第12卷第5期 智能系统学报 Vol.12 No.5 2017年10月 CAAI Transactions on Intelligent Systems 0ct.2017 D0I:10.11992/is.201706013 网络出版地址：http:/kns.cmki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20171021.1351.016.html 膜系统下的一种多目标优化算法 屠传运，陈韬伟，余益民，赵昆 (云南财经大学信息学院，云南昆明650221) 摘要：提出一种基于膜优化理论的多目标优化算法，该算法受膜计算的启发，结合膜结构、多重集和反应规则来求 解多目标优化问题。为了增强算法的适应能力，采用了遗传算法中的交叉与变异机制，同时在膜中引人外部档案 集，并采用非支配排序和拥挤距离方法对外部档案集进行更新操作来提高搜索解的多样性。仿真实验采用标准的 KUR和ZDT系列多目标问题对所提出的算法进行测试，通过该算法得出的非支配解集能够较好地通近真实的 Pareto前沿，说明所提算法在求解多目标优化问题上具有可行性和有效性。 关键词：膜计算：多目标优化：遗传算法：外部档案集：非支配排序：拥挤距离：非支配解集：Pareto前沿 中图分类号：TP301文献标志码：A文章编号：1673-4785(2017)05-0678-06 中文引用格式：居传运，陈韬伟，余益民，等.膜系统下的一种多目标优化算法[J].智能系统学报，2017,12(5)：678-683. 英文引用格式：TU Chuanyun,CHEN Taowei,YU Yimin,etal.MuIti-.objective optimization algorithm based on membrane system [J].CAAI transactions on intelligent systems,2017,12(5)678-683. Multi-objective optimization algorithm based on membrane system TU Chuanyun,CHEN Taowei,YU Yimin,ZHAO Kun College of Information,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming 650221,China Abstract:In this paper,we propose a multi-objective optimization algorithm based on the theory of membrane optimization.Inspired by membrane computing,this algorithm combines membrane structure,multiple sets,and reaction rules to solve multi-objective optimization problems.We employ the crossover and mutation mechanism in this genetic algorithm to enhance its adaptability.We also introduce an external archive set into the membrane and design a non-dominated sorting and crowding distance method to improve the diversity of the global search solution and thereby update the introduced archive.We used multi-objective problems including KUR and ZDT to evaluate the performance of our proposed algorithm.Our results show that the non-dominated solution set derived from the proposed algorithm can better approach the real Pareto front,which confirms that the proposed algorithm is feasible and effective in solving multi-objective optimization problems. Keywords:membrane computing;multi-objective optimization;genetic algorithm;external archive set;non- dominated sorting;crowding distance;non-dominated solution set;Pareto front 在实际生活以及各种工业领域中都会遇到各 得了显著的成果，并将其应用在了科学研究和工程 种多个目标彼此冲突，且在一定条件约束下，但又 方面。第1代的多目标优化算法是以Fonseca等 要求得优化结果的问题，这一类问题被称为多目标 于1993年提出的多目标遗传算法MOGA(muli- 优化问题。为了解决这个问题，近年来一些国内外 objective genetic algorithm)、Srinivas等[)提出的非 学者提出了许多基于智能进化计算的求解算法，取 支配排序遗传算法NSGA(non-dominated sorting genetic algorithm)、Hom等[)提出的小生境Pareto 收稿日期：2017-06-06.网络出版日期：2017-10-21. 多目标标优化遗传算法NPGA(niched pareto 基金项目：国家自然科学基金项目(61461051,71462036)：云南省教育 厅一般项目(2015Y278). genetic algorithm)为主。第2代多目标优化算法主 通信作者：陈韬伟.E-mail:cctw33@126.com 要以精英保留机制为特征，在20世纪末和21世纪
第 １２ 卷第 ５ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１２ №．５ ２０１７ 年 １０ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｏｃｔ． ２０１７ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１７０６０１３ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ＴＰ．２０１７１０２１．１３５１．０１６．ｈｔｍｌ 膜系统下的一种多目标优化算法 屠传运，陈韬伟，余益民，赵昆 （云南财经大学 信息学院， 云南 昆明 ６５０２２１） 摘 要：提出一种基于膜优化理论的多目标优化算法，该算法受膜计算的启发，结合膜结构、多重集和反应规则来求 解多目标优化问题。 为了增强算法的适应能力，采用了遗传算法中的交叉与变异机制，同时在膜中引入外部档案 集，并采用非支配排序和拥挤距离方法对外部档案集进行更新操作来提高搜索解的多样性。 仿真实验采用标准的 ＫＵＲ 和 ＺＤＴ 系列多目标问题对所提出的算法进行测试，通过该算法得出的非支配解集能够较好地逼近真实的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿，说明所提算法在求解多目标优化问题上具有可行性和有效性。 关键词：膜计算；多目标优化；遗传算法；外部档案集；非支配排序；拥挤距离；非支配解集；Ｐａｒｅｔｏ 前沿 中图分类号：ＴＰ３０１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４７８５（２０１７）０５－０６７８－０６ 中文引用格式：屠传运，陈韬伟，余益民，等．膜系统下的一种多目标优化算法［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１７， １２（５）： ６７８－６８３． 英文引用格式：ＴＵ Ｃｈｕａｎｙｕｎ， ＣＨＥＮ Ｔａｏｗｅｉ， ＹＵ Ｙｉｍｉｎ，ｅｔ ａｌ． Ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｓｙｓｔｅｍ ［Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１７， １２（５）： ６７８－６８３． Ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｓｙｓｔｅｍ ＴＵ Ｃｈｕａｎｙｕｎ， ＣＨＥＮ Ｔａｏｗｅｉ， ＹＵ Ｙｉｍｉｎ， ＺＨＡＯ Ｋｕｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ， Ｙｕｎｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ， Ｋｕｎｍｉｎｇ ６５０２２１， Ｃｈｉｎａ ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅ ａ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． Ｉｎｓｐｉｒｅｄ ｂｙ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃｏｍｂｉｎｅｓ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ， ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｓｅｔｓ， ａｎｄ ｒｅａｃｔｉｏｎ ｒｕｌｅｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｗｅ ｅｍｐｌｏｙ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ ａｎｄ ｍｕｔａｔｉｏｎ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｉｎ ｔｈｉｓ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｔｏ ｅｎｈａｎｃｅ ｉｔｓ ａｄａｐｔａｂｉｌｉｔｙ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ａｒｃｈｉｖｅ ｓｅｔ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｍｅｍｂｒａｎｅ ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎ ａ ｎｏｎ⁃ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｓｏｒｔｉｎｇ ａｎｄ ｃｒｏｗｄｉｎｇ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｓｅａｒｃｈ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅｒｅｂｙ ｕｐｄａｔｅ ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａｒｃｈｉｖｅ． Ｗｅ ｕｓｅｄ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ＫＵＲ ａｎｄ ＺＤＴ ｔｏ ｅｖａｌｕａｔｅ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｏｕｒ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｏｎ⁃ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｂｅｔｔｅｒ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｈｅ ｒｅａｌ Ｐａｒｅｔｏ ｆｒｏｎｔ， ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｆｉｒｍｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｆｅａｓｉｂｌｅ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｉｎ ｓｏｌｖｉｎｇ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｍｅｍｂｒａｎｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ； ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ； ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ； ｅｘｔｅｒｎａｌ ａｒｃｈｉｖｅ ｓｅｔ； ｎｏｎ⁃ ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｓｏｒｔｉｎｇ； ｃｒｏｗｄｉｎｇ ｄｉｓｔａｎｃｅ； ｎｏｎ⁃ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ； Ｐａｒｅｔｏ ｆｒｏｎｔ 收稿日期：２０１７－０６－０６． 网络出版日期：２０１７－１０－２１． 基金项目：国家自然科学基金项目（ ６１４６１０５１，７１４６２０３６）；云南省教育 厅一般项目（２０１５Ｙ２７８）． 通信作者：陈韬伟．Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｃｃｔｗ３３＠ １２６．ｃｏｍ． 在实际生活以及各种工业领域中都会遇到各 种多个目标彼此冲突，且在一定条件约束下，但又 要求得优化结果的问题，这一类问题被称为多目标 优化问题。 为了解决这个问题，近年来一些国内外 学者提出了许多基于智能进化计算的求解算法，取 得了显著的成果，并将其应用在了科学研究和工程 方面。 第 １ 代的多目标优化算法是以 Ｆｏｎｓｅｃａ 等［１］ 于 １９９３ 年提出的多目标遗传算法 ＭＯＧＡ （ ｍｕｌｔｉ⁃ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ）、Ｓｒｉｎｉｖａｓ 等［２］ 提出的非 支配 排 序 遗 传 算 法 ＮＳＧＡ （ ｎｏｎ⁃ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｓｏｒｔｉｎｇ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）、Ｈｏｒｎ 等［３］ 提出的小生境 Ｐａｒｅｔｏ 多目 标 标 优 化 遗 传 算 法 ＮＰＧＡ （ ｎｉｃｈｅｄ ｐａｒｅｔｏ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）为主。 第 ２ 代多目标优化算法主 要以精英保留机制为特征，在 ２０ 世纪末和 ２１ 世纪
第5期 屠传运，等：膜系统下的一种多目标优化算法 679. 初相继被提出：Zitzler等4)于1999年提出加强 定义1（可行解）对于任意一个x∈Rm,且满 Pareto进化算法(strength pareto evolutionary 足式(1)中所给出的约束条件，则称x为可行解。 algorithm,SPEA),3年之后，他们提出了SPEA改进 定义2(Pareto占优)对所有满足定义1的可 版本SPEA2:Erichson等)于2001年提出了NPGA 行解组成的集合称为可行解集合，用X表示，则X二 的改进版本NPGA2:经典且效率极高的NSGA-Ⅱ算 R”:假设有两个可行解x。,x∈X,若x。与x。相比 法于2002年由Deb等6]通过对NSGA进行改进而 较，x。是Pareto占优的，则条件当且仅当满足： 提出。 (Hi=1,2,…,m,f(xa)≤f(x6)N (2) 膜计算(membrane computing)是自然计算的新 3j=1,2,…,m,f(xa)<fx) 分支，旨在从生命细胞的结构与功能以及组织和器 记作x。<x6,也称为x.支配x6。若x。和x。之间 官等细胞群的协作中抽象出计算模型]。膜计算 不存在相互支配关系，则称它们之间非支配。 又被称为膜系统或P系统，膜计算由欧洲科学院院 定义3(Pareto最优解X·)如果存在一个X 士Paun于1998年提出，由于其具有分布式和并行 满足3x∈R",x<x,则X·为Pareto最优解，也叫 计算的能力，目前在将膜计算理论应用于多目标优 作非支配解；Pareto最优解集定义为所有Pareto最 化问题上获得了一些研究成果。Zaharie等[劉于 优解组成的集合，记作P。 2009年通过对比分布式演化算法和膜算法的异同， 定义4(Pareto前沿)最优解集P在目标函数 受膜算法的启发提出了运用于求解连续优化问题 空间上的映射，记作P℉，表示为 的分布式演化算法：Li山等[)提出将遗传算法引入 P℉={F(x)=minf(x),f(x),,f(x)}x∈P 到膜算法，利用遗传算法的交叉与变异机制，该算 (3) 法求解ZDT系列优化问题表现出了较好的求解能 1.2膜计算理论 力：Zhang等o提出了将差分演化与P系统相结合 目前，对膜的研究主要包括细胞型、组织型和 的算法，并将其运用于多目标优化问题上。 神经型3种模型[]。本文所提出的算法是建立在 受到膜计算理论启发，本文提出了一种结合膜 细胞型膜系统上，下面介绍细胞型膜系统理论的主 系统理论的多目标优化算法，即基于P系统的遗传 要内容： 算法(P-genetic algorithm,P-GA)。本文采用的膜系 Π={V,T,,101,02,…,0。,R) (4) 统只具有表层膜和基本膜，将一定数量的种群放入 根据式(4)的多元组，其中：V是字母表，V中的 表层膜中，然后经过非支配排序后分配到基本膜 元素称为字符对象；TCV,T为输出的字母表；u是 中。并在基本膜中运用遗传机制来求解多目标优 化问题的非支配解集，在表层膜中引入NSGA-Ⅱ算 包含m个膜的膜结构，其中m表示的度；w:∈ 法，以此来维持非支配解集的多样性，采用KUR和 V',且i=1,2,…,m,表示膜结构μ中第i个膜所包 DT系列多目标测试函数来进行仿真实验，得出的 含的字符多重集，V~表示由V中的字符对象组成的 非支配解集能够较好地逼近真实的Pareto前沿。本 任意多重集：R是进化规则的有限集合，进化规则是 文参考了文献[11]的设计思路，不同点在于，基本 二元组：R(i=1,2,…,m)对应的是膜结构μ中的区 膜中利用通信规则并将交叉与变异的操作进行了 域i的进化规则集合。 改变。 细胞型膜结构如图1所示，最外层把细胞膜结 构与外界环境隔开的膜称为表层膜：每一个膜都确 1多目标优化问题和膜计算理论 定一个区域，区域中包含了反应规则和多重集：对 1.1多目标优化问题的数学描述 任意一个膜，若该膜区域内不包含其他的膜，即膜 多目标优化问题有很多种表示方式，用数学方 中无膜，则称为基本膜。 表层膜 基本膜 式描述比较直观，便于理解。不失一般性的描述为 (F(x)=min(f(x)f(x),.f (x) s.tg(x)=0,i=1,2,…,9 (1) 区域 h,(x)≥0，j=1,2,…,p 式(1)中有n个决策变量，x={x1,x2,xn}∈ R",R"为n维决策空间；F(x)∈Rm,Rm为m维的目 标空间：目标函数F(x)定义了m个由决策空间向 目标空间映射的关系；g:(x)=0,i=(1,2,…,9)描 基本膜 基本膜 基本膜 述了q个等式约束条件；h,(x)≥0j=(1,2,…,p) 定义了p个不等式约束条件。在以上的描述基础 图1膜系统与其简化结构 上，给出以下几个定义。 Fig.1 Membrane system with its simplified structure
初相 继 被 提 出： Ｚｉｔｚｌｅｒ 等［４］ 于 １９９９ 年 提 出 加 强 Ｐａｒｅｔｏ 进 化 算 法 （ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｐａｒｅｔｏ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＳＰＥＡ ），３ 年之后，他们提出了 ＳＰＥＡ 改进 版本 ＳＰＥＡ２；Ｅｒｉｃｈｓｏｎ 等［５］ 于 ２００１ 年提出了 ＮＰＧＡ 的改进版本 ＮＰＧＡ２； 经典且效率极高的 ＮＳＧＡ⁃ＩＩ 算 法于 ２００２ 年由 Ｄｅｂ 等［６］通过对 ＮＳＧＡ 进行改进而 提出。 膜计算（ｍｅｍｂｒａｎｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ）是自然计算的新 分支，旨在从生命细胞的结构与功能以及组织和器 官等细胞群的协作中抽象出计算模型［７］ 。 膜计算 又被称为膜系统或 Ｐ 系统，膜计算由欧洲科学院院 士 Ｐａｕｎ 于 １９９８ 年提出，由于其具有分布式和并行 计算的能力，目前在将膜计算理论应用于多目标优 化问题上获得了一些研究成果。 Ｚａｈａｒｉｅ 等［８］ 于 ２００９ 年通过对比分布式演化算法和膜算法的异同， 受膜算法的启发提出了运用于求解连续优化问题 的分布式演化算法；Ｌｉｕ 等［９］ 提出将遗传算法引入 到膜算法，利用遗传算法的交叉与变异机制，该算 法求解 ＺＤＴ 系列优化问题表现出了较好的求解能 力；Ｚｈａｎｇ 等［１０］提出了将差分演化与 Ｐ 系统相结合 的算法，并将其运用于多目标优化问题上。 受到膜计算理论启发，本文提出了一种结合膜 系统理论的多目标优化算法，即基于 Ｐ 系统的遗传 算法（Ｐ⁃ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，Ｐ⁃ＧＡ）。 本文采用的膜系 统只具有表层膜和基本膜，将一定数量的种群放入 表层膜中，然后经过非支配排序后分配到基本膜 中。 并在基本膜中运用遗传机制来求解多目标优 化问题的非支配解集，在表层膜中引入 ＮＳＧＡ⁃Ⅱ算 法，以此来维持非支配解集的多样性，采用 ＫＵＲ 和 ＺＤＴ 系列多目标测试函数来进行仿真实验，得出的 非支配解集能够较好地逼近真实的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿。 本 文参考了文献［１１］的设计思路，不同点在于，基本 膜中利用通信规则并将交叉与变异的操作进行了 改变。 １ 多目标优化问题和膜计算理论 １．１ 多目标优化问题的数学描述 多目标优化问题有很多种表示方式，用数学方 式描述比较直观，便于理解。 不失一般性的描述为 Ｆ（ｘ） ＝ ｍｉｎ ｆ １（ｘ），ｆ ２（ｘ），…，ｆ { ｍ（ｘ）} ｓ．ｔ ｇｉ（ｘ） ＝ ０， ｉ ＝ １，２，…，ｑ ｈｊ（ｘ） ≥ ０， ｊ ＝ １，２，…，ｐ ì î í ï ï ïï （１） 式（１）中有 ｎ 个决策变量， ｘ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，…ｘｎ { } ∈ Ｒ ｎ ，Ｒ ｎ 为 ｎ 维决策空间；Ｆ（ｘ） ∈ Ｒ ｍ ，Ｒ ｍ 为 ｍ 维的目 标空间；目标函数 Ｆ（ｘ） 定义了 ｍ 个由决策空间向 目标空间映射的关系；ｇｉ（ｘ） ＝ ０，ｉ ＝ （１，２，…，ｑ） 描 述了 ｑ 个等式约束条件；ｈｊ（ｘ） ≥ ０，ｊ ＝ （１，２，…，ｐ） 定义了 ｐ 个不等式约束条件。 在以上的描述基础 上，给出以下几个定义。 定义 １ （可行解）对于任意一个 ｘ∈Ｒ ｍ ，且满 足式（１）中所给出的约束条件，则称 ｘ 为可行解。 定义 ２ （Ｐａｒｅｔｏ 占优）对所有满足定义 １ 的可 行解组成的集合称为可行解集合，用 Ｘ 表示，则 Ｘ⊆ Ｒ ｎ ；假设有两个可行解 ｘａ ，ｘｂ ∈Ｘ，若 ｘａ 与 ｘｂ 相比 较，ｘａ 是 Ｐａｒｅｔｏ 占优的，则条件当且仅当满足： ∀ｉ ＝ １，２，…，ｍ， ｆ ｉ（ｘａ ） ≤ ｆ ｉ（ｘｂ） ∧ ∃ｊ ＝ １，２，…，ｍ， ｆ ｊ（ｘａ ） ＜ ｆ ｊ（ｘｂ） { （２） 记作 ｘａ＜ｘｂ，也称为 ｘａ 支配 ｘｂ。 若 ｘａ 和 ｘｂ 之间 不存在相互支配关系，则称它们之间非支配。 定义 ３ （Ｐａｒｅｔｏ 最优解 Ｘ ∗ ）如果存在一个 Ｘ ∗ 满足¬∃ｘ∈Ｒ ｎ ，ｘ＜ｘ ∗ ，则 Ｘ ∗ 为 Ｐａｒｅｔｏ 最优解，也叫 作非支配解；Ｐａｒｅｔｏ 最优解集定义为所有 Ｐａｒｅｔｏ 最 优解组成的集合，记作 Ｐ。 定义 ４ （Ｐａｒｅｔｏ 前沿）最优解集 Ｐ 在目标函数 空间上的映射，记作 ＰＦ，表示为 ＰＦ ＝ ｛Ｆ（ｘ ∗ ）＝ ｍｉｎ｛ｆ １（ｘ ∗ ）， ｆ ２（ｘ ∗ ），…， ｆｍ（ｘ ∗ ）｝ ｘ ∗∈Ｐ｝ （３） １．２ 膜计算理论 目前，对膜的研究主要包括细胞型、组织型和 神经型 ３ 种模型［１２］ 。 本文所提出的算法是建立在 细胞型膜系统上，下面介绍细胞型膜系统理论的主 要内容： ∏ ＝ {Ｖ，Ｔ，μ，ｗ１ ，ｗ２ ，…，ｗｍ ，Ｒ} （４） 根据式（４）的多元组，其中： Ｖ 是字母表，Ｖ 中的 元素称为字符对象； Ｔ⊆Ｖ，Ｔ 为输出的字母表； μ 是 包含 ｍ 个膜的膜结构，其中 ｍ 表示 ∏ 的度； ｗｉ ∈ Ｖ ∗ ，且 ｉ ＝ １，２，…，ｍ，表示膜结构 μ 中第 ｉ 个膜所包 含的字符多重集，Ｖ ∗ 表示由 Ｖ 中的字符对象组成的 任意多重集；Ｒ 是进化规则的有限集合，进化规则是 二元组；Ｒｉ（ｉ ＝ １，２，…，ｍ） 对应的是膜结构μ 中的区 域 ｉ 的进化规则集合。 细胞型膜结构如图 １ 所示，最外层把细胞膜结 构与外界环境隔开的膜称为表层膜；每一个膜都确 定一个区域，区域中包含了反应规则和多重集；对 任意一个膜，若该膜区域内不包含其他的膜，即膜 中无膜，则称为基本膜。 图 １ 膜系统与其简化结构 Ｆｉｇ．１ Ｍｅｍｂｒａｎｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ 第 ５ 期 屠传运，等：膜系统下的一种多目标优化算法 ·６７９·
·680 智能系统学报 第12卷 2P-GA算法 为了使每个基本膜的内部区域都有对应的多 重集，利用NSGA-Ⅱ的非支配排序机制对表层膜区 P系统由字符对象多重集、反应规则和膜结构 域中的所有字符对象进行排序，排序标准参照2)完 三部分组成[)。在P系统中，字符对象与多重集分 成适应值大小，排序结束以后再将其按照等数量划 别对应所求多目标优化问题的解和解集，且每一个 分为多个子字符多重集。具体划分的形式化表述 字符对象都会通过适应度函数得到一个适应度值： 如式(7)所示： 反应规则既是算法具体的执行，也有对细胞膜的操 20=sort(0) 作，比如分裂、溶解等：膜结构的运用使算法具有了 ={01,102,…,0m} (7) 分布式和并行计算的能力[1]。在每一次的迭代，将 n sizeof(w)/m 随机产生的字符对象放入表层膜区域中，利用表层 式中：w表示字符多重集；sort(w)表示对表层膜区 膜区域中的反应规则和通信规则进行操作：最后通 域中的多重集进行非支配排序：心：表示第i个子字 过膜的溶解将多重集释放到表层膜区域中交流信 符多重集：sizeof(w)表示多重集中字符对象个数；m 息。为了降低仿真实验难度，所提算法采用的细胞 表示基本膜的个数：n表示每个基本膜取得字符对 型膜结构只有表层膜与基本膜，这种二层结构相较 象个数，具体放入规则对n进行取模。 于原结构复杂度较低。 4)对前m个基本膜用GA算法中的交叉规则进 为了使算法得出的多重集有较好的多样性，故 行多线程并行计算，以获得新的字符对象，而并行 引入NSGA-Ⅱ算法，利用其非支配排序和拥挤距离 计算可以极大地加快求解速度，具体交叉操作为 两种机制来获得。 遗传算法(genetic algorithm,GA)是模拟达尔文 S+=a·S+(1-a)·S (8) 进化论（适者生存、优胜劣汰遗传机制），借鉴生物 S,=a·S+(1-a)·S 界的进化规律演化而来的随机化搜索方法。该方 式中：S表示字符对象S第t代的值：S?表示字符 法具有并行性和更好的全局寻优能力[5-16)。 对象S2第t代的值；S+,表示字符对像S第t+1代 P-GA算法基于膜计算理论，包含了遗传机制， 的值；S?,表示字符对象S2第t+1代的值；a表示 利用NSGA-Ⅱ算法的非支配排序和拥挤距离两种机 交叉系数，经过多次实验测试，当选取a=0.5~0.7 制来设计算法，详细步骤如下。 时能获得最好的结果，故本文提出P-GA算法采用 1)根据优化问题的约束条件，在表层膜的区域 这一数值。 内随机生成N个字符对象(N≥i≥1)，所有字符对 5)利用通信规则将前m个基本膜中产生的交 象均为十进制编码，具体形式为 叉结果复制一份发送到第+1个基本膜中，对第 sd=(s-miad）×rand()+smrJ(5) m+1个基本膜中的多重集进行变异操作。由于自 式中：：，表示第i个字符对象的第j维：广的范围为 然进化中种群变异率往往比较低，因此在一次迭代 D≥j≥1，D表示维数；Sm表示第j维的最小值， 中，只有利用足够多的字符对象进行变异操作才能 sa表示第j维的最大值；rand()为随机数函数，产 产生更多的新个体，具体变异操作如式(9)所示： 生从0~1的随机数。 Su+i)=S)+0.1×(S(a)-S(mim）×rand() 2)根据所要优化问题的目标函数计算出每个 (9) 字符对象的适应度值，从而完成对所有字符对象的 式中：SD表示字符对象S的第t代j维的值； 评价。 S(m)表示第j维的最小值；Sm表示第j维的最 3)在初始化完成以后，利用表层膜的分裂规 大值；rand()为随机数函数，产生从0~1的随 则，在表层膜内部区域分裂出m+1个基本膜，且分 机数。 裂出的基本膜具有求解多目标优化问题的能力。 6)当每个基本膜中的规则和操作都结束以 首先，将初始化完成的m个多重集复制一份发送到 后，调用基本膜区域内的溶解规则，当m+1个基本 第m+1个基本膜的区域中：然后，将m个多重集发 膜全部溶解后，表层膜区域中就会有来自于不同 送到前m个基本膜的区域中，逐一对应。具体表层 基本膜中的字符对象；本文引入外部档案集，将从 膜分裂规则如式(6)： 基本膜中溶解出的字符对象插入到外部档案集 []。→[[]1，[]2，…，[]m,[]m](6) 中，而后将表层膜区域中的字符对象与归入外部 式中：[]。表示表层膜，[]：表示第i个基本膜。 档案的字符对象进行非支配排序操作。外部档案
２ Ｐ⁃ＧＡ 算法 Ｐ 系统由字符对象多重集、反应规则和膜结构 三部分组成［１３］ 。 在 Ｐ 系统中，字符对象与多重集分 别对应所求多目标优化问题的解和解集，且每一个 字符对象都会通过适应度函数得到一个适应度值； 反应规则既是算法具体的执行，也有对细胞膜的操 作，比如分裂、溶解等；膜结构的运用使算法具有了 分布式和并行计算的能力［１４］ 。 在每一次的迭代，将 随机产生的字符对象放入表层膜区域中，利用表层 膜区域中的反应规则和通信规则进行操作；最后通 过膜的溶解将多重集释放到表层膜区域中交流信 息。 为了降低仿真实验难度，所提算法采用的细胞 型膜结构只有表层膜与基本膜，这种二层结构相较 于原结构复杂度较低。 为了使算法得出的多重集有较好的多样性，故 引入 ＮＳＧＡ⁃Ⅱ算法，利用其非支配排序和拥挤距离 两种机制来获得。 遗传算法（ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＧＡ）是模拟达尔文 进化论（适者生存、优胜劣汰遗传机制），借鉴生物 界的进化规律演化而来的随机化搜索方法。 该方 法具有并行性和更好的全局寻优能力［１５－１６］ 。 Ｐ⁃ＧＡ 算法基于膜计算理论，包含了遗传机制， 利用 ＮＳＧＡ⁃Ⅱ算法的非支配排序和拥挤距离两种机 制来设计算法，详细步骤如下。 １）根据优化问题的约束条件，在表层膜的区域 内随机生成 Ｎ 个字符对象（Ｎ≥ｉ≥１），所有字符对 象均为十进制编码，具体形式为 ｓｉ，ｊ ＝ （ｓｍａｘ，ｊ － ｓｍｉｎ，ｊ） × ｒａｎｄ（） ＋ ｓｍａｘ，ｊ （５） 式中：ｓｉ，ｊ表示第 ｉ 个字符对象的第 ｊ 维； ｊ 的范围为 Ｄ≥ｊ≥１，Ｄ 表示维数； ｓｍｉｎ，ｊ 表示第 ｊ 维的最小值， ｓｍａｘ，ｊ 表示第 ｊ 维的最大值； ｒａｎｄ（） 为随机数函数，产 生从 ０～１ 的随机数。 ２）根据所要优化问题的目标函数计算出每个 字符对象的适应度值，从而完成对所有字符对象的 评价。 ３）在初始化完成以后，利用表层膜的分裂规 则，在表层膜内部区域分裂出 ｍ＋１ 个基本膜，且分 裂出的基本膜具有求解多目标优化问题的能力。 首先，将初始化完成的 ｍ 个多重集复制一份发送到 第 ｍ＋１ 个基本膜的区域中；然后，将 ｍ 个多重集发 送到前 ｍ 个基本膜的区域中，逐一对应。 具体表层 膜分裂规则如式（６）： [ ] ０ → [ ] １， [ ] ２，…， [ ] ｍ， [ ] [ ｍ＋１ ] （６） 式中： [ ] ０ 表示表层膜， [ ] ｉ 表示第 ｉ 个基本膜。 为了使每个基本膜的内部区域都有对应的多 重集，利用 ＮＳＧＡ⁃Ⅱ的非支配排序机制对表层膜区 域中的所有字符对象进行排序，排序标准参照 ２）完 成适应值大小，排序结束以后再将其按照等数量划 分为多个子字符多重集。 具体划分的形式化表述 如式（７）所示： ｗ · ＝ ｓｏｒｔ（ｗ） ｗ · ＝ ｗ１ ，ｗ２ ，…，ｗｍ { } ｎ ＝ ｓｉｚｅｏｆ（ｗ） ／ ｍ ì î í ï ï ï ï （７） 式中： ｗ 表示字符多重集； ｓｏｒｔ（ｗ） 表示对表层膜区 域中的多重集进行非支配排序； ｗｉ 表示第 ｉ 个子字 符多重集；ｓｉｚｅｏｆ（ｗ）表示多重集中字符对象个数； ｍ 表示基本膜的个数； ｎ 表示每个基本膜取得字符对 象个数，具体放入规则对 ｎ 进行取模。 ４）对前 ｍ 个基本膜用 ＧＡ 算法中的交叉规则进 行多线程并行计算，以获得新的字符对象，而并行 计算可以极大地加快求解速度，具体交叉操作为 Ｓ １ ｔ＋１ ＝ α·Ｓ １ ｔ ＋ （１ － α）·Ｓ ２ ｔ Ｓ ２ ｔ＋１ ＝ α·Ｓ ２ ｔ ＋ （１ － α）·Ｓ １ ｔ { （８） 式中： Ｓ １ ｔ 表示字符对象 Ｓ １ 第 ｔ 代的值； Ｓ ２ ｔ 表示字符 对象 Ｓ ２ 第 ｔ 代的值； Ｓ １ ｔ＋１ 表示字符对像 Ｓ １ 第 ｔ ＋ １ 代 的值； Ｓ ２ ｔ＋１ 表示字符对象 Ｓ ２ 第 ｔ ＋ １ 代的值； α 表示 交叉系数，经过多次实验测试，当选取 α ＝ ０．５ ～ ０．７ 时能获得最好的结果，故本文提出 Ｐ⁃ＧＡ 算法采用 这一数值。 ５）利用通信规则将前 ｍ 个基本膜中产生的交 叉结果复制一份发送到第 ｍ＋１ 个基本膜中，对第 ｍ＋１ 个基本膜中的多重集进行变异操作。 由于自 然进化中种群变异率往往比较低，因此在一次迭代 中，只有利用足够多的字符对象进行变异操作才能 产生更多的新个体，具体变异操作如式（９）所示： Ｓ（ｔ＋１，ｊ） ＝ Ｓ（ｔ，ｊ） ＋ ０．１ × （Ｓ（ｍａｘ，ｊ） － Ｓ（ｍｉｎ，ｊ） ） × ｒａｎｄ（ ） （９） 式中： Ｓ（ｔ，ｊ） 表示字符对象 Ｓ 的第 ｔ 代 ｊ 维的值； Ｓ（ｍｉｎ，ｊ） 表示第 ｊ 维的最小值； Ｓ（ｍａｘ，ｊ） 表示第 ｊ 维的最 大值； ｒａｎｄ（ ） 为随机数函数，产生从 ０ ～ １ 的随 机数。 ６）当每个基本膜中的规则和操作都结束以 后，调用基本膜区域内的溶解规则，当 ｍ＋１ 个基本 膜全部溶解后，表层膜区域中就会有来自于不同 基本膜中的字符对象；本文引入外部档案集，将从 基本膜中溶解出的字符对象插入到外部档案集 中，而后将表层膜区域中的字符对象与归入外部 档案的字符对象进行非支配排序操作。 外部档案 ·６８０· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷
第5期 屠传运，等：膜系统下的一种多目标优化算法 681· 的执行流程为：①对所有字符对象执行NSGA-Ⅱ Windows10,使用MATLAB R2015B进行编程仿真。 算法中的两种机制：②根据执行结果选取支配等 本文选用了PESA2算法和SPEA2算法与所提出的 级较低的字符对象，若两者支配等级相等，则比较 P-GA算法进行比较，这两个算法的具体参数如表1 拥挤距离大小，选取拥挤距离较大的字符对象；③ 所示。 通过②的选取后，将获得的所有字符对象归入外 表1算法参数设置 部档案集，然后删除档案中受支配的字符对象，剩 Table 1 Algorithm parameter setting 余存在于外部档案集中的字符对象将作为下一代 算法 PESA2算法 SPEA2算法 的非支配多重集。 这个操作发挥了膜计算的优势，即在基本膜之 群体大小/个 200 200 间共享和交换信息，从而提高算法对全局未知解的 选择 二进制锦标赛 二进制锦标赛 探索，当然也提高了解的多样性，]。 7)如果算法不满足条件，则重复2)~6)的步 交叉 交叉概率p.=0.7交叉概率p.=0.7 骤；若算法满足条件，则终止迭代，此时将表层膜区 变异 变异概率p.=1/D变异概率pn=1/D 域中的多重集输出即可。 具体流程如图2所示。 表1中，D表示决策变量的维度，本文所提出的 P-GA算法群体大小设置为200，表层膜中分裂出11 开始○ 个基本膜，交叉与变异概率均与PESA2算法和 字符对象初始化 SPEA2算法相同。 满足终止条件 3.3仿真结果 N KUR测试维度为3，ZDT系列的维度均为30， 适应度评价☐ 迭代次数均为100次，测得结果如图3~6所示。 分裂规侧创建基本膜 创建多重集☐ ·SPEA2 ·PESA2 调用通信规则 oP-GA ,基本膜1基本膜2基本膜m 交叉规则交叉规则 交叉规则 -6 变异规则基本膜+1 溶解规则(m+1)个 -10 -1 将每个基本膜产生的非支配解保存到外部档案 -20-19-18-17-16-15-14-13-12 fx) 外部档案 图3基于KUR测试函数分布图 结束○ Fig.3 KUR test function distribution 图2PGA算法流程图 .4 ·P-GA Fig.2 P-GA algorithm implementation flow chart 1.24 -Pareto ×SPEA2 3 仿真实验 10 。PESA2 08 3.1 测试函数 0.6 为了检验所提出的算法是否能够较好地逼近 0.4 真实的Pareto前沿，采用了KUR、ZDT1、ZDT2、和 02 ZDT3多目标问题测试函数。这些测试函数可以较 好地测试算法在多目标优化问题的表现。 0.2 0.4 0.608 1.0 f(x) 3.2实验环境 仿真实验硬件环境：CPU Intel酷睿i5-4200H, 图4基于ZDT1测试函数分布图 主频为3.4GHz,辅以8GB内存，操作系统为 Fig.4 ZDT1 test function distribution
的执行流程为：①对所有字符对象执行 ＮＳＧＡ⁃Ⅱ 算法中的两种机制；②根据执行结果选取支配等 级较低的字符对象，若两者支配等级相等，则比较 拥挤距离大小，选取拥挤距离较大的字符对象；③ 通过②的选取后，将获得的所有字符对象归入外 部档案集，然后删除档案中受支配的字符对象，剩 余存在于外部档案集中的字符对象将作为下一代 的非支配多重集。 这个操作发挥了膜计算的优势，即在基本膜之 间共享和交换信息，从而提高算法对全局未知解的 探索，当然也提高了解的多样性［１１，１７］ 。 ７）如果算法不满足条件，则重复 ２） ～ ６） 的步 骤；若算法满足条件，则终止迭代，此时将表层膜区 域中的多重集输出即可。 具体流程如图 ２ 所示。 图 ２ Ｐ⁃ＧＡ 算法流程图 Ｆｉｇ．２ Ｐ⁃ＧＡ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｆｌｏｗ ｃｈａｒｔ ３ 仿真实验 ３．１ 测试函数 为了检验所提出的算法是否能够较好地逼近 真实的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿，采用了 ＫＵＲ、 ＺＤＴ１、 ＺＤＴ２、和 ＺＤＴ３ 多目标问题测试函数。 这些测试函数可以较 好地测试算法在多目标优化问题的表现。 ３．２ 实验环境 仿真实验硬件环境：ＣＰＵ Ｉｎｔｅｌ 酷睿 ｉ５⁃４２００Ｈ， 主频为 ３． ４ ＧＨｚ， 辅 以 ８ ＧＢ 内 存， 操 作 系 统 为 Ｗｉｎｄｏｗｓ １０，使用 ＭＡＴＬＡＢ Ｒ２０１５Ｂ 进行编程仿真。 本文选用了 ＰＥＳＡ２ 算法和 ＳＰＥＡ２ 算法与所提出的 Ｐ⁃ＧＡ 算法进行比较，这两个算法的具体参数如表 １ 所示。 表 １ 算法参数设置 Ｔａｂｌｅ １ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｔｔｉｎｇ 算法 ＰＥＳＡ２ 算法 ＳＰＥＡ２ 算法 群体大小／ 个 ２００ ２００ 选择 二进制锦标赛 二进制锦标赛 交叉 交叉概率 ｐｃ ＝ ０．７ 交叉概率 ｐｃ ＝ ０．７ 变异 变异概率 ｐｍ ＝ １ ／ Ｄ 变异概率 ｐｍ ＝ １ ／ Ｄ 表 １ 中，Ｄ 表示决策变量的维度，本文所提出的 Ｐ⁃ＧＡ 算法群体大小设置为 ２００，表层膜中分裂出 １１ 个基本膜， 交叉与变异概率均与 ＰＥＳＡ２ 算法和 ＳＰＥＡ２ 算法相同。 ３．３ 仿真结果 ＫＵＲ 测试维度为 ３，ＺＤＴ 系列的维度均为 ３０， 迭代次数均为 １００ 次，测得结果如图 ３～６ 所示。 图 ３ 基于 ＫＵＲ 测试函数分布图 Ｆｉｇ．３ ＫＵＲ ｔｅｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 图 ４ 基于 ＺＤＴ１ 测试函数分布图 Ｆｉｇ．４ ＺＤＴ１ ｔｅｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 第 ５ 期 屠传运，等：膜系统下的一种多目标优化算法 ·６８１·
·682 智能系统学报 第12卷 表23个算法在4个测试函数上的IGD性能统计 1.2 *P-GA —Pareto Table 2 Comparison of IGD performance of three algorithms 1.01 ×SPEA2 on four test functions PESA2 0.8 测试函数 P-GA PESA2 SPEA2 0.6 Mean 2.42×10-4 2.31×104 7.31×10-3 0.4 KUR Std. 1.58×10-6 1.50×10-6 1.01×103 0.2 Mean 1.45×10- 5.03×103 8.91×103 0 ZDT1 02 0.4 0.6 0.8 0 Std. 5.92×10- 7.10x10 1.12×10 f(x) Mean 3.20×10-4 4.34×10-3 8.72×10- 图5基于ZDT2测试函数分布 ZDT2 Std. 2.88×10-6 6.84×104 1.01×10-3 Fig.5 ZDT2 test function distribution Mean 2.58×10 2.55×105 3.02×10- ZDT3 Sud. 2 1.83×10-8 1.82×10-8 2.12×10-8 ·P-GA —Pareto 从表2中可以看出，在KU测试函数上， 0.8 ×SPEA2 0.6 PESA2算法取得了最好的效果，但P-GA算法获得 0.4 统计结果与其相差无几，SPEA2算法表现最差： 02 P-GA在ZDT1和ZDT2测试函数上获得的统计数据 -0.2 明显好于其他两个算法：3种算法在ZDT3测试函数 -0.4 -0.6 上IGD均值和标准差结果相近。最后需要强调的 -0. 是，仿真实验表明在算法流程迭代次数超过2000 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 fx) 次以后，3种算法在测试函数上取得的IGD指标基 本一致，在此就不去列举了。 图6基于ZDT3测试函数分布 Fig.6 ZDT3 test function distribution 4结束语 从图3可以看出，PESA2算法与P-GA算法都 本文提出了一种基于膜系统下的一种多目标 取得了较好的结果，但P-GA算法较其他两种算法 优化算法—PGA算法，该算法将膜计算相关理 分散程度较低，而SPEA2效果显得比较差：通过图4 论引入，并采用了遗传算法中的交叉与变异机制来 和图5可以很直观地看出P-GA算法能够较好地逼 增加算法适应能力。仿真实验表明，该算法有精度 近真实的Pareto前沿，逼近程度相较于另外两种算 高、收敛速度快、分布较为均匀等优点。此外，膜优 法更高，说明G-PA算法能够较快地收敛，且分布程 化算法的本质具有分布式和并行计算的执行逻辑， 但目前的研究仍局限于串行的工作方式，这也是不 度也与另外两种算法相当，整体上取得的非支配解 足之处。因此，如何实现算法的并行优化计算，也 好于PESA2算法和SPEA2算法；在图6中可以看 是下一步研究的重点内容和方向。 出，整体3种算法都取得了较好的效果，都能够逼近 真实的Pareto前沿，且分布离散程度也比较接近。 参考文献： 本文采用反转时代距离(inverted generational [1]FONSECA C M,FLEMING P J.Genetic algorithms for distant,IGD)作为评价指标u8-i。IGD是度量算 multi-objective optimization:formulation,discussion and 法得到的Pareto前沿到真实的Pareto前沿的距 generalization[C]//The 5th International Conference on Genetic Algorithms.San Mateo,CA,USA,1993: 离指标，该指标值的大小与算法Pareto前沿收敛 416-423. 性及多样性呈负相关[20)。通过仿真，得到这3 [2]SRINIVAS N,DEB K.Multi-objective optimization using non- 个多目标优化算法在4个测试函数上的数据，其 dominated sorting in genetic algorithms[].Evolutionary 中Mean表示均值，Std.表示标准差，每个算法均 computation,1994,2(3):221-248. [3]HORN J,NAFPLIOTIS N.GOLDBERG D E.A niched 在所有测试函数上独立测试100并进行了统计， pareto genetic algorithm for multi-objective optimization 表2列出了详细的统计数据。 [C ]//Proceedings of the first IEEE Conference on
图 ５ 基于 ＺＤＴ２ 测试函数分布 Ｆｉｇ．５ ＺＤＴ２ ｔｅｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 图 ６ 基于 ＺＤＴ３ 测试函数分布 Ｆｉｇ．６ ＺＤＴ３ ｔｅｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 从图 ３ 可以看出，ＰＥＳＡ２ 算法与 Ｐ⁃ＧＡ 算法都 取得了较好的结果，但 Ｐ⁃ＧＡ 算法较其他两种算法 分散程度较低，而 ＳＰＥＡ２ 效果显得比较差；通过图 ４ 和图 ５ 可以很直观地看出 Ｐ⁃ＧＡ 算法能够较好地逼 近真实的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿，逼近程度相较于另外两种算 法更高，说明 Ｇ⁃ＰＡ 算法能够较快地收敛，且分布程 度也与另外两种算法相当，整体上取得的非支配解 好于 ＰＥＳＡ２ 算法和 ＳＰＥＡ２ 算法；在图 ６ 中可以看 出，整体 ３ 种算法都取得了较好的效果，都能够逼近 真实的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿，且分布离散程度也比较接近。 本文采用反转时代距离（ ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎａｌ ｄｉｓｔａｎｔ，ＩＧＤ）作为评价指标［ １８－１９］ 。 ＩＧＤ 是度量算 法得到的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿到真实的 Ｐａｒｅｔｏ 前沿的距 离指标，该指标值的大小与算法 Ｐａｒｅｔｏ 前沿收敛 性及多样性呈负相关［ ２０］ 。 通过 仿 真，得 到 这 ３ 个多目标优化算法在 ４ 个测试函数上的数据，其 中 Ｍｅａｎ 表示均值，Ｓｔｄ．表示标准差，每个算法均 在所有测试函数上独立测试 １００ 并进行了统计， 表 ２ 列出了详细的统计数据。 表 ２ ３ 个算法在 ４ 个测试函数上的 ＩＧＤ 性能统计 Ｔａｂｌｅ ２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ＩＧＤ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｏｎ ｆｏｕｒ ｔｅｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ 测试函数 Ｐ⁃ＧＡ ＰＥＳＡ２ ＳＰＥＡ２ ＫＵＲ Ｍｅａｎ ２．４２×１０ －４ ２．３１×１０ －４ ７．３１×１０ －３ Ｓｔｄ． １．５８×１０ －６ １．５０×１０ －６ １．０１×１０ －３ ＺＤＴ１ Ｍｅａｎ １．４５×１０ －４ ５．０３×１０ －３ ８．９１×１０ －３ Ｓｔｄ． ５．９２×１０ －７ ７．１０×１０ －４ １．１２×１０ －３ ＺＤＴ２ Ｍｅａｎ ３．２０×１０ －４ ４．３４×１０ －３ ８．７２×１０ －３ Ｓｔｄ． ２．８８×１０ －６ ６．８４×１０ －４ １．０１×１０ －３ ＺＤＴ３ Ｍｅａｎ ２．５８×１０ －５ ２．５５×１０ －５ ３．０２×１０ －５ Ｓｔｄ． １．８３×１０ －８ １．８２×１０ －８ ２．１２×１０ －８ 从 表 ２ 中 可 以 看 出， 在 ＫＵＲ 测 试 函 数 上， ＰＥＳＡ２ 算法取得了最好的效果，但 Ｐ⁃ＧＡ 算法获得 统计结果与其相差无几， ＳＰＥＡ２ 算法表现最差； Ｐ⁃ＧＡ在 ＺＤＴ１ 和 ＺＤＴ２ 测试函数上获得的统计数据 明显好于其他两个算法；３ 种算法在 ＺＤＴ３ 测试函数 上 ＩＧＤ 均值和标准差结果相近。 最后需要强调的 是，仿真实验表明在算法流程迭代次数超过 ２ ０００ 次以后，３ 种算法在测试函数上取得的 ＩＧＤ 指标基 本一致，在此就不去列举了。 ４ 结束语 本文提出了一种基于膜系统下的一种多目标 优化算法———Ｐ⁃ＧＡ 算法，该算法将膜计算相关理 论引入，并采用了遗传算法中的交叉与变异机制来 增加算法适应能力。 仿真实验表明，该算法有精度 高、收敛速度快、分布较为均匀等优点。 此外，膜优 化算法的本质具有分布式和并行计算的执行逻辑， 但目前的研究仍局限于串行的工作方式，这也是不 足之处。 因此，如何实现算法的并行优化计算，也 是下一步研究的重点内容和方向。 参考文献： ［１］ ＦＯＮＳＥＣＡ Ｃ Ｍ， ＦＬＥＭＩＮＧ Ｐ Ｊ． Ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ： ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ， ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ［ Ｃ］ ／ ／ Ｔｈｅ ５ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｇｅｎｅｔｉｃ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ． Ｓａｎ Ｍａｔｅｏ， ＣＡ， ＵＳＡ， １９９３： ４１６－４２３． ［２］ＳＲＩＮＩＶＡＳ Ｎ， ＤＥＢ Ｋ． Ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｎｏｎ⁃ ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｓｏｒｔｉｎｇ ｉｎ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ［ Ｊ ］． Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， １９９４， ２（３）： ２２１－２４８． ［３］ ＨＯＲＮ Ｊ， ＮＡＦＰＬＩＯＴＩＳ Ｎ， ＧＯＬＤＢＥＲＧ Ｄ Ｅ． Ａ ｎｉｃｈｅｄ ｐａｒｅｔｏ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ［ Ｃ ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ＩＥＥＥ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ ·６８２· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷
第5期 屠传运，等：膜系统下的一种多目标优化算法 ·683 Evolutionary Computation.Orlando,FL,USA,1994: [15]张玉良.改进粒子群优化算法在图像矢量量化中的应 82-87. 用研究[D].天津：天津工业大学，2013. [4 ZITZLER E,THIELE L.Multi-objective evolutionary ZHANG Yuliang.Application of improved particle swarm algorithms:a comparative case study and the strength optimization algorithm in image vector quantization [D]. Pareto approach [J].IEEE trans.on evolutionary Tianjin:Tianjin Polytechnic University,2013. computation,1999,3(4):257-271. [16]周明.遗传算法原理及应用M].北京：国防工业出版 [5 MARK ERICKSON A M,HORN J.The niched pareto 社，1999. genetic algorithm 2 applied to the design of groundwater [17]李俊.基于膜计算模型的多目标优化算法研究[D].合 remediation systems [J].Lecture notes in computer 肥：安徽大学，2016. 8 cience,2001,1993:681-695. LI Jun.Study on Multi-objective Optimization Algorithm [6]DEB K,PRATAP A,AGARWAL S,et al.A fast and Based on Membrane Computing Model [D].Hefei Anhui elitist multi-objective genetic algorithm:NSGA-II [J]. University,2016. IEEE trans.on evolutionary computation,2002,6(2): [18]黄席越，张著洪，何传江，等.现代智能算法理论及应 182-197. 用[M].北京：科学出版社，2005. [7]PAUN G,ROZENBERG G.A guide to membrane [19]JU Y,ZHANG S,DING N,et al.Complex network computing[J].Theoretical computer science,2002,287 clustering by a multi-objective evolutionary algorithm (1):73-100 based on decomposition and membrane structure [J]. [8 ZAHARIE D,CIOBANU G.Distributed evolutionary Scientific reports,2016,6:33870. algorithms inspired by membranes in solving continuous [20]ZHANG G,LI Y,GHEORGHE M.A multi-objective optimization problems [J].Lecture notes in computer membrane algorithm for knapsack problems[C]//IEEE science,2009,4361:536-553. Fifth International Conference on Bio-Inspired Computing: [9 LIU C,HAN M,WANG X Z.A multi-objective Theories and Applications.Gwalior,India,2012:604 evolutionary algorithm based on membrane systems[C]// -609. Fourth International Workshop on Advanced Computational 作者简介： Intelligence.Wuhan,China,2011:103-109. 屠传运，男，1992年生，硕士研究 [10]ZHANG G,CHENG J,GHEORGHE M,et al.A hybrid 生，主要研究方向为多目标优化、膜 approach based on differential evolution and tissue 计算。 membrane systems for solving constrained manufacturing parameter optimization problems[.Applied soft computing. 2013,13(3):1528-1542. [11]韩敏，刘闯，邢军.一种基于膜系统理论的多目标演算 法[J].自动化学报，2014,40(3)：431-438， 陈韬伟，男，1972年生，副教授，博 士，主要研究方向为智能信息处理、面 HAN Min,LIU Chuang,XING Jun.A multi-objective 达信号处理及电子商务。主持并参与 evolutionary algorithm based on membrane system theory 多项国家级课题，发表学术论文多篇， [J].Acta automatica sinica,2014,40(3):431-438. 其中被SCI,EI检索10余篇。 [12]PAUN G,ROZENBERG G,SALOMAA A.The Oxford handbook of membrane computing [M].Oxford Oxford University Press,2010. 余益民.男.1968年生，副教授，博 [13]张葛祥，潘林强.自然计算的新分支一膜计算[J]. 士，主要研究方向为跨境电子商务、能 计算机学报，2010,33(2)：208-214. 源互联网及数据挖掘技术。主持参与 ZHANG Gexiang,PAN Lingiang.A survey of membrane 多项国家级课题，发表学术论文30余 computing as a new branch of natural computing [J]. 篇，被SCL,EI检索10余篇。 Chinese journal of computers,2010,33(2):208-214. [14]张葛祥，程吉祥，王涛，等.膜计算：理论与应用[M] 北京：科学出版社，2015
Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ． Ｏｒｌａｎｄｏ， ＦＬ， ＵＳＡ， １９９４： ８２－８７． ［ ４ ］ ＺＩＴＺＬＥＲ Ｅ， ＴＨＩＥＬＥ Ｌ． Ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ： ａ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ｃａｓｅ ｓｔｕｄｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｔｒｅｎｇｔｈ Ｐａｒｅｔｏ ａｐｐｒｏａｃｈ ［ Ｊ ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓ． ｏｎ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， １９９９， ３（４）：２５７－２７１． ［ ５ ］ ＭＡＲＫ ＥＲＩＣＫＳＯＮ Ａ Ｍ， ＨＯＲＮ Ｊ． Ｔｈｅ ｎｉｃｈｅｄ ｐａｒｅｔｏ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ２ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ ｒｅｍｅｄｉａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ［ Ｊ ］． Ｌｅｃｔｕｒｅ ｎｏｔｅｓ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ， ２００１， １９９３：６８１－６９５． ［６］ ＤＥＢ Ｋ， ＰＲＡＴＡＰ Ａ， ＡＧＡＲＷＡＬ Ｓ， ｅｔ ａｌ． Ａ ｆａｓｔ ａｎｄ ｅｌｉｔｉｓｔ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ： ＮＳＧＡ⁃ＩＩ ［ Ｊ ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓ． ｏｎ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， ２００２， ６ （ ２）： １８２－１９７． ［ ７ ］ ＰＡＵＮ Ｇ， ＲＯＺＥＮＢＥＲＧ Ｇ． Ａ ｇｕｉｄｅ ｔｏ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ［ Ｊ］． Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ， ２００２， ２８７ （１）：７３－１００． ［ ８ ］ ＺＡＨＡＲＩＥ Ｄ， ＣＩＯＢＡＮＵ Ｇ． Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｉｎｓｐｉｒｅｄ ｂｙ ｍｅｍｂｒａｎｅｓ ｉｎ ｓｏｌｖｉｎｇ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ［ Ｊ ］． Ｌｅｃｔｕｒｅ ｎｏｔｅｓ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｃｉｅｎｃｅ， ２００９， ４３６１：５３６－５５３． ［ ９ ］ ＬＩＵ Ｃ， ＨＡＮ Ｍ， ＷＡＮＧ Ｘ Ｚ． Ａ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ［ Ｃ］ ／ ／ Ｆｏｕｒｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｗｏｒｋｓｈｏｐ ｏｎ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ． Ｗｕｈａｎ， Ｃｈｉｎａ， ２０１１：１０３－１０９． ［１０］ＺＨＡＮＧ Ｇ， ＣＨＥＮＧ Ｊ， ＧＨＥＯＲＧＨＥ Ｍ， ｅｔ ａｌ． Ａ ｈｙｂｒｉｄ ａｐｐｒｏａｃｈ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｉｓｓｕｅ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］． Ａｐｐｌｉｅｄ ｓｏｆｔ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， ２０１３， １３（３）：１５２８－１５４２． ［１１］韩敏， 刘闯， 邢军． 一种基于膜系统理论的多目标演算 法［Ｊ］． 自动化学报， ２０１４， ４０（３）：４３１－４３８． ＨＡＮ Ｍｉｎ， ＬＩＵ Ｃｈｕａｎｇ， ＸＩＮＧ Ｊｕｎ． Ａ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｓｙｓｔｅｍ ｔｈｅｏｒｙ ［Ｊ］． Ａｃｔａ ａｕｔｏｍａｔｉｃａ ｓｉｎｉｃａ， ２０１４， ４０（３）：４３１－４３８． ［１２］ ＰＡＵＮ Ｇ， ＲＯＺＥＮＢＥＲＧ Ｇ， ＳＡＬＯＭＡＡ Ａ． Ｔｈｅ Ｏｘｆｏｒｄ ｈａｎｄｂｏｏｋ ｏｆ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ［ Ｍ］． Ｏｘｆｏｒｄ ：Ｏｘｆｏｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， ２０１０． ［１３］张葛祥， 潘林强． 自然计算的新分支———膜计算［ Ｊ］． 计算机学报， ２０１０， ３３（２）：２０８－２１４． ＺＨＡＮＧ Ｇｅｘｉａｎｇ， ＰＡＮ Ｌｉｎｑｉａｎｇ． Ａ ｓｕｒｖｅｙ ｏｆ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ａｓ ａ ｎｅｗ ｂｒａｎｃｈ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ［ Ｊ ］ ． Ｃｈｉｎｅｓｅ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ， ２０１０， ３３ （２）： ２０８－２１４． ［１４］张葛祥， 程吉祥，王涛，等． 膜计算： 理论与应用 ［Ｍ］． 北京：科学出版社， ２０１５． ［１５］张玉良． 改进粒子群优化算法在图像矢量量化中的应 用研究［Ｄ］． 天津：天津工业大学， ２０１３． ＺＨＡＮＧ Ｙｕｌｉａｎｇ． Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｖｅｃｔｏｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ［ Ｄ］． Ｔｉａｎｊｉｎ： Ｔｉａｎｊｉｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， ２０１３． ［１６］周明． 遗传算法原理及应用［Ｍ］． 北京：国防工业出版 社， １９９９． ［１７］李俊． 基于膜计算模型的多目标优化算法研究［Ｄ］． 合 肥：安徽大学， ２０１６． ＬＩ Ｊｕｎ． Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｅｍｂｒａｎｅ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｍｏｄｅｌ ［Ｄ］． Ｈｅｆｅｉ ： Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， ２０１６． ［１８］黄席越， 张著洪， 何传江，等． 现代智能算法理论及应 用［Ｍ］ ． 北京： 科学出版社， ２００５． ［１９］ ＪＵ Ｙ， ＺＨＡＮＧ Ｓ， ＤＩＮＧ Ｎ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ｂｙ ａ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｍｅｍｂｒａｎｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ［ Ｊ ］． Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｒｅｐｏｒｔｓ， ２０１６， ６：３３８７０． ［２０ ］ ＺＨＡＮＧ Ｇ， ＬＩ Ｙ， ＧＨＥＯＲＧＨＥ Ｍ． Ａ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｍｅｍｂｒａｎｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｋｎａｐｓａｃｋ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ［ Ｃ］ ／ ／ ＩＥＥＥ Ｆｉｆｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｂｉｏ⁃Ｉｎｓｐｉｒｅｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ： Ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ． Ｇｗａｌｉｏｒ， Ｉｎｄｉａ， ２０１２： ６０４ －６０９． 作者简介： 屠传运，男，１９９２ 年生，硕士研究 生，主要研究方 向 为 多 目 标 优 化、 膜 计算。 陈韬伟，男，１９７２ 年生，副教授，博 士，主要研究方向为智能信息处理、雷 达信号处理及电子商务。 主持并参与 多项国家级课题，发表学术论文多篇， 其中被 ＳＣＩ、ＥＩ 检索 １０ 余篇。 余益民，男，１９６８ 年生，副教授，博 士，主要研究方向为跨境电子商务、能 源互联网及数据挖掘技术。 主持参与 多项国家级课题，发表学术论文 ３０ 余 篇，被 ＳＣＩ、ＥＩ 检索 １０ 余篇。 第 ５ 期 屠传运，等：膜系统下的一种多目标优化算法 ·６８３·
