，博 士生导师，主要研究方向为模糊辨识 与预测控制、电力拖动及其计算机控 制。发表学术论文 160 余篇，出版专 著 1 部。 孟爱文，女，1991 年生，硕士研究 生，主要研究方向为模糊辨识、多项式 模糊正系统控制与稳定性分析。 ·384· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷