【智能系统】非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析

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第13卷第5期智能系统学报 Vol.13 No.5 2018年10月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Oct.2018 D0:10.11992/tis.201704023 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180425.0911.002.html 非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析吕红丽'，宋玉晶'，段培永2 (1.山东建筑大学信息与电气工程学院，山东济南250101；2.山东师范大学信息科学与工程学院，山东济南 250014) 摘要：针对非线性系统难以精确建模与动态性能分析的基本控制问题，基于模糊动态模型把布尔网络系统理论推广到非线性布尔网络系统，建立了模糊动态布尔网络控制系统的模型。引入模糊动态模型，对非线性布尔网络进行模糊建模，分别建立了非线性布尔网络系统的局部模型和全局模型。从系统的局部意义和全局意义上，对系统进行了能控性、能观性、稳定性等动态性能分析。最后，以多输入多输出的非线性布尔网络系统实例为具体研究对象，建立了系统的局部模型和全局模型，并对动态性能进行了仿真分析，得到了实验结果。实验结果表明，模糊动态布尔网络控制系统对非线性布尔网络系统的建模是有效的，动态性能分析是合理的，对模糊动态布尔网络控制系统的进一步分析有重要意义。关键词：模糊动态模型；布尔网络：半张量积：局部模型；全局模型；能控性：能观性：稳定性中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：1673-4785(2018)05-0707-09 中文引用格式：吕红丽，宋玉晶，段培永.非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析J.智能系统学报，2018,13(5)： 707-715. 英文引用格式：LYU Hongli,,SONGYujing,.DUAN Peiyong..Fuz四y modeling and dynamic analysis of nonlinear Boolean networks systems[J].CAAI transactions on intelligent systems,2018,13(5):707-715. Fuzzy modeling and dynamic analysis of nonlinear Boolean networks systems LYU Hongli',SONG Yujing',DUAN Peiyong? (1.School of Information and Electrical Engineering,Shandong Jianzhu University,Ji'nan 250101,China;2.School of Information Science and Engineering,Shandong Normal University,Ji'nan 250014,China) Abstract:Considering the difficulty in accurately modeling nonlinear systems and analyzing their dynamic properties, the Boolean network system theories are extended to the nonlinear Boolean network system based on a fuzzy dynamic model,establishing a model of fuzzy dynamic Boolean network control systems.The fuzzy dynamic model is intro- duced to build a fuzzy model of nonlinear Boolean network,establishing the local and global models of the nonlinear Boolean network systems.The dynamic properties,which include controllability,observability,and stability of the sys- tem,are analyzed from the local and global meanings of the system.Finally,a multi-input multi-output nonlinear Boolean network system is taken as a numerical example,and the local and global models of the system are established. The dynamic properties are simulated and analyzed,and the experimental results are obtained.The results show that the fuzzy dynamic Boolean network control system is effective in modeling nonlinear Boolean network systems and reason- ably analyzes the dynamic properties,which is of great significance for further analysis of the fuzzy dynamic Boolean network control systems. Keywords:fuzzy dynamical model;Boolean network;semi-tensor product;local model;global model;controllability; observability:stability 收稿日期：2017-04-19.网络出版日期：2018-04-25 1965年，Zadeh首次提出基于模糊集合的模基金项目：国家自然科学基金项目(61374187,61403237) 通信作者：宋玉品.E-mail:xiaosongyj(@qq.com. 糊数学概念。1974年，Mamdani首先将模糊数学

DOI: 10.11992/tis.201704023 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180425.0911.002.html 非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析吕红丽1 ，宋玉晶1 ，段培永2 （1. 山东建筑大学信息与电气工程学院，山东济南 250101; 2. 山东师范大学信息科学与工程学院，山东济南 250014）摘要：针对非线性系统难以精确建模与动态性能分析的基本控制问题，基于模糊动态模型把布尔网络系统理论推广到非线性布尔网络系统，建立了模糊动态布尔网络控制系统的模型。引入模糊动态模型，对非线性布尔网络进行模糊建模，分别建立了非线性布尔网络系统的局部模型和全局模型。从系统的局部意义和全局意义上，对系统进行了能控性、能观性、稳定性等动态性能分析。最后，以多输入多输出的非线性布尔网络系统实例为具体研究对象，建立了系统的局部模型和全局模型，并对动态性能进行了仿真分析，得到了实验结果。实验结果表明，模糊动态布尔网络控制系统对非线性布尔网络系统的建模是有效的，动态性能分析是合理的，对模糊动态布尔网络控制系统的进一步分析有重要意义。关键词：模糊动态模型；布尔网络；半张量积；局部模型；全局模型；能控性；能观性；稳定性中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2018)05−0707−09 中文引用格式：吕红丽, 宋玉晶, 段培永. 非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析[J]. 智能系统学报, 2018, 13(5): 707–715. 英文引用格式：LYU Hongli, SONG Yujing, DUAN Peiyong. Fuzzy modeling and dynamic analysis of nonlinear Boolean networks systems[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(5): 707–715. Fuzzy modeling and dynamic analysis of nonlinear Boolean networks systems LYU Hongli1 ，SONG Yujing1 ，DUAN Peiyong2 (1. School of Information and Electrical Engineering, Shandong Jianzhu University, Ji’nan 250101, China; 2. School of Information Science and Engineering, Shandong Normal University, Ji’nan 250014, China) Abstract: Considering the difficulty in accurately modeling nonlinear systems and analyzing their dynamic properties, the Boolean network system theories are extended to the nonlinear Boolean network system based on a fuzzy dynamic model, establishing a model of fuzzy dynamic Boolean network control systems. The fuzzy dynamic model is introduced to build a fuzzy model of nonlinear Boolean network, establishing the local and global models of the nonlinear Boolean network systems. The dynamic properties, which include controllability, observability, and stability of the system, are analyzed from the local and global meanings of the system. Finally, a multi-input multi-output nonlinear Boolean network system is taken as a numerical example, and the local and global models of the system are established. The dynamic properties are simulated and analyzed, and the experimental results are obtained. The results show that the fuzzy dynamic Boolean network control system is effective in modeling nonlinear Boolean network systems and reasonably analyzes the dynamic properties, which is of great significance for further analysis of the fuzzy dynamic Boolean network control systems. Keywords: fuzzy dynamical model; Boolean network; semi-tensor product; local model; global model; controllability; observability; stability 1965 年，Zadeh[1]首次提出基于模糊集合的模糊数学概念。1974 年，Mamdani[2]首先将模糊数学收稿日期：2017−04−19. 网络出版日期：2018−04−25. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61374187, 61403237). 通信作者：宋玉晶. E-mail：xiaosongyj@qq.com. 第 13 卷第 5 期智能系统学报 Vol.13 No.5 2018 年 10 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Oct. 2018

·708· 智能系统学报第13卷理论应用于工业控制中，实现了对锅炉和蒸汽机 D=0,1;f:D→D称为逻辑函数；L∈Mx,称的模糊控制，使模糊控制从理论走向实际应用。 L为逻辑矩阵，如果Col(L)c4mm×r维逻辑矩阵全 1985年，日本学者Takagi等又提出了以线性精体记为Lmx;设矩阵L∈Mxr。其中，Col(L)C4n,称确数学表达式为模糊规则后件的T-S模糊模型， L为逻辑矩阵，可简记为L=6ii2…:矩阵将模糊控制系统与线性控制系统有效地结合起 B∈Mxn为布尔矩阵，如果B中(b)∈D,m×n 来。随后国内外学者基于T-S模糊模型，研究了维布尔矩阵全体记为Bmm。非线性系统的大量控制问题，得到了丰富的模糊 1.2模糊动态模型控制理论研究成果4。在TS模糊模型的基础模糊动态模型是非线性复杂系统模糊建模中上，Feng等s提出了模糊动态模型(fuz四y dynam- 一种典型的模糊建模方法。模糊动态模型每条规 ical model)。其主要思想是，构造一组线性模型，则的后件部分是一种状态空间形式的局部线性系分别描述系统的动态特性，通过局部线性模型的统，因此对于局部的线性模型可以采用线性系统加权组合得到系统的全局非线性动态模型。文的理论体系去研究，然后通过模糊推理得到全局献[10]中提出了一种离散时间模糊控制系统，将意义下的模糊控制系统的分析和设计。非线性离散时间系统作为模糊控制系统的后件部一个m个输入n个输出的非线性系统，其模糊分，分析了系统的动态性能。 s控制器可表示为∑∈fy1×y2…×yn×x1×…×xm), 1969年，Kauffman!首先提出布尔网络模型，其中{x是模糊控制器的输入，论域为E,y是模糊布尔网络是关于布尔状态变量的一种简单的逻辑控制器的输出，论域为E,。将模糊变量x,y按照隶动力系统，是当前学者专家们共同关心的热点问属度函数进行模糊化，E。={x,,…,,i=1,2,…,m 题。针对布尔网络研究缺少有效的数学工具问分别对应于“负大”“负中”…是基于隶属度的模糊题，程代展教授在文献[12]中首次提出矩阵半张集合；E,=,,…=1,2,…,n,分别对应于量积方法。这种方法将逻辑运算转换成代数运 “负大“负中”.…是基于隶属度的模糊集合。算，使得许多经典的处理量变过程的数学工具可假设总共有N条模糊规则，则第k条模糊规则直接用来分析逻辑动态系统。在文献[13]中，程为R,k=1,2,·,N,其模糊规则为代展教授将这种方法应用于布尔网络，将逻辑动 Re:if x is Au,x is Az,.,xmis Amk 态控制系统转化为普通离散时间系统，提出了一 yk=pd+px1+…+pax+…pmm 系列关于布尔网络的新理论。随后在文献[14-17刀 (1) 中研究了布尔网络系统的能控能观性等性质，形 Then yk=P+pkx+…+px+…pikXm 成了布尔控制网络分析设计的完整理论框架。之后，学者们在控制理论方面对线性布尔网络系统 yt=p6+px1+…+pax+…Pik m 做了大量的深入研究1⑧2)，但是没有针对非线性式中：A*是一个模糊集合；y是第k条模糊规则的布尔网络系统进行分析和研究。第j个输出，广=1,2，…，n;p是第k条模糊规则结论为了解决非线性布尔网络的数学建模与分析中第j个输出的线性多项式函数中变量x项的问题，利用模糊动态模型的非线性特点，将模糊系数，一般为常数项，特别的p通常可以归一化动态模型和布尔控制网络相结合，建立了模糊动为1。态布尔网络系统的局部模型和全局模型，并且分对于第k条规则R,如果已知输入x=, 别分析了系统局部模型和全局模型的能控性、能 2=x,…,xm=x,则在结论部分的输出y可以由观性和稳定性。线性多项式函数计算得到： yt=pi+px+…+Pm (2) 1预备知识每条规则的激活度4为 1.1数学符号说明 h=HA.(x）N4A(g)A…AA(x) 为了叙述方便，文中用到的记号列表如下： Mmn表示所有m×n矩阵的集合，⑧表示矩阵的张量 4=uA(x)uA(x)A…AμA(x) (3) 积；Col(A)Row(A)为矩阵A的列（行）集合； Col(A)Row(A:》为矩阵A的第i列（行）；记8是单位 w=Law(r)A4A()Λ…ΛμAe() 矩阵Ln的第i列；4n={8i=1,2,…,n;D={0,1,… 式中：μa()表示论域中第个元素对A的隶属度， k-1,k≥2。记逻辑变量：真~T-1,假~F-0,则人是取小运算

理论应用于工业控制中，实现了对锅炉和蒸汽机的模糊控制，使模糊控制从理论走向实际应用。 1985 年，日本学者 Takagi 等 [3]又提出了以线性精确数学表达式为模糊规则后件的 T-S模糊模型，将模糊控制系统与线性控制系统有效地结合起来。随后国内外学者基于 T-S 模糊模型，研究了非线性系统的大量控制问题，得到了丰富的模糊控制理论研究成果[4-9]。在 T-S 模糊模型的基础上，Feng 等 [5-6]提出了模糊动态模型 (fuzzy dynamical model)。其主要思想是，构造一组线性模型，分别描述系统的动态特性，通过局部线性模型的加权组合得到系统的全局非线性动态模型。文献[10]中提出了一种离散时间模糊控制系统，将非线性离散时间系统作为模糊控制系统的后件部分，分析了系统的动态性能。 1969 年，Kauffman[11]首先提出布尔网络模型，布尔网络是关于布尔状态变量的一种简单的逻辑动力系统，是当前学者专家们共同关心的热点问题。针对布尔网络研究缺少有效的数学工具问题，程代展教授在文献[12]中首次提出矩阵半张量积方法。这种方法将逻辑运算转换成代数运算，使得许多经典的处理量变过程的数学工具可直接用来分析逻辑动态系统。在文献[13]中，程代展教授将这种方法应用于布尔网络，将逻辑动态控制系统转化为普通离散时间系统，提出了一系列关于布尔网络的新理论。随后在文献[14-17] 中研究了布尔网络系统的能控能观性等性质，形成了布尔控制网络分析设计的完整理论框架。之后，学者们在控制理论方面对线性布尔网络系统做了大量的深入研究[18-23] ，但是没有针对非线性布尔网络系统进行分析和研究。为了解决非线性布尔网络的数学建模与分析问题，利用模糊动态模型的非线性特点，将模糊动态模型和布尔控制网络相结合，建立了模糊动态布尔网络系统的局部模型和全局模型，并且分别分析了系统局部模型和全局模型的能控性、能观性和稳定性。 1 预备知识 1.1 数学符号说明 Mm×n m×n ⊗ Col(A)(Row(A)) A Col(Ai)(Row(Ai)) A i δ i n In i ∆n = { δ i n |i = 1,2,··· ,n } Dk = {0,1,··· , k−1}, k ⩾ 2 ∼ T −1 ∼ F −0 为了叙述方便，文中用到的记号列表如下：表示所有矩阵的集合，表示矩阵的张量积；为矩阵的列 ( 行 ) 集合；为矩阵的第列 (行)；记是单位矩阵的第列；；。记逻辑变量：真，假，则 D = {0,1} f : Dn → D L ∈ Mn×r L Col(L) ⊂ ∆m,m×r Lm×r L ∈ Mn×r Col(L) ⊂ ∆n, L L = δn [ i1 i2 ··· ir ] B ∈ Mm×n (bi, j) ∈ D,m×n Bm×n ；称为逻辑函数； ,称为逻辑矩阵，如果维逻辑矩阵全体记为；设矩阵。其中，称为逻辑矩阵，可简记为；矩阵为布尔矩阵，如果 B 中维布尔矩阵全体记为。 1.2 模糊动态模型模糊动态模型是非线性复杂系统模糊建模中一种典型的模糊建模方法。模糊动态模型每条规则的后件部分是一种状态空间形式的局部线性系统，因此对于局部的线性模型可以采用线性系统的理论体系去研究，然后通过模糊推理得到全局意义下的模糊控制系统的分析和设计。 Σ ∈ f(y1 ×y2 ··· ×yn × x1 × x2 ··· × xm) {xi} Exi {yi} Eyj xi , yj Exi = {x i 1 , x i 2 ,··· , x i αi },i = 1,2,··· ,m ··· Eyj = {y j 1 , y j 2 ,··· , y j βj },j = 1,2,··· ,n, ··· 一个 m 个输入 n 个输出的非线性系统，其模糊 s 控制器可表示为，其中是模糊控制器的输入，论域为 , 是模糊控制器的输出，论域为。将模糊变量按照隶属度函数进行模糊化, ，分别对应于“负大”“负中” 是基于隶属度的模糊集合；分别对应于 “负大”“负中” 是基于隶属度的模糊集合。 N k Rk k = 1,2,··· ,N 假设总共有条模糊规则，则第条模糊规则为 , ，其模糊规则为 Rk : if x1 is A1k , x2 is A2k ,··· , xm is Amk Then    y1k = p 1 0k + p 1 1k x1 +···+ p 1 ik xi +··· p 1 mk xm . . . yjk = p j 0k + p j 1k x1 +···+ p j ik xi +··· p j mk xm . . . ynk = p n 0k + p n 1k x1 +···+ p n ik xi +··· p n mk xm (1) Aik yjk k j j = 1, 2,··· , n p j ik k j xi p j 0k 式中：是一个模糊集合；是第条模糊规则的第个输出，；是第条模糊规则结论中第个输出的线性多项式函数中变量项的系数，一般为常数项，特别的通常可以归一化为 1。 k Rk x1 = x ∗ 1 , x2 = x ∗ 2 , ··· , xm = x ∗ m , yjk 对于第条规则，如果已知输入则在结论部分的输出可以由线性多项式函数计算得到： y ∗ jk = p j 1k x ∗ 1 + p j 2k x ∗ 2 +···+ p j mk x ∗ m (2) 每条规则的激活度 µi为    µ1 = µA11 (x ∗ 1 )∧µA21 (x ∗ 2 )∧ ··· ∧µAm1 (x ∗ m ) . . . µk = µA1k (x ∗ 1 )∧µA2k (x ∗ 2 )∧ ··· ∧µAmk (x ∗ m ) . . . µN = µA1N (x ∗ 1 )∧µA2N (x ∗ 2 )∧ ··· ∧µAmN (x ∗ m ) (3) µAik (x ∗ i ) i Aik ∧ 式中：表示论域中第个元素对的隶属度，是取小运算。 ·708· 智能系统学报第 13 卷

第5期吕红丽，等：非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析 ·709· 模糊动态模型的输出y是由所有k条规则 2)布尔控制网络是指一个含有输入输出的布 (k=1,2,…,N)的输出y加权平均得到的。模型的尔网络，其动态方程为输出为 x(t+1)=f(x(t),(t),…,x(t0),4(t),…,wm(t) x2(t+1)=f2(x1(t),x(t),…,xn(t),41(t),…,um(t) y k=1 (9) Y,= (4) N xn(t+1)=f(1(),x2(0),…,xn(),u1(),…,4m(t》 = y(t)=h(x(0,x(),…,x(t) 一般取∑4=1，则式(4)全局模型输出简化式中：x,()eD,i=1,2,…,n为状态变量；u(0∈ k= 为Y,=Σ4y。 D,i=1,2,…,m为控制变量；y(0∈D,i=1,2,…,p为 k= 输出变量；f:D+m→D,i=1,2,…,;h:D→D,i= 1.3逻辑的矩阵表示矩阵的半张量积是中科院系统所程代展教授 1,2,…,p为逻辑函数。在文献[12]中提出的一种新的矩阵乘法，即设在向量表达式下令x=1x=:及y=y, 利用定理1可知： A∈Mnxn,B∈Mpxg: 定理2，利用向量表达式 1)如果n=p,则称A与B满足等维数关系； 2)果n=tp(记为A>,B),或者t=p(记AX'yER (5) 定义31)一个多输入多输出的非线性布尔网络系统可以表示成模糊动态布尔网络模型类似的， (fuzzy dynamic Boolean network model,FDBNM), Y-XT=>yX)ER (6) R:if a is F and…aisF…zn is F Then ()1.2..n (12) 为一列向量。 Y(t)=HiX(t) 普通矩阵乘法是半张量积的特殊形式，普通简记为矩阵乘法具有的性质，对于半张量积几乎都成 R:if z is F and…aisF…zn is F (13) 立，此外还具有一些特有的性质。 Then LM=[u(z).(L,Hg)],k=1,2....,n 定理11设fx,,…,x)为一个逻辑函数， 2)第k个FDBNM为 (14) 在向量形式下f:42→4则存在唯一的逻辑矩阵 FDBNMLM=H(),(L,He)] 式中：4(z)是模糊推理集合F的隶属函数；Ft= M,∈C22,称为f的结构矩阵，使得 fx1,2,…,xn)=MrPx (7) aF5A(因)=))A…入4∑A4( 式中x=。常用的逻辑算子及其结构矩阵分 (L,H)为局部模型的结构矩阵，(Lk,H)也称为别为 M=62[1222],Mv=62[1112], FDBNM的第k个子系统。 M=62[1211],M-=62[2112]. 这里，R,k=1,2,…,N为系统的第k条模糊规 1.4布尔（控制）网络则，也称为第k个模糊子系统，N为总的模糊规则定义211)布尔网络的动态方程为数；1,2，…zn为规则前件语言变量；F为模糊集， x1(t+1)=f(x1(t),x2(t),·,xn(t) 其隶属度函数设为三角形函数，记作； x2(t+1)=f(x1(0,2(),…,x(t) (Xt+1),Y()是系统的输出；U)是输出部分布尔 (8) 控制网络的控制变量；(L,H)为系统的结构矩阵。 x(t+1)=fn(x1(0),x(0,…,x() 对给定的输入信号1=，2=分，…，=0，利式中：：D+m→D,i=1,2,…,:为逻辑函数；x()∈ 用三角形隶属函数将其模糊化，对每条规则的激 D,i=1,2,…,n为状态变量。活度μ()采用max-min方法：

yj k k = 1, 2,··· , N y ∗ jk 模糊动态模型的输出是由所有条规则 ( ) 的输出加权平均得到的。模型的输出为 Yj = ∑N k=1 µk · y ∗ jk ∑N k=1 µk (4) ∑N k=1 µk = 1 Yj = ∑N k=1 µk · y ∗ jk 一般取，则式 (4) 全局模型输出简化为。 1.3 逻辑的矩阵表示 A ∈ Mm×n, B ∈ Mp×q 矩阵的半张量积是中科院系统所程代展教授在文献[12]中提出的一种新的矩阵乘法，即设： 1) 如果n = p,则称 A 与 B 满足等维数关系； n = tp A≻tB nt = p A≺tB A B 2) 果 (记为 )，或者 (记 )，则称与满足倍维数关系，否则称一般维数关系。矩阵乘积在倍维数关系下的一种推广如定义 1。 X n = pq Y p X = (X 1 , X 2 , ··· , X p ) X i ∈ R q ,i = 1,2,··· , p X Y X▷Y 定义 1 [ 1 3 ] 设为维行向量 , 为维列向量。将 X 等分成，这里。那么，和的半张量积记作 ,定义为一个行向量： X▷Y = ∑p i=1 X i yi ∈ R q (5) 类似的， Y T ▷ X T = ∑p i=1 yi(X i ) T ∈ R q (6) 为一列向量。普通矩阵乘法是半张量积的特殊形式，普通矩阵乘法具有的性质，对于半张量积几乎都成立，此外还具有一些特有的性质。 f(x1, x2,··· , xn) f : ∆2 n → ∆ Mf ∈ L2×2 n f 定理 1 [13] 设为一个逻辑函数，在向量形式下则存在唯一的逻辑矩阵，称为的结构矩阵，使得 f(x1, x2,··· , xn) = Mf ▷ x (7) x = ▷ n i=1 式中 xi。常用的逻辑算子及其结构矩阵分别为 M∧ = δ2[1 2 2 2], M∨ = δ2[1 1 1 2], M→ = δ2[1 2 1 1], M∨ = δ2[2 1 1 2]. 1.4 布尔 (控制) 网络定义 2 [13] 1) 布尔网络的动态方程为    x1(t+1) = f1(x1(t), x2(t),··· , xn(t)) x2(t+1) = f2(x1(t), x2(t),··· , xn(t)) . . . xn(t+1) = fn(x1(t), x2(t),··· , xn(t)) (8) fi : Dn+m → D,i = 1,2,··· ,n; xi(t) ∈ D, i = 1,2,··· ,n 式中：为逻辑函数；为状态变量。 2) 布尔控制网络是指一个含有输入输出的布尔网络，其动态方程为    x1(t+1) = f1(x1(t), x2(t),··· , xn(t),u1(t), ··· ,um(t)) x2(t+1) = f2(x1(t), x2(t),··· , xn(t),u1(t), ··· ,um(t)) . . . xn(t+1) = fn(x1(t), x2(t),··· , xn(t),u1(t), ··· ,um(t)) yj(t) = hj(x1(t), x2(t),··· , xn(t) (9) xi(t) ∈ D, i = 1,2,··· ,n ui(t) ∈ D,i = 1,2,··· ,m yi(t) ∈ D,i = 1,2,··· , p fi : Dn+m → D,i = 1,2,··· ,n; hi : Dn → D,i = 1,2,··· , p 式中：为状态变量；为控制变量；为输出变量；为逻辑函数。 x = ▷ n i=1 xi、u = ▷ m i=1ui y = ▷ p i=1 在向量表达式下令及 yi，利用定理 1 可知：定理 2 [13] 利用向量表达式 1) 布尔网络的动态方程式 (8) 可表示为 X(t+1) = LX(t), L ∈ L2 n×2 n (10) 2) 布尔控制网络的动态方程式 (9) 可表示为 { X(t+1) = LU(t)X(t) Y(t) = HX(t) (11) L ∈ L2 n×2 n ,H ∈ L2 p×2 式中： n ,L、H 称为结构矩阵。 2 非线性布尔网络系统的基本概念定义 3 1) 一个多输入多输出的非线性布尔网络系统可以表示成模糊动态布尔网络模型 (fuzzy dynamic Boolean network model，FDBNM)，即 R k : if z1 is F k 1 and ··· zi is F k i ··· zn is F k n Then { X(t+1) = LkU(t)X(t) Y(t) = HkX(t) , k = 1, 2,··· , n (12) 简记为 R k : if z1 is F k 1 and ··· zi is F k i ··· zn is F k n Then LMk = [ µk(z), (Lk , Hk)], k = 1, 2,··· , n (13) 2) 第 k 个 FDBNM 为 FDBNMLMk = [ µk(z),(Lk , Hk)] (14) µk (z) F k F k = ∏n i=1 F k i , µk (z) = µF k 1 (z 1 )∧µF k 2 (z 2 ) ∧ ··· ∧ µFk n (z m ), ∑N k=1 µk (z) (Lk , Hk) (Lk , Hk) k 式中：是模糊推理集合的隶属函数；；为局部模型的结构矩阵，也称为 FDBNM 的第个子系统。 Rk , k = 1,2,··· ,N k k z1,z2,···zn F k i µF k i (X(t+1),Y(t)) U(t) (Lk , Hk) 这里, 为系统的第条模糊规则，也称为第个模糊子系统，N 为总的模糊规则数；为规则前件语言变量；为模糊集，其隶属度函数设为三角形函数，记作；是系统的输出；是输出部分布尔控制网络的控制变量；为系统的结构矩阵。 z1 = z ∗ 1 , z2 = z ∗ 2 , ··· , zn = z ∗ n , µk(z) 对给定的输入信号利用三角形隶属函数将其模糊化，对每条规则的激活度采用 max-min 方法：第 5 期吕红丽，等：非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析 ·709·

·710· 智能系统学报第13卷 4山1（②）=4()N4()A…A4F(②) 3非线性布尔网络系统动态性能分析 k(3)=μr()Λ4(3)A…A4(亿) 系统局部模型的布尔控制网络系统(14)的结构矩阵可以等分为2m块)，即 L4=BIk(L)BIk(L)…Bk2(L】= uw(E)=()A4g()A…Aμ(E) (16) [Bk1,B2,…,B] 3)使用加权平均法解模糊，可得FDBNM的式中：Bk(L)是矩阵Lt的第个nXn的块；B:∈Cxa, 全局模型为 i=1,2,…,2m。令 X(t+1)=LU(0X(t) Y(t)=HX(t) (15) M BIk (L) (17) 简记为 GM=[μ(z),(L,H] 3.1能控性式巾：L=之eZH=克A0RLH为全局模首先引用布尔矩阵的布尔乘法及布尔幂的 L-1 k=1 定义。型的结构矩阵。u()=()V…V4(②)V…Vw(3)。 1)设a,B.a∈D,i=1,2,…,n,则布尔加法定定义41)对于模糊动态布尔网络控制系统义为的局部模型式(14)，G固定，如果存在控制变量 q+8B=aVB Uo,能使方程式(14)从初始状态X(U,0)=X到达终 (18) 端状态X(U,)=X,则称X从X经过1步是能控的。 Su-a.Va.V..Va. i=l 如果存在控制变量U,使式(14)能从任意初始状态 2)设A=(a）∈Bn,B=(b）∈Bnxp,则布尔乘 X到达X(T)=X,则称模糊动态布尔网络控制系法定义为统的局部模型是能控的。 AgB=C∈Bmxp (19) 2)对于模糊动态布尔网络控制系统的全局模式中：c= 2ab=1,2…m.j=1,2…,p 型式(15)，如果存在控制变量Uo,能使方程式 k=ls 3)设AA有定义，则布尔幂定义为 (15)从初始状态X(U,0)=X到达终端状态X(U,)= A(k)=AP8AD8...P8A (20) X,则称X从X经过1步是能控的。如果式(15)能从任意初始状态X到达X(T)=X,则称模糊动态对于模糊动态布尔网络控制系统的局部模型布尔网络控制系统的全局模型是能控的。式(14)，定义能控性矩阵为定义51)对于模糊动态布尔网络控制系统 C (21) 的局部模型式(14)，对任意给定的初始状态如果至 = 少存在一个布尔控制序列，使初始状态能由输出定理31)当且仅当矩阵Ck>0时，局部模型序列唯一地确定，则称局部模型是状态能观测的。式(14)是能控的。 2)对于模糊动态布尔网络控制系统的全局模 2)当且仅当矩阵C>0时，全局模型式(15)是型式(15)，对任意给定的初始状态如果至少存在能控的，即C=∑⊙C。一个布尔控制序列，使初始状态能由输出序列唯 =l 地确定，则称全部模型是状态能观测的。证明通过数学归纳法来证明。定义61)对于模糊动态布尔网络控制系统当j=1时，由式(17知，当M>0时，存在一个的局部模型式(14)，如果经过固定步数T。,存在一控制序列使状态X到X,显然局部模型式(14)是个不动点X,使得对于局部模型的任意的初始状能控的；假设当j=k时，Ck= >0.式0能态X0)=(x,,…,x),都有X0=Xe,t≥To,则称 =1 系统的局部模型是能稳定的。控，则当j=k+1时，Ck= M+=∑M+M, 2)对于模糊动态布尔网络控制系统的全局模 =0 k=1 因为丁M>0,M>0,可知C4>0,且存在控制序型式(15)，如果经过固定步数T,存在一个不动点 X,使得对于全局模型的任意的初始状态XO)= 列使局部模型式(14)能控。 (,,…,x),都有X0=X(e),t≥To,则称系统的全同理可证，当矩阵C>0时，全局模型式局模型是能稳定的。 (15)是能控的

   µ1 (z) = µF 1 1 (z ∗ 1 )∧µF 1 2 (z ∗ 2 )∧ ··· ∧µF1 n (z ∗ m ) . . . µk (z) = µF k 1 (z ∗ 1 )∧µF k 2 (z ∗ 2 )∧ ··· ∧µFk n (z ∗ m ) . . . µN (z) = µF N 1 (z ∗ 1 )∧µF N 2 (z ∗ 2 )∧ ··· ∧µFN n (z ∗ m ) 3) 使用加权平均法解模糊，可得 FDBNM 的全局模型为 { X(t+1) = LU(t)X(t) Y(t) = HX(t) (15) 简记为 GM = [ µ(z),(L, H)] L = ∑N k=1 µk(z)Lk , H = ∑N k=1 µk(z)Hk , L, H µ(z) = µ1(z)∨ ··· ∨µk(z)∨ ··· ∨µN(z) 式中：为全局模型的结构矩阵。。 G U0 X(U,0) = X0 X(U,t) = Xd Xd X0 t U X0 X(T) = Xd 定义 4 1) 对于模糊动态布尔网络控制系统的局部模型式 (14)，固定，如果存在控制变量，能使方程式 (14) 从初始状态到达终端状态 ,则称从经过步是能控的。如果存在控制变量 ,使式 (14) 能从任意初始状态到达，则称模糊动态布尔网络控制系统的局部模型是能控的。 U0 X(U,0) = X0 X(U,t) = Xd Xd X0 t X0 X(T) = Xd 2) 对于模糊动态布尔网络控制系统的全局模型式 (15)，如果存在控制变量，能使方程式 (15) 从初始状态到达终端状态 ,则称从经过步是能控的。如果式 (15) 能从任意初始状态到达，则称模糊动态布尔网络控制系统的全局模型是能控的。定义 5 1) 对于模糊动态布尔网络控制系统的局部模型式 (14)，对任意给定的初始状态如果至少存在一个布尔控制序列，使初始状态能由输出序列唯一地确定，则称局部模型是状态能观测的。 2) 对于模糊动态布尔网络控制系统的全局模型式 (15)，对任意给定的初始状态如果至少存在一个布尔控制序列，使初始状态能由输出序列唯一地确定，则称全部模型是状态能观测的。 T0 Xe X(0) = ( x 0 1 , x 0 2 ,··· , x 0 n ) X(t) = X(e),t ⩾ T0 定义 6 1) 对于模糊动态布尔网络控制系统的局部模型式 (14)，如果经过固定步数，存在一个不动点，使得对于局部模型的任意的初始状态，都有，则称系统的局部模型是能稳定的。 T0 Xe X(0) = ( x 0 1 , x 0 2 ,··· , x 0 n ) X(t) = X(e),t ⩾ T0 2) 对于模糊动态布尔网络控制系统的全局模型式 (15)，如果经过固定步数，存在一个不动点，使得对于全局模型的任意的初始状态，都有 , 则称系统的全局模型是能稳定的。 3 非线性布尔网络系统动态性能分析 2 m 系统局部模型的布尔控制网络系统 (14) 的结构矩阵可以等分为块 [13] ，即 Lk =[Blk1(Lk)Blk2(Lk)···Blk2 m (Lk)] = [Bk1 ,Bk2 ,··· ,Bk2 m ] (16) Blki(Lk) Lk i n×n Bi ∈ L2 n×2 n i = 1,2,··· ,2 m 式中：是矩阵的第个的块；，。令 Mk = 2∑m i=1 Blki(Lk) (17) 3.1 能控性首先引用布尔矩阵的布尔乘法及布尔幂的定义[13]。 1 ) 设 α, β,αi ∈ D,i = 1,2,··· ,n ，则布尔加法定义为    α+Bβ = α∨β ∑n i=1B αi = α1 ∨α2 ∨ ··· ∨αn (18) 2) 设 A = (ai j) ∈ Bm×n,B = (bi j) ∈ Bn×p ，则布尔乘法定义为 A▷B B = C ∈ Bm×p (19) ci j = ∑n k=1B aikbk j 式中： ,i = 1,2,··· ,m, j = 1,2,··· , p。 3) 设 A▷ A 有定义，则布尔幂定义为 A (k) = A▷B A▷B ··· ▷B A | {z } k (20) 对于模糊动态布尔网络控制系统的局部模型式 (14)，定义能控性矩阵为[13] Ck = 2∑(m+n) j=1 B 2∑m i=1 BBlii(L (j) k ) = 2∑(m+n) j=1 BM(j) k ∈ B2 m×2 n (21) 定理 3 1) 当且仅当矩阵 Ck > 0 时，局部模型式 (14) 是能控的。 C > 0 C = ∑N k=1 µk(z)Ck 2) 当且仅当矩阵时，全局模型式 (15) 是能控的，即。证明通过数学归纳法来证明。 j = 1 Mk > 0 X0 Xd j = k ′ Ck = 2∑m+n k ′=1 M (k ′ ) k > 0 j = k ′ +1 Ck = 2∑m+n k ′=0 M (k ′+!) k = 2∑m+n k ′=1 M (k ′ ) k +Mk 2∑m+n k ′=1 M (k ′ ) k > 0, Mk > 0, Ck > 0 当时，由式 (17) 知，当时，存在一个控制序列使状态到 ,显然局部模型式 (14) 是能控的；假设当时，，式 (14) 能控，则当时 , , 因为可知，且存在控制序列使局部模型式 (14) 能控。同理可证，当矩阵 C > 0 时，全局模型式 (15) 是能控的。 ·710· 智能系统学报第 13 卷

第5期吕红丽，等：非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析 ·711· 3.2能观性应的布尔网络的逻辑映射可简记为能观性所表示的是输出()反映状态变量 X(t+1)=F(X(t),U(t)) (29) x()的能力，与控制作用没有直接关系。 X()∈D,UdeD" 为了找到能观性矩阵，对于第k个局部模型，同理式(15)对应的布尔控制网络的逻辑映射定义一组矩阵集合1：2u∈Ca,i=0,1,2…其表可简记为 X(t+1)=F(X(),Ut) (30) 达式为式中X(0∈D,U)∈D"。 2o={H} 21={HB:li=1,2,…,2m} 定理511)设是式(14)的一个不动点，则 (22) X(k)VE≤I(F护×(XO)V),如果存在j>0,使得 2s={HBB…B2,li1,2,…,i,=1,2,…,2m} [I(F)D=0,则称局部模型是能稳定的。 2)设是式(15)的一个不动点，则X)≤ 式中2+)CU2,记s为使之成立的最小正整数。 I(Fy×(X(O)V),如果存在j>0,使得[I(F)=O,则称从2u中选取矩阵Ta: (To=He 全部模型是能稳定的。其中F=∑4oF。 Tk1=[HB1HB2…HB2J 23) 证明①必要性：如果系统的局部模型是 Tk =[HB B.HiB B2..HB2-B2-] 稳定的，即系统是收敛的，则T步后(T为极短的时令间段)，所有的状态收敛到，所以当j>T时成立。 Og=ToTk4…TJ (24) ②充分性：假设存在j>0,使[I(F)]=0成立，式中0称为系统局部模型式(14)的能观测矩阵。那么对于任意的X有FX=专，X0∈D。故对任定理41)设系统局部模型式(14)是能控意步数1≥j,F(X)=F(F(X)=,得证。的，那么局部模型式(14)是能观的，当且仅当同理可证全局模型时系统的稳定性。 Rank(0)=2" (25) 2)设系统全局模型式(14)是能控的，那么全 4实验仿真局模型式(17)是能观的，当且仅当 Rank(O)=2" 根据第3节介绍的模糊动态布尔网络控制系 (26) 式中0-=之统，本节选取多输人多输出模糊模型进行非线性模糊建模及其能控性、能观性分析。 k=1 证明对给定的状态X,可以观测HX,因 R':if z is F1 is F2 x1(t+1)=x2(t)Λ1(t) 为系统是能控的，所以使用不同的控制序列U,可 x2(t+1)=()V2() 以观测HLU,故HLU.LU…LUX是可观测的。 Thenx(t+1)=x(t) 因为s≥k,没有增加之前集合的线性独立的行 y1(t)=x1(t) y2(t)=2(t) 数，线性独立行数对初始状态的辨识是无用的， (31) R2:if z is F2,z is F 只有当0包含所有不同列，即Rank(O)=2时，初始 x1(t+1)=x3(t)A(t) 状态才能辨识，全局模型是能观测的。 x2(t+1)=2(t) 3.3稳定性 Thenxa(t+1)=x1(t)Vx2(t) 对于布尔系统式(8)和布尔控制系统式(9)记 y1(t)=x(t) y2(t=x2(t)V3(t) x=D为它们的状态空间。点X∈X可以表示为其代数表达式为 X=[x1,2,…,xJ「，逻辑映射F:X→K,逻辑映射形式为 R if z is F is F2 (t+1)=Lw(t)x() 21=fi(x1,x2,…,xm) Then()=Hx() (32) (27) R2:if z is F2,is F (x(t+1)=Lu(t)x(t) 乙n=fn(x1,X,…,xm）简记为Z=F(X),X,Z∈X。 Theny(()=Hx() 定义71】逻辑映射F的关联矩阵1F)= 则整个系统模糊状态方程可表示为式(15)，其中 L1=6s[11552266135724685555666657576868] (b)是一个n×n矩阵，定义为 L2=6s[31753175757575753175317586868686 ∫1，(t+1)依赖于x(0) b=0,其他 (28) H1=6[21214343,H2=64[11123334] L=41()L1+42(2)L2,H=41(2)H1+(z)H2 记X=[x,2,…,xJ,F=[f,f方…，fn]T,则式(14)对 41=μF,(31)八μF2(32),42=μF-(31)AμF=(a2)

3.2 能观性 y(t) x(t) 能观性所表示的是输出反映状态变量的能力，与控制作用没有直接关系。 Ωki ∈ L2 p×2 n , i = 0, 1, 2··· 为了找到能观性矩阵，对于第 k 个局部模型，定义一组矩阵集合[13] : 其表达式为    Ωk0 = {Hk} Ωk1 = {HkBi |i = 1,2,··· ,2 m } . . . Ωks = {HkBi1Bi2 ···Bis |i1,i2,··· ,is = 1,2,··· ,2 m } (22) Ωk(s+1) ⊂ ∪s i=1 Ωi s ∗ Ωki Γki 式中，记为使之成立的最小正整数。从中选取矩阵：    Γk0 = Hk Γk1 = [HkB1 HkB2 ··· HkB2 m ] T Γk2 = [HkB1 B1HkB1B2 ··· HkB2 m B2 m ] T (23) 令 Ok = [Γk0 Γk1 ··· Γks∗] T (24) 式中 Ok称为系统局部模型式 (14) 的能观测矩阵。定理 4 1) 设系统局部模型式 (14) 是能控的，那么局部模型式 (14) 是能观的，当且仅当 Rank(Ok) = 2 n (25) 2) 设系统全局模型式 (14) 是能控的，那么全局模型式 (17) 是能观的，当且仅当 Rank(O) = 2 n (26) O = ∑N k=1 式中 µk(z)Ok。 X0 HX0 Ui HLUi HLUi1LUi2 ··· LUisX0 s ⩾ k0 O Rank(O) = 2 n 证明[16] 对给定的状态，可以观测，因为系统是能控的，所以使用不同的控制序列，可以观测，故是可观测的。因为，没有增加之前集合的线性独立的行数，线性独立行数对初始状态的辨识是无用的，只有当包含所有不同列，即时，初始状态才能辨识，全局模型是能观测的。 3.3 稳定性 χ = Dn X ∈ χ X = [x1, x2,··· , xn] T F : χ → χ 对于布尔系统式 (8) 和布尔控制系统式 (9) 记为它们的状态空间。点可以表示为 ,逻辑映射，逻辑映射形式为[13]    z1 = f1(x1, x2,··· , xn) . . . zn = fn(x1, x2,··· , xn) (27) 简记为 Z = F(X),X,Z ∈ χ。 F I(F ) n×n 定义 7 [ 1 3 ] 逻辑映射的关联矩阵 = (bij) 是一个矩阵，定义为 bi j = { 1, xj(t+1)依赖于xi(t) 0, 其他 (28) X = [x1, x2,··· , xn] T ,F = [f1, f2 ··· , fn] 记 T ，则式 (14) 对应的布尔网络的逻辑映射可简记为 { X(t+1) = F(X(t),U(t)) X(t) ∈ Dn ,U(t) ∈ Dm (29) 同理式 (15) 对应的布尔控制网络的逻辑映射可简记为 X(t+1) = Fk(X(t),U(t)) (30) X(t) ∈ Dn 式中 ,U(t) ∈ Dm。 ξ X(k)∨¯ ξ ⩽ I(Fk) j ×(X(0)∨¯ ξ) j > 0 [I(Fk)](j) = 0 定理 5 [13] 1) 设是式 (14) 的一个不动点，则 , 如果存在 , 使得，则称局部模型是能稳定的。 ξ X(k)∨¯ ξ ⩽ I(F) j ×(X(0)∨¯ ξ) j > 0 [I(F)] F = ∑N k=1 µk(z)Fk 2) 设是式 (15) 的一个不动点，则 ,如果存在 ,使得 (j) =0，则称全部模型是能稳定的。其中。 T T ξ j > T 证明[14] ①必要性：如果系统的局部模型是稳定的，即系统是收敛的，则步后 ( 为极短的时间段)，所有的状态收敛到，所以当时成立。 j > 0 [I(Fk)](j) = 0 X F j k (X) = ξ X(t) ∈ Dn t ⩾ j,F t k (X) = F j k (F t−j k (X)) = ξ ②充分性：假设存在 ,使成立，那么对于任意的有，。故对任意步数，得证。同理可证全局模型时系统的稳定性。 4 实验仿真根据第 3 节介绍的模糊动态布尔网络控制系统，本节选取多输入多输出模糊模型进行非线性模糊建模及其能控性、能观性分析。 R 1 : if z1 is F1,z2 is F2 Then    x1(t+1) = x2(t)∧u1(t) x2(t+1) = x3(t)∨u2(t) x3(t+1) = x1(t) y1(t) = x1(t) y2(t) = ¬x2(t) R 2 : if z1 is F2,z2 is F1 Then    x1(t+1) = x3(t)∧u1(t) x2(t+1) = ¬u2(t) x3(t+1) = x1(t)∨ x2(t) y1(t) = x1(t) y2(t) = x2(t)∨ x3(t) (31) 其代数表达式为 R 1 : if z1 is F1,z2 is F2 Then{ x(t+1) = L1u(t)x(t) y(t) = H1 x(t) R 2 : if z1 is F2,z2 is F1 Then{ x(t+1) = L2u(t)x(t) y(t) = H2 x(t) (32) 则整个系统模糊状态方程可表示为式 (15)，其中 L1 = δ8[1 1 5 5 2 2 6 6 1 3 5 7 2 4 6 8 5 5 5 5 6 6 6 6 5 7 5 7 6 8 6 8] L2 = δ8[3 1 7 5 3 1 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 3 1 7 5 3 1 7 5 8 6 8 6 8 6 8 6] H1 = δ4[2 1 2 1 4 3 4 3], H2 = δ4[1 1 1 2 3 3 3 4] L = µ1(z)L1 +µ2(z)L2 , H = µ1(z)H1 +µ2(z)H2 , µ1 = µF11 (z1)∧µF21 (z2), µ2 = µF12 (z1)∧µF22 (z2)。第 5 期吕红丽，等：非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析 ·711·

·712· 智能系统学报第13卷由选取的模糊模型，规则1和规则2时的状 B13=6s[55556666],B14=6s[57576868] 态变量、输入变量和输出变量的初始状态可分别则设为 M,=艺Bk(L)=2BIk(L)= =1 =1 x1(0)=0,x2(0)=1,x3(0)=0 [110000001 41(0)=1,2(0)=0 00001100 y1(0)=0,y2(0)=0 01000000 4.1 能控性 00000100 11110000 由式(16)，将规则1时的结构矩阵等分为4块： 00001111 L [BIk(L)BIk2(L)BIk (L)BIka(L)]= 01010000 [B B2B3 B1l 00000101 B11=6g[11552266, B12=6g[135724681, 其能控性矩阵为 1.31152.12200.81051.31152.12203.43351.31152.1220 2.12203.43351.31152.12203.43355.55562.12203.4335 0.81051.31150.50090.81051.31152.12200.81051.3115 = M=10× 1.31152.12200.81051.31152.12203.43351.31152.1220 >0 2.12203.43351.31152.12203.43355.55562.12203.4335 3.43355.55562.12203.43355.55568.98913.43355.5556 1.31152.12200.81051.31152.12203.43351.31152.1220 2.12203.43351.31152.12203.43355.55562.12203.4335 故规则1时的局部模型是可控的。 M2= 由MATLAB仿真知，规则1时控制变量和状 0 000 00 态变量的关系如图l(a)所示。 0 0 0 0 00 8 0 0 0 同理，规则2时有： 0 0 0 0 B21=6s[31753175],B22=6[75757575], 010 0 00 0 00000101 B23=6g[31753175], B24=6[86868686 其能控性矩阵有 [1.29861.83650.91821.29861.29861.83650.91821.29861 0 0 0 0 0 0 0 0 1.83652.5972129861.83651.83652.59721.29861.8365 00 000000 =0 3.13514.43372.21683.13513.13514.43372.21683.1351 3.13514.43372.21683.13513.13514.43372.21683.1351 4.43376.27013.13514.43374.43376.27013.13514.4337 4.43376.27013.13514.43374.43376.27013.13514.4337 故规则2时的局部模型是不可控的。由图1可知，规则1时的局部模型是可控的， T12、T3分别为H1=6[21214343] 规则2时的局部模型是不可控的，与实验计算结 01010000 果是一致的。 10100000 4.2能观性 T1o=H1= 01000101 由2+CU2,知s=3,则式(25)中T1o、T1、 00001010 =1 0100010000010001 0100010000010001 [HBu] 000100010 0010001 H1B12 0100010000010001 T1= H,Bi 1000100000100010 H1B14 1000100000100010 0010001000100010 0010001000100010

由选取的模糊模型，规则 1 和规则 2 时的状态变量、输入变量和输出变量的初始状态可分别设为    x1(0) = 0, x2(0) = 1, x3(0) = 0 u1(0) = 1, u2(0) = 0 y1(0) = 0, y2(0) = 0 4.1 能控性由式 (16)，将规则 1 时的结构矩阵等分为 4 块： L1 = [Blk1(L1) Blk2(L1) Blk3(L1) Blk4(L1)] = [B11 B12 B13 B14] B11 = δ8[1 1 5 5 2 2 6 6], B12 = δ8[1 3 5 7 2 4 6 8], B13 = δ8[5 5 5 5 6 6 6 6], B14 = δ8[5 7 5 7 6 8 6 8] 则 M1 = 2 m∑ i=1 BBlki(L1) = ∑4 i=1 BBlki(L1) =   1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1   其能控性矩阵为 C1 = 2∑m+n j=1 B ∑m i=1 BB1i (j) = 2∑5 j=1 BM1 (j) = 1012 ×   1.311 5 2.122 0 0.810 5 1.311 5 2.122 0 3.433 5 1.311 5 2.122 0 2.122 0 3.433 5 1.311 5 2.122 0 3.433 5 5.555 6 2.122 0 3.433 5 0.810 5 1.311 5 0.500 9 0.810 5 1.311 5 2.122 0 0.810 5 1.311 5 1.311 5 2.122 0 0.810 5 1.311 5 2.122 0 3.433 5 1.311 5 2.122 0 2.122 0 3.433 5 1.311 5 2.122 0 3.433 5 5.555 6 2.122 0 3.433 5 3.433 5 5.555 6 2.122 0 3.433 5 5.555 6 8.989 1 3.433 5 5.555 6 1.311 5 2.122 0 0.810 5 1.311 5 2.122 0 3.433 5 1.311 5 2.122 0 2.122 0 3.433 5 1.311 5 2.122 0 3.433 5 5.555 6 2.122 0 3.433 5   > 0 故规则 1 时的局部模型是可控的。由 MATLAB 仿真知，规则 1 时控制变量和状态变量的关系如图 1(a) 所示。同理，规则 2 时有： B21 = δ8[3 1 7 5 3 1 7 5], B22 = δ8[7 5 7 5 7 5 7 5], B23 = δ8[3 1 7 5 3 1 7 5], B24 = δ8[8 6 8 6 8 6 8 6] M2 = 2∑m i=1 BBlki(L2) = ∑4 i=1 BBlki(L2) =   1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1   其能控性矩阵有 C2 = 2∑m+n j=1 B ∑m i=1 BB2i (j) = 2∑5 j=1 BM2 (j) = 1011 ×   1.298 6 1.836 5 0.918 2 1.298 6 1.298 6 1.836 5 0.918 2 1.298 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1.836 5 2.597 2 1.298 6 1.836 5 1.836 5 2.597 2 1.298 6 1.836 5 0 0 0 0 0 0 0 0 3.135 1 4.433 7 2.216 8 3.135 1 3.135 1 4.433 7 2.216 8 3.135 1 3.135 1 4.433 7 2.216 8 3.135 1 3.135 1 4.433 7 2.216 8 3.135 1 4.433 7 6.270 1 3.135 1 4.433 7 4.433 7 6.270 1 3.135 1 4.433 7 4.433 7 6.270 1 3.135 1 4.433 7 4.433 7 6.270 1 3.135 1 4.433 7   = 0 故规则 2 时的局部模型是不可控的。由图 1 可知，规则 1 时的局部模型是可控的，规则 2 时的局部模型是不可控的，与实验计算结果是一致的。 4.2 能观性 Ωk(s+1) ⊂ ∪s i=1 Ωi 由 ,知 s = 3 ，则式 (25) 中 Γ10、Γ11、 Γ12、Γ13分别为 H1 = δ4[2 1 2 1 4 3 4 3] Γ10 = H1 =   0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0   Γ11 =   H1B11 H1B12 H1B13 H1B14   =   0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0   ·712· 智能系统学报第 13 卷

第5期吕红丽，等：非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析 ·713 H,BnBn 0 100010010001000.0010 0100000110000010.0010 H,B12Bu 1 000100010001000 0010 1000001010000010.0010 T12= 0100010010001000 001 0 H1B13B11 01 00000110000010 00 1 1000100010001000. 0010 H1B14B14 1 000001010000010.. 0010 864 「2为64×8维的布尔矩阵，由于篇幅的限制，上式中只列出了一部分。 010001000100.10001000 HBuBuBn 010000100100 ·10001000 H1B11B11B12 010001000100…10001000 010000100100.10001000 = 0 10001000100.00100 010 H1B14B14B13 0 10000100100·0010001 H1B14B14B14 0 10001000100 001000 10 010000100100 .00100010 8×256 厂：为256×8维的布尔矩阵，由于篇幅的限制，上式中只列出了一部分。 010001000100.10001000 100001000100.10001000 T10 010000010001.10001000 100000010001·10001000 01= 000110001000. 0010001 0 001010001000.00100010 000100100010 00100010 001000100010· 00100010 8×340 0,为340×8维的布尔矩阵，由于篇幅的限 4(t-4(-x() (42(x1() 制，文中只列出了一部分。 10 0.5 可得，Rank(O)7<2=8。 05 由MATLAB仿真知，规则1时输出变量和状 05 态变量的关系如图2所示。由图2知，虽然规则 10 0 0.5 1.0 0.5 1.0 1时的局部模型是能控的，但是是不能观测的：规 0.5 0.5 0 4(0 0 4(0 则2时的局部模型是不可控的，故也是不能观测 1(42(x2(t) 41(43(-x2() 的，与实验计算结果是一致的。 4.3稳定性 1.0 规则1时，式(33)对应的布尔网络的逻辑映 0.5 射为Xt+1)=F(X(),X∈D3。 18 0. 1.0 0.5 关联矩阵为 () 0.5 0.5 1.0 0 4( 出(0 [010 I(F)= 1(42(x3() 0.0.1 4(小4(-x( 100 1.0 [I(F)]=I(F)≠0，即[(F)≠0，则规则 05 1下的局部模型是不稳定的。 0 规则2时，式(31)对应的布尔网络的逻辑映 1.0 1.0 。 1.0 1.0 射为Xt+1)=F,(Xt),X∈D。 0.5 4(0 。 0.5 41(0 关联矩阵为 (a)局部模型1时控制变量和 (b)局部模型2时控制变量和状态变量的关系状态变量的关系 00 1 I(F2)= 0.0 0 图1控制变量和状态变量的关系 110 Fig.1 Schematic diagram of relationship between the con- [I(F2)=0,则规则2下的局部模型是稳定的。 trol variables and state variables

Γ12 =   H1B11B11 . . . H1B12B11 . . . H1B13B11 . . . H1B14B14   =   0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ··· 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 ··· 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ··· 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ··· 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ··· 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 ··· 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ··· 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ··· 0 0 1 0   T 8×64 Γ12 为 64×8 维的布尔矩阵，由于篇幅的限制，上式中只列出了一部分。 Γ13 =   H1B11B11B11 H1B11B11B12 . . . H1B14B14B13 H1B14B14B14   =   0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ··· 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ··· 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ··· 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ··· 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ··· 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ··· 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ··· 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ··· 0 0 1 0 0 0 1 0   T 8×256 Γ13 为 256×8 维的布尔矩阵，由于篇幅的限制，上式中只列出了一部分。 O1 =   Γ10 Γ11 Γ12 Γ13   =   0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ··· 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ··· 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ··· 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ··· 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 ··· 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ··· 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 ··· 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ··· 0 0 1 0 0 0 1 0   T 8×340 O1 为 340×8 维的布尔矩阵，由于篇幅的限制，文中只列出了一部分。可得，Rank (O1 )-7<23 =8。由 MATLAB 仿真知，规则 1 时输出变量和状态变量的关系如图 2 所示。由图 2 知，虽然规则 1 时的局部模型是能控的，但是是不能观测的；规则 2 时的局部模型是不可控的，故也是不能观测的，与实验计算结果是一致的。 4.3 稳定性 X(t+1) = F1(X(t)),X ∈ D3 规则 1 时，式 (33) 对应的布尔网络的逻辑映射为。关联矩阵为 I(F1) =   0 1 0 0 0 1 1 0 0   [I(F1)](5) = I(F1) , 0 [I(F1)](k) ，即 , 0 , 则规则 1 下的局部模型是不稳定的。 X(t+1) = F2(X(t)),X ∈ D3 规则 2 时，式 (31) 对应的布尔网络的逻辑映射为。关联矩阵为 I(F2) =   0 0 1 0 0 0 1 1 0   [I(F2)](3) = 0 ，则规则 2 下的局部模型是稳定的。 (a) 局部模型 1 时控制变量和状态变量的关系 (b) 局部模型 2 时控制变量和状态变量的关系 0.5 1.0 0 0.5 1.0 0 0.5 1.0 u1 (t) u2 (t) x1 (t) 0.5 1.0 0 0.5 1.0 0 0.5 1 u1 (t) u2 (t) x2 (t) 0.5 1.0 0 0.5 1.0 −1 0 1 u1 (t) u2 (t) x3 (t) 0.5 1.0 0 0.5 1.0 −0.5 0 0.5 u1 (t) u2 (t) x1 (t) 0.5 1.0 0 0.5 1.0 0 0.5 1.0 u1 (t) u2 (t) x3 (t) 0.5 1.0 0 0.5 1.00 0.5 1.0 u1 (t) u2 (t) x2 (t) u1 (t)−u2 (t)−x1 (t) u1 (t)−u2 (t)−x1 (t) u1 (t)−u2 (t)−x2 (t) u1 (t)−u2 (t)−x2 (t) u1 (t)−u2 (t)−x3 (t) u1 (t)−u2 (t)−x3 (t) 图 1 控制变量和状态变量的关系 Fig. 1 Schematic diagram of relationship between the control variables and state variables 第 5 期吕红丽，等：非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析 ·713·

·714· 智能系统学报第13卷 x1(-x2(-%( x(x2()-y(t) 116-132 1.0 1.0 [4]ABONYI J,NAGY L,SZEIFERT F.Fuzzy model-based 05 s 05 predictive control by instantaneous linearization[J].Fuzzy sets and systems.2001,120(1):109-122. 8 [5]FENG G.A survey on analysis and design of model-based 10 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0 x1(0 0 x1(0 fuzzy control systems[J].IEEE transactions on fuzzy sys- tems.2006.14(5:676-697. x1()xy1) x1)-x3(-y1(0 [6]CAO S G,REES N W,FENG G.Analysis and design for a 1.0 class of complex control systems part I:fuzzy modelling 0.5 05 and identification[J].Automatica,1997,33(6):1017-1028. [7]CAOS G,REES N W,FENG G.Analysis and design for a 10 .0 05 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 class of complex control systems part II:fuzzy controller x1(0 30 1(0 design[J].Automatica,1997,33(6):1029-1039. x2()-x3(t-y1() x2(-x,()-y1() [8]SILVA L F P,LEITE V JS,CASTELAN E B,et al.Sta- bilization of time-delay nonlinear discrete-time systems 1.0 1.0 with saturating actuators through T-S models[J].IFAC pro- 05 05 ceedings volumes,.2014,473):11000-11005. [9]ZHANG Changzhu,FENG Gang,Qiu Jianbin,et al.T-S 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 fuzzy-model-based piecewise A,output feedback control- () 0 3(0 ler design for networked nonlinear systems with medium (a( (b)() access constraint[J].Fuzzy sets and systems,2014,248: 图2输出变量和状态变量的关系 86-105 Fig.2 Schematic diagram of relationship between the out [10]CAO Shuguang,REES N W,FENG Gang.Analysis and put variables and state variables under rule 1 design of fuzzy control systems using dynamic fuzzy-state 综上分析，整个系统模糊状态方程可表示为 space models[J].IEEE transactions on fuzzy systems, 式(15)，其中，取山1=1，=0，则L=L1,H=H1,F= 1999,72:192-200. F1,C=C1>0,Rank(O)=Rank(O1)=7<23=8,因此 [11]KAUFFMAN S A.Metabolic stability and epigenesis in 系统的全局模型是能控不能观且不稳定的。 randomly constructed genetic nets[].Journal of theoretic- al biology,1969,22(3):437-467. 5结束语 [12]Cheng DZ,Qi HS,Semi-tensor Product of Matrices The- ory and Application[M].Beijing:Science Press,2007. 通过具体实例仿真分析可知，对于布尔网络 [13]程代展，齐洪胜，赵寅.布尔网络的分析与控制一矩系统，可以实现非线性模糊建模和动态性能分阵半张量积方法U.自动化学报，2011,37(5)：529-540. 析。利用模糊动态模型的非线性特点，将模糊 CHENG Daizhan,QI Hongsheng,ZHAO Yan.Analysis 动态模型和布尔控制网络相结合，分别建立了 and control of boolean networks:a semi-tensor product 模糊动态布尔网络控制系统的局部模型和全局 approach[J].Acta automatica sinica,2011,37(5): 529-540. 模型，并且对其能控性、能观性和稳定性进行了分析。 [14]CHENG Daizhan,QI Hongsheng,LI Zhiqiang,et al.Sta- bility and stabilization of Boolean networks[J].Interna- 参考文献： tional journal of robust and nonlinear control,2011, 21(2)134156 [1]ZADEH LA.Fuzzy sets[J].Information and control,1965, [15]CHENG Daizhan,LI Zhiqiang,QI Hongsheng.Realiza- 8(3):338-353 tion of boolean control networks[J].Automatica,2010. [2]MAMDANI E H.Application of fuzzy algorithms for con- 46(162-69. trol of simple dynamic plant[J].Proceedings of the institu- [16]CHENG Daizhan,QI Hongsheng.Controllability and ob- tion of electrical engineers,1974,121(12):1585-1588. servability of boolean control networks[J].Automatica. [3]TAKAGI T,SUGENO M.Fuzzy identification of systems 2009,45(7):1659-1667. and its applications to modeling and control[J].IEEE trans- [17]CHENG Daizhan.Disturbance decoupling of boolean actions on systems man and cybernetics,1985,15(1): control networks[J].IEEE transactions on automatic con-

µ1 = 1, µ2 = 0, L = L1, H = H1,F = F1, C = C1 > 0,Rank(O) = Rank(O1) = 7 < 2 3 = 8 综上分析，整个系统模糊状态方程可表示为式 (15)，其中，取则 , 因此系统的全局模型是能控不能观且不稳定的。 5 结束语通过具体实例仿真分析可知，对于布尔网络系统，可以实现非线性模糊建模和动态性能分析。利用模糊动态模型的非线性特点，将模糊动态模型和布尔控制网络相结合，分别建立了模糊动态布尔网络控制系统的局部模型和全局模型，并且对其能控性、能观性和稳定性进行了分析。参考文献： ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Information and control, 1965, 8(3): 338–353. [1] MAMDANI E H. Application of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant[J]. Proceedings of the institution of electrical engineers, 1974, 121(12): 1585–1588. [2] TAKAGI T, SUGENO M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control[J]. IEEE transactions on systems man and cybernetics, 1985, 15(1): [3] 116–132. ABONYI J, NAGY L, SZEIFERT F. Fuzzy model-based predictive control by instantaneous linearization[J]. Fuzzy sets and systems, 2001, 120(1): 109–122. [4] FENG G. A survey on analysis and design of model-based fuzzy control systems[J]. IEEE transactions on fuzzy systems, 2006, 14(5): 676–697. [5] CAO S G, REES N W, FENG G. Analysis and design for a class of complex control systems part I: fuzzy modelling and identification[J]. Automatica, 1997, 33(6): 1017–1028. [6] CAO S G, REES N W, FENG G. Analysis and design for a class of complex control systems part II: fuzzy controller design[J]. Automatica, 1997, 33(6): 1029–1039. [7] SILVA L F P, LEITE V J S, CASTELAN E B, et al. Stabilization of time-delay nonlinear discrete-time systems with saturating actuators through T-S models[J]. IFAC proceedings volumes, 2014, 47(3): 11000–11005. [8] ZHANG Changzhu, FENG Gang, Qiu Jianbin, et al. T-S fuzzy-model-based piecewise H∞ output feedback controller design for networked nonlinear systems with medium access constraint[J]. Fuzzy sets and systems, 2014, 248: 86–105. [9] CAO Shuguang, REES N W, FENG Gang. Analysis and design of fuzzy control systems using dynamic fuzzy-state space models[J]. IEEE transactions on fuzzy systems, 1999, 7(2): 192–200. [10] KAUFFMAN S A. Metabolic stability and epigenesis in randomly constructed genetic nets[J]. Journal of theoretical biology, 1969, 22(3): 437–467. [11] Cheng D Z, Qi H S, Semi-tensor Product of Matrices Theory and Application[M]. Beijing: Science Press, 2007. [12] 程代展, 齐洪胜, 赵寅. 布尔网络的分析与控制——矩阵半张量积方法[J]. 自动化学报, 2011, 37(5): 529–540. CHENG Daizhan, QI Hongsheng, ZHAO Yan. Analysis and control of boolean networks: a semi-tensor product approach[J]. Acta automatica sinica, 2011, 37(5): 529–540. [13] CHENG Daizhan, QI Hongsheng, LI Zhiqiang, et al. Stability and stabilization of Boolean networks[J]. International journal of robust and nonlinear control, 2011, 21(2): 134–156. [14] CHENG Daizhan, LI Zhiqiang, QI Hongsheng. Realization of boolean control networks[J]. Automatica, 2010, 46(1): 62–69. [15] CHENG Daizhan, QI Hongsheng. Controllability and observability of boolean control networks[J]. Automatica, 2009, 45(7): 1659–1667. [16] CHENG Daizhan. Disturbance decoupling of boolean control networks[J]. IEEE transactions on automatic con- [17] 0.5 1.0 0 0.5 1.0 0 0.5 1.0 x1 (t) x2 (t) y1 (t) 0.5 1.0 0 0.5 1.0 0 0.5 1.0 x1 (t) x3 (t) y1 (t) 0.5 1.0 0 0.5 1.0 0 0.5 1.0 x1 (t) x2 (t) y2 (t) 0.5 1.0 0 0.5 1.0 0 0.5 1.0 x1 (t) x3 (t) y2 (t) (a) y1 (t) (b) y2 (t) 0.5 1.0 0 0.5 1.0 0 0.5 1.0 x2 (t) x3 (t) y1 (t) 0.5 1.0 0 0.5 1.00 0.5 1.0 x2 (t) x3 (t) y2 (t) x1 (t)−x2 (t)−y1 (t) x1 (t)−x2 (t)−y1 (t) x1 (t)−x3 (t)−y1 (t) x1 (t)−x3 (t)−y1 (t) x2 (t)−x3 (t)−y1 (t) x2 (t)−x3 (t)−y1 (t) 图 2 输出变量和状态变量的关系 Fig. 2 Schematic diagram of relationship between the output variables and state variables under rule 1 ·714· 智能系统学报第 13 卷

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