第二学期第二十三次课 §4单变量有理函数域 941域上的一元有理分式域的定义 设R为一整环,命S={(b,a)|a,b∈R,a≠0}。现在S中规定~为 (b,a)~(d,c)分be=ad 逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知-为一等价关系。用(b,a)表示与(b,a) 等价的元素的全体。现记S关于~的等价类的集合为5,则(ba)是5中的元素。下面 在5/上定义二元运算 (a, b)+(c, d)=(ad+bc, bd) (a, b)(c, d=(ac, bd) 可以验证 (1)+,是良定义的,即与等价类代表元的选择无关 (2)(5+,)对加法构成交换群,(,+)-0)对乘法也构成交换群,且加法和乘 法满足分配律。 于是,(%,+,)构成域,称之为R的分式域或商城,将+)中的元素(ab记为 b,则(S+)中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。 定义915(城上的元有理分式域)若R=kK[,则记(+,为K(x,并将其 称之为域上的一元有理分式域,其元素形如8(x)((x)≠0 f(x) 942有理分式的准素分解式 定义916(准素分式)在K(x)内的一个分式q(x)/p(x),如果其中p(x)是首一不可 约多项式,而degq(x)<degp(x),则称之为准素分式。 定理K(x)内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和 证明:设∈K(x),且不妨设(∫(x),g(x)=1,degg(x)<deg∫(x)。设∫(x)的
第二学期第二十三次课 §4 单变量有理函数域 9.4.1 域上的一元有理分式域的定义 设 R 为一整环，命 S b a a b R a = {( , ) | , , 0} 。现在 S 中规定 为 ( , ) ( , ) b a d c bc ad = 逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知 为一等价关系。用 ( , ) b a 表示与 ( , ) b a 等价的元素的全体。现记 S 关于 的等价类的集合为 S ，则 ( , ) b a 是 S 中的元素。下面 在 S 上定义二元运算： ( , ) ( , ) ( , ) a b c d ad bc bd + = + ( , ) ( , ) ( , ) a b c d ac bd = 可以验证： （1） +, 是良定义的，即与等价类代表元的选择无关； （2） ( , , ) S + 对加法构成交换群， ( , , ) {0} S + − 对乘法也构成交换群，且加法和乘 法满足分配律。 于是， ( , , ) S + 构成域，称之为 R 的分式域或商域，将 ( , , ) S + 中的元素 ( , ) a b 记为 a b ，则 ( , , ) S + 中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。 定义 9.15 （域上的一元有理分式域） 若 R K x = [ ] ，则记 ( , , ) S + 为 K x( ) ，并将其 称之为域上的一元有理分式域，其元素形如 ( ) ( ( ) 0) ( ) g x f x f x 。 9.4.2 有理分式的准素分解式 定义 9.16 （准素分式）在 K x( ) 内的一个分式 ( ) ( )k q x p x ，如果其中 p x( ) 是首一不可 约多项式，而 deg ( ) deg ( ) q x p x ，则称之为准素分式。 定理 K x( ) 内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和。 证明：设 ( ) ( ) ( ) g x K x f x ，且不妨设 ( ( ), ( )) 1,deg ( ) deg ( ) f x g x g x f x = 。设 f x( ) 的
素因子标准分解式为: f(x)=p2(x)2…p2(x) 则存在u(x),v(x)∈K[x],使得 l(x)p2(x)2+v(x)(P2(x)2…P,(x)2)=1 于是 g(x)((x)P1(x)+v(x)(P2(x)2…P2(x))g(x) f(x) p(x)…p2(x) u(x)g(x) v(x)g(x) (x)2…P(x)B(1)(归纳的做下去) (x)B()+…+9(x) q1(x),q2(x) ()(且不难得deg9(x)<degP(x) 将q1(x)表成q(x)的方幂的K[x]-线性组合 91(x)=9(x)+q1(x)p(x)+q2(x)P(x)+…+9m(x)2(x) 将其带入即得f(x)的准素分解式 注:1)C(x)内的准素分式应为b(x-a)(a,b∈C),又上面的定理,可知C(x)内任 真分式r(x)g(x)可分解为 r(x/g()-22 ba F(@, bs.EC) 2)R(x)内的准素分式有下列两种类型 b/(x-a),(ax+b)/(x+px+q) 其中a,b,a,b,p,q∈R,且p2-4q<0 第十章多元多项式环 §2对称多项式 10.2.1对称多项式、初等对称多项式的定义 名词n阶置换 考察前n个自然数组成的集合={1,2,…,n}.9到自身的一个一一对应称为一个n阶 置换。以Sn记{2,,n}的所有置换组成的集合(不难知它有n!个元素),若r∈Sn,则z可 由下面的表来描述: hl…ln 其含义是:把k变为(k=1,2…,n)。若Vz1,2∈Sn,定义和2的乘法。为连续作用 r1°z2,则易验证(Sn,°)构成群
素因子标准分解式为： 1 1 ( ) ( ) ( ) s e e s f x p x p x = 则存在 u x v x K x ( ), ( ) [ ] ，使得 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) 1 s e e e s u x p x v x p x p x + = 于是 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( deg ( ) deg ( ) ) ( ) ( ) ( ) = s s s i s e e e s e e s e e e s s e e e e i i s g x u x p x v x p x p x g x f x p x p x u x g x v x g x p x p x p x q x q x q x q x p x p x p x p x + = = + + + + 归纳的做下去 且不难得 将 ( ) i q x 表成 ( ) i q x 的方幂的 K x[ ]−线性组合： 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i e i i i i i i ie i q x q x q x p x q x p x q x p x = + + + + 将其带入即得 f x( ) 的准素分解式。 注：1） C( ) x 内的准素分式应为 ( ) ( , ) C k b x a a b − ，又上面的定理，可知 C( ) x 内任 一真分式 r x g x ( ) ( ) 可分解为： 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) C i i i i i r n ik k i ik i k i b r x g x a b = = x a = − 2） R( ) x 内的准素分式有下列两种类型： 2 /( ) ,( ) /( ) , k l b x a ax b x px q − + + + 其中 a b a b p q , , , , , R ，且 2 p q − 4 0。 第十章 多元多项式环 §2 对称多项式 10．2．1 对称多项式、初等对称多项式的定义 名词 n 阶置换 考察前 n 个自然数组成的集合 = {1,2,..., }. n 到自身的一个一一对应称为一个 n 阶 置换。以 n S 记 {1, 2,.., }n 的所有置换组成的集合（不难知它有 n! 个元素），若 n S ，则 可 由下面的表来描述： 1 2 3 1 2 3 n n i i i i = 其含义是： 把 k 变为 ( 1,2,..., ) k i k n = 。若 1 2 , n S ，定义 1 和 2 的乘法 为连续作用 1 2 ，则易验证 ( , ) n S 构成群
定义10.1对称多项式 现设f(x,x2y…,xn)∈K[x1,x2…,xn,a∈Sn,定义 f(x1,x2,…,x)=f(x(,x(2)2…,x(m)∈k[x,x2…,xn 这样σ定义了K[x1,x2…,xn]内的一个变换。 如果对一切σ∈Sn,σ∫(x1,x2…xn)=f(x12x2…,xn),则称∫(x12x2…,x)是 K[x12x2,…,xn]内的一个对称多项式 定义10.2初等对称多项式 现考虑n+1个不定元x1,x2…xn,x的多项式 f∫=(x-x)x-x2)…(x-xn) =x"-a1x+…+(-1)”on, 其中 G1=x1+x2+…+xn G2=x1X2+x1x3+……+xn-1x Gn=x1x2x3……xn 易知σ(G)=σ,(=1,2,…,m)即σ1,O2…,n都是K[x1,x2…,xn]内的对称多项式。我们 把这n个特殊的对称多项式称为初等对称多项式
定义 10.1 对称多项式 现设 1 2 1 2 ( , ,..., ) [ , ,..., ], , n n n f x x x K x x x S 定义 1 2 (1) (2) ( ) 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) [ , ,..., ] n n n f x x x f x x x K x x x = 这样 定义了 1 2 [ , ,..., ] K x x xn 内的一个变换。 如果对一切 n S ， 1 2 ( , ,..., ) n f x x x = 1 2 ( , ,..., ) n f x x x ，则称 1 2 ( , ,..., ) n f x x x 是 1 2 [ , ,..., ] K x x xn 内的一个对称多项式。 定义 10.2 初等对称多项式 现考虑 n+1 个不定元 1 2 , ,..., , n x x x x 的多项式： 1 2 1 1 ( )( ) ( ) ( 1) , n n n n n f x x x x x x x x − = − − − = − + + − 其中， 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 2 3 , . . n n n n n x x x x x x x x x x x x x − = + + + = + + + = 易知 ( ) ( 1,2,..., ), i i = =i n 即 1 2 , ,..., n 都是 1 2 [ , ,..., ] K x x xn 内的对称多项式。我们 把这 n 个特殊的对称多项式称为初等对称多项式