第二学期第十四次课 第八章有理整数环 §1有理整数环的基本概念 811有理整数环的基本概念 全体整数所组成的集合中有两种运算:加法和乘法,而且它们满足下面运算法则: 1)加法满足结合律 2)加法满足加换律 3)有一个数0,是对任意整数a,0+a=a 4)对任意整数a,存在整数b,使b+a=0: 5)乘法满足结合律 6)有一个数1,是对任意整数a,l·a=a 7)加法与乘法满足分配律:a(b+c)=ab+ac 8)乘法满足加换律 9)无零因子:如果a≠0,b≠0,则amb≠0。 我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环,并用Z代表它。 “整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和 中学已介绍,在这里就不再赘述 现在,我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述 设R是一个非空集合。如果在R的元素之间定义了一种运算,称做加法,即对R中任 意两元素a,b,都按某法则∫对应于R内的一个唯一确定的元素,记作a+b,且满足如下 运算法则: (i)结合律:a+(b+c)=(a+b)+c (i)R中有一元素0,是对一切a∈R有a+0=a; (i)对R中任一元素a,有b∈R使a+b=0 (ⅳ)交换律:a+b=b+a 又设R内另有一种运算称作乘法,即对R中任意两个元素a,b,都按某个法则g对应 于R内一个唯一确定的元素,记作ab,且满足如下运算法则: (v)结合律:a(bc)=(ab) (vi)加法与乘法有两方面的分配律:
第二学期第十四次课 第八章 有理整数环 §1 有理整数环的基本概念 8.1.1 有理整数环的基本概念 全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则： 1） 加法满足结合律； 2） 加法满足加换律； 3） 有一个数 0，是对任意整数 a ，0+ = a a ； 4） 对任意整数 a ，存在整数 b ，使 b a + = 0 ； 5） 乘法满足结合律； 6） 有一个数 1，是对任意整数 a ，1• = a a 7） 加法与乘法满足分配律： a b c ab ac ( ) + = + ； 8） 乘法满足加换律； 9） 无零因子：如果 a b 0, 0 ，则 ab 0。 我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用 Z 代表它。 “整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和 中学已介绍，在这里就不再赘述。 现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。 设 R 是一个非空集合。如果在 R 的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对 R 中任 意两元素 a b, ，都按某法则 f 对应于 R 内的一个唯一确定的元素，记作 a b + ，且满足如下 运算法则： （i） 结合律： a b c a b c + + = + + ( ) ( ) ； （ii） R 中有一元素 0，是对一切 a R a a + = 有 0 ； （iii） 对 R 中任一元素 a ，有 b R a b + = 使 0 ； （iv） 交换律： a b b a + = + 。 又设 R 内另有一种运算称作乘法，即对 R 中任意两个元素 a b, ，都按某个法则 g 对应 于 R 内一个唯一确定的元素，记作 ab ，且满足如下运算法则： （v） 结合律： a bc ab c ( ) ( ) = ； （vi） 加法与乘法有两方面的分配律：
a(b+c)=ab+ac 则R成为一个环 如果一个环R的乘法也满足交换律,则R称为交换环; 如果环R内存在一个元素e,使ae=a=ea(va∈R),则e称为R的单位元素,R称 为有幺元的环 如果环R内存在两个非零元a,b,使ab=0,则a(b)称为左(右)零因子,这时 R称为有零因子环 如果环R至少包含两个元素,可交换,有幺元,无零因子,则称R为一个整环 如果R是一个整环,且对R内任一非零元素都有逆元,则R称为一个域。 812整除性理论 命题(带余除法)对任意a,b∈Z,b≠0,唯一的存在两个整数q,r,满足 =bq+r,0≤r≤b 证明存在性如果b>0,考虑整数序列 3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,… 则a必落在该序列中的某两项之间,从而必存在q∈Z,使得qb≤a<(q+1)b。令 r=a-qb,则有 a=bq+r,0≤r彐b 如果b<0,我们有 a=qb+r=(qb+r, 0sr<bl 唯一性设另外有q',r'∈Z使a=bq+r0≤r<b,则 bq+r= bq+r 进而得到|b!g-q'同r-r'。如果q≠q',则等式的左端丬b,但另一方面 0≤r,r<b,即可知等式的右端<b|。这个矛盾说明q=q',从而r=r'。定理得证 用辗转相除法求二整数的最大公因子 给定整数a,b,b≠0且a=bq+r,则由(a,b)a,(a,b)|b,r=a-bq得(a,b)|r。所 以(a,b)≤(b,r)。同理可证(b,r)≤(a,b),故(a,b)=(b,r)。 给定整数a,b,0<b<a,做带余除法,a=bq1+r,0≤斤<b。若r=0,则 (a,b)=(b,r)=b。若F≠0,则再做带余除法
( ) , ( ) , a b c ab ac b c a ba ca + = + + = + 则 R 成为一个环。 如果一个环 R 的乘法也满足交换律，则 R 称为交换环； 如果环 R 内存在一个元素 e ，使 ae a ea a R = = ( ) ，则 e 称为 R 的单位元素，R 称 为有幺元的环； 如果环 R 内存在两个非零元 a b, ，使 ab = 0 ，则 a （ b ）称为左（右）零因子，这时 R 称为有零因子环； 如果环 R 至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称 R 为一个整环； 如果 R 是一个整环，且对 R 内任一非零元素都有逆元，则 R 称为一个域。 8.1.2 整除性理论 命题（带余除法） 对任意 a b b , , 0 Z ，唯一的存在两个整数 q r, ，满足： a bq r r b = + , 0 | |. 证明 存在性 如果 b 0 ，考虑整数序列 , 3 , 2 , ,0, ,2 ,3 , − − − b b b b b b 则 a 必落在该序列中的某两项之间，从而必存在 q Z ，使得 qb a q b + ( 1) 。令 r a qb = − ，则有 a bq r r b = + , 0 | |. 如果 b 0 ，我们有 a q b r q b r r b = + = − + | | ( ) , 0 | |. 唯一性 设另外有 q r , Z 使 a bq r r b = + ,0 | | ，则 bq r bq r + = + 进而得到 | || | | b q q r r − = − |。如果 q q ，则等式的左端 | | b ，但另一方面 0 , | | r r b ，即可知等式的右端 | | b 。这个矛盾说明 q q = ，从而 r r = 。定理得证。 用辗转相除法求二整数的最大公因子 给定整数 a b b , , 0 且 a bq r = + ，则由 ( , ) | ,( , ) | , a b a a b b r a bq = − 得 ( , ) | a b r 。所 以 ( , ) ( , ) a b b r 。同理可证 ( , ) ( , ) b r a b ，故 ( , ) ( , ) a b b r = 。 给定整数 a b b a , ,0 ， 做 带 余除 法 ， 1 1 1 a bq r r b = + , 0 。 若 1 r = 0 ， 则 ( , ) ( , ) a b b r b = = 。若 1 r 0 ，则再做带余除法
b=Fq2+1202>…≥0,所以经有限n步后必有r+1=0。这时 (a,b)=(b,n1)=(12F2)=(F2,r)=…=(n-1,n)=n 这种算法叫 Euclid算法,也叫辗转相除法。 813有理整数环的理想 定义81(理想的定义)设/是Z的一个非空子集,且满足下列条件 (i)若a.b∈I,则a-b∈I (i)若a∈I,则对任意b∈Z有ab∈l 则称为Z的一个理想。 显然,单由0组成的子集{0}及Z自身都是理想,这两个理想称作平凡理想,{0}称为 零理想。Z的其他理想称为非平凡理想 定义8.2(主理想的定义)任给a∈Z,定义 (a)={ka|k∈Z}, 则称(a)为由a生成的主理想。 显然,(O)={0}、(1)=Z为平凡理想,其他理想均为非平凡主理想。关于理想,我们有 以下简单的性质: 1)(a)(b)且(b)≠{0}→b|a 2)(a)=(b)a=土b。 命题有理整数环的理想都是主理想,即设/是Z的一个理想,则存在非负整数a 使I=(a)。 证明若Ⅰ是零理想0},取a=0即可。现设Ⅰ≠{0},于是中必有非零之整数,现 令a为/中的最小正整数,他显然存在且唯一。此时对任意k∈Z都有ka∈l,于是(a)1。 反之,设b为Ⅰ中任意整数,按带余除法,存在q,r∈Z,使b=aq+r,0≤r<a。又因 r=b-qg∈,由a的最小性知r=0。故b=qg∈(a),即Ic(a)。于是I=(a)。 定义8.3(主理想整环(PID)的定义)设R为一交换环,如果R中的理想皆为主 理想,则称R为主理想环。如果R同时又为整环(即环R至少包含两个元素,交换,有幺 元,无零因子),则称R为主理想整环。 现在我们来看一下理想的性质:
1 2 2 2 1 1 2 3 3 3 2 1 1 1 ,0 , ,0 , . n n n n b r q r r r r r q r r r r r q r − + + = + = + = + 因为 1 2 r r 0 ，所以经有限 n 步后必有 1 0 n r + = 。这时， 1 1 2 2 3 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n a b b r r r r r r r r = = = = = = − 这种算法叫 Euclid 算法，也叫辗转相除法。 8.1.3 有理整数环的理想 定义 8.1（理想的定义） 设 I 是 Z 的一个非空子集，且满足下列条件： （i） 若 a b I , ，则 a b I − ； （ii） 若 a I ，则对任意 bZ 有 ab I ， 则 I 称为 Z 的一个理想。 显然，单由 0 组成的子集{0}及 Z 自身都是理想，这两个理想称作平凡理想，{0}称为 零理想。 Z 的其他理想称为非平凡理想。 定义 8.2（主理想的定义） 任给 aZ ，定义 ( ) { | }, a ka k = Z 则称 ( ) a 为由 a 生成的主理想。 显然，(0)={0},(1)= Z 为平凡理想，其他理想均为非平凡主理想。关于理想，我们有 以下简单的性质： 1） ( ) ( ) a b 且 ( ) {0} | b b a ； 2） ( ) ( ) a b a b = = 。 命题 有理整数环的理想都是主理想，即设 I 是 Z 的一个理想，则存在非负整数 a ， 使 I a = ( )。 证明 若 I 是零理想{0}，取 a =0 即可。现设 I {0} ，于是 I 中必有非零之整数，现 令 a 为 I 中的最小正整数，他显然存在且唯一。此时对任意 k Z 都有 ka I ，于是 ( ) a I 。 反之，设 b 为 I 中任意整数，按带余除法，存在 q r, Z ，使 b aq r r a = + , 0 。又因 r b aq I = − ，由 a 的最小性知 r = 0 。故 b aq a = ( ) ，即 I a ( ) 。于是 I a = ( ) 。 定义 8.3（主理想整环（PID）的定义） 设 R 为一交换环，如果 R 中的理想皆为主 理想，则称 R 为主理想环。如果 R 同时又为整环（即环 R 至少包含两个元素，交换，有幺 元，无零因子），则称 R 为主理想整环。 现在我们来看一下理想的性质：
给定Z的两个理想1,l2,则 1)它们的交集∩l2也是Z的理想,称为此两理想的交; 2)定义 1+l2={a+a2|a1∈l12a2∈l2} 则l1+l2也是Z的理想,称为l1,12的和。 我们不难得到关于理想的两个重要结论 结论1设a,b是两个非零整数,m是a,b的最小公倍数,则(a)∩(b)=(m)。 结论2设a,b是两个不全为零的整数,则(a)+(b)=(d),其中d=(a,b) 作为结论2的推论,我们有一个重要的结果: 命题设a,b是两个不全为零的整数,则下面命题互相等价: (i)a,b互素,即(a,b)=1; (i)有L,v∈Z,使la+vb=1 (i)(a)+(b)=Z=(1) 8.1.4因子唯一分解定理 定义8.4(唯一分解整环的定义)设R为一整环(即环R至少包含两个元素,交换 有幺元,无零因子)。如果R满足下列两条件,则R叫做一个唯一(因子)分解整环(也叫 高斯整环) 1)R的每个非零非单位的元素n恒可以写成有限多个不可约元素的积 n=P1P2…P 2)上述分解在相伴意义下是唯一的,即若元素n有两种分解 a=p1P2…pPn=q1q2…q,。则r=s而且适当改变q1的角标可使 q=P,(或在抽象意义下q1≡P1)(=1,2,…,r) 在抽象代数课程中,我们将用(1)因子链条件(参见习题一第7题)和(2)整环R 中的不可约元即为素元素(即下面的引理)来证明定理主理想整环是唯一分解整环。 在这里,我们仅就有理整数环这一特殊情形给出证明,即有下面的定理 定理(算术基本定理)任一正整数n>1都能表成若干素数的乘积 n=P1P2…P,P2(i=1,2,…,s)为素数 并且若不计p,的排列次序,上述表法唯一 先证明引理(有理整数环中的素因子即为不可约因子)设p是素数,且a,b∈Z。若 p|ab,则p|a或p|b。事实上,因p只有两个正因子1和p,故(Pa)=P或1。若 (P,a)=p,则p|a;而若(p,a)=1,即有n,v∈Z使得la+W=1,另一方面可设
给定 Z 的两个理想 1 2 I I, ，则 1） 它们的交集 1 2 I I 也是 Z 的理想，称为此两理想的交； 2） 定义 1 2 1 2 1 1 2 2 I I a a a I a I + = + { | , } 则 1 2 I I + 也是 Z 的理想，称为 1 2 I I, 的和。 我们不难得到关于理想的两个重要结论： 结论 1 设 a b, 是两个非零整数， m 是 a b, 的最小公倍数，则 ( ) ( ) ( ) a b m = 。 结论 2 设 a b, 是两个不全为零的整数，则 ( ) ( ) ( ) a b d + = ，其中 d a b = ( , ) 。 作为结论 2 的推论，我们有一个重要的结果： 命题 设 a b, 是两个不全为零的整数，则下面命题互相等价： （i） a b, 互素，即 ( , ) 1 a b = ； （ii）有 u v, Z ，使 ua vb + =1 ； (iii) ( ) ( ) (1) a b + = Z= . 8.1.4 因子唯一分解定理 定义 8.4（唯一分解整环的定义）设 R 为一整环（即环 R 至少包含两个元素，交换， 有幺元，无零因子）。如果 R 满足下列两条件，则 R 叫做一个唯一（因子）分解整环（也叫 高斯整环）： 1） R 的每个非零非单位的元素 n 恒可以写成有限多个不可约元素的积 1 2 r n p p p = ； 2 ） 上 述 分 解 在 相 伴 意 义 下 是 唯 一 的 ， 即 若 元 素 n 有两种分解 1 2 1 2 r s a p p p q q q = = 。则 r s = 而且适当改变 i q 的角标可使 i i q p = （或在抽象意义下 i i q p ） ( 1,2,..., ) i r = 。 在抽象代数课程中，我们将用（1）因子链条件（参见习题一第 7 题）和（2）整环 R 中的不可约元即为素元素（即下面的引理）来证明 定理 主理想整环是唯一分解整环。 在这里，我们仅就有理整数环这一特殊情形给出证明，即有下面的定理： 定理（算术基本定理） 任一正整数 n 1 都能表成若干素数的乘积 1 2 s n p p p = ， ( 1,2, , ) i p i s = 为素数 并且若不计 i p 的排列次序，上述表法唯一。 先证明引理（有理整数环中的素因子即为不可约因子）设 p 是素数，且 a b, Z 。若 p ab | ，则 p a| 或 p b| 。事实上，因 p 只有两个正因子 1 和 p ，故 ( , ) p a p = 或 1。若 ( , ) p a p = ，则 p a| ；而若 ( , ) 1 p a = ，即有 u v, Z 使得 ua vp + =1 ，另一方面可设
ab=k,k∈Z,于是 b= b(ua+vp)=bua+bvp =ukp+bvp=(uk +bv)p 故p|b 运用数学归纳法,就有若素数p整除a1a2…an,则p整除某个因子a1。 现在可以来证明定理本身了。 存在性对n用数学归纳法。当n=2时,结论显然成立 故可设n>2,并设结论对1的正整数n都可以唯一的表成 p1p2…P 的形状,其中P1<P2<…<P,是素数,而a2a2…a,是正整数,这叫做n的素因子标准 分解式。上面的定理又称为因子分解为一定理
ab kp = ， k Z ，于是 ( ) ( ) b b ua vp bua bvp ukp bvp uk bv p = + = + = + = + 故 p b| 。 运用数学归纳法，就有若素数 p 整除 1 2 n a a a ，则 p 整除某个因子 i a 。 现在可以来证明定理本身了。 存在性 对 n 用数学归纳法。当 n = 2 时，结论显然成立。 故可设 n 2 ，并设结论对 2 的正整数已经成立。 若 n 是素数，则 n p = 即为所求的分解式；若 n 为合数，则 n kl k l n = ,1 , 。又归 纳假设， kl, 均可表成若干素数的乘积，当然 n 也有这样的分解式。 唯一性 若又有 1 2 t n q q q = ， ( 1,2,..., ) i q i t = 为素数 由引理可知 1 p 必整除某个 i q ，不失普遍性，可设 1 1 p q| 。因 1 1 p q, 都是素数，故得 1 1 p q = 。 于是 2 2 1 s t n p p q q p = = 又归纳假设，对 1 n p 成立分解式的唯一性，从而得到 n 的分解式的唯一性。又算术基本定理， 每个 1 的正整数 n 都可以唯一的表成 1 2 1 2 s s n p p p = 的形状，其中 1 2 s p p p 是素数，而 1 2 , ,..., s 是正整数，这叫做 n 的素因子标准 分解式。上面的定理又称为因子分解为一定理
