a(b+c)=ab+ac 则R成为一个环 如果一个环R的乘法也满足交换律,则R称为交换环; 如果环R内存在一个元素e,使ae=a=ea(va∈R),则e称为R的单位元素,R称 为有幺元的环 如果环R内存在两个非零元a,b,使ab=0,则a(b)称为左(右)零因子,这时 R称为有零因子环 如果环R至少包含两个元素,可交换,有幺元,无零因子,则称R为一个整环 如果R是一个整环,且对R内任一非零元素都有逆元,则R称为一个域。 812整除性理论 命题(带余除法)对任意a,b∈Z,b≠0,唯一的存在两个整数q,r,满足 =bq+r,0≤r≤b 证明存在性如果b>0,考虑整数序列 3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,… 则a必落在该序列中的某两项之间,从而必存在q∈Z,使得qb≤a<(q+1)b。令 r=a-qb,则有 a=bq+r,0≤r彐b 如果b<0,我们有 a=qb+r=(qb+r, 0sr<bl 唯一性设另外有q',r'∈Z使a=bq+r0≤r<b,则 bq+r= bq+r 进而得到|b!g-q'同r-r'。如果q≠q',则等式的左端丬b,但另一方面 0≤r,r<b,即可知等式的右端<b|。这个矛盾说明q=q',从而r=r'。定理得证 用辗转相除法求二整数的最大公因子 给定整数a,b,b≠0且a=bq+r,则由(a,b)a,(a,b)|b,r=a-bq得(a,b)|r。所 以(a,b)≤(b,r)。同理可证(b,r)≤(a,b),故(a,b)=(b,r)。 给定整数a,b,0<b<a,做带余除法,a=bq1+r,0≤斤<b。若r=0,则 (a,b)=(b,r)=b。若F≠0,则再做带余除法( ) , ( ) , a b c ab ac b c a ba ca + = + + = + 则 R 成为一个环。 如果一个环 R 的乘法也满足交换律，则 R 称为交换环； 如果环 R 内存在一个元素 e ，使 ae a ea a R = =   ( ) ，则 e 称为 R 的单位元素，R 称 为有幺元的环； 如果环 R 内存在两个非零元 a b, ，使 ab = 0 ，则 a （ b ）称为左（右）零因子，这时 R 称为有零因子环； 如果环 R 至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称 R 为一个整环； 如果 R 是一个整环，且对 R 内任一非零元素都有逆元，则 R 称为一个域。 8.1.2 整除性理论 命题（带余除法） 对任意 a b b , , 0   Z ，唯一的存在两个整数 q r, ，满足： a bq r r b = +   , 0 | |. 证明 存在性 如果 b  0 ，考虑整数序列 , 3 , 2 , ,0, ,2 ,3 , − − − b b b b b b 则 a 必落在该序列中的某两项之间，从而必存在 q Z ，使得 qb a q b   + ( 1) 。令 r a qb = − ，则有 a bq r r b = +   , 0 | |. 如果 b  0 ，我们有 a q b r q b r r b = + = − +   | | ( ) , 0 | |. 唯一性 设另外有 q r   , Z 使 a bq r r b = +      ,0 | | ，则 bq r bq r + = +  进而得到 | || | | b q q r r − = −   |。如果 q q   ，则等式的左端 | | b ，但另一方面 0 , | |   r r b  ，即可知等式的右端 | | b 。这个矛盾说明 q q =  ，从而 r r =  。定理得证。 用辗转相除法求二整数的最大公因子 给定整数 a b b , , 0  且 a bq r = + ，则由 ( , ) | ,( , ) | , a b a a b b r a bq = − 得 ( , ) | a b r 。所 以 ( , ) ( , ) a b b r  。同理可证 ( , ) ( , ) b r a b  ，故 ( , ) ( , ) a b b r = 。 给定整数 a b b a , ,0   ， 做 带 余除 法 ， 1 1 1 a bq r r b = +   , 0 。 若 1 r = 0 ， 则 ( , ) ( , ) a b b r b = = 。若 1 r  0 ，则再做带余除法