《高等代数》教学大纲(教学计划) 第一学期 第一周: (第一章§1) 代数系统的概念:数域的定义; 定理任一数域都包含有理数域 集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念:求和号与求积号 (第一章§2) 高等代数基本定理及其等价命题; 推论数域上的两个次数小于m的多项式如果在m个不同的复数处的取值相等,则此 二多项式相等 韦达定理 实系数代数方程的根成对出现 推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。 第二周: (第一章§3) 数域K上的线性方程组的初等变换的定义 命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解; 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的以及矩阵的初等变换的定义; 线性方程组无解、有唯一解和有无穷多解的判别准则 命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解: 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关(这不同于高次代数方程)。 (第二章§1) 向量和n维向量空间的定义及性质 线性组合和线性表出的定义 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述。 第三周: (第二章§1) 向量组的秩
《高等代数》教学大纲（教学计划） 第一学期 第一周： （第一章 §1） 代数系统的概念；数域的定义； 定理 任一数域都包含有理数域； 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念；求和号与求积号。 （第一章 §2） 高等代数基本定理及其等价命题； 推论 数域上的两个次数小于 m 的多项式如果在 m 个不同的复数处的取值相等，则此 二多项式相等； 韦达定理； 实系数代数方程的根成对出现； 推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。 第二周： （第一章 §3） 数域 K 上的线性方程组的初等变换的定义； 命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解； 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的以及矩阵的初等变换的定义； 线性方程组无解、有唯一解和有无穷多解的判别准则； 命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。 （第二章 §1） 向量和 n 维向量空间的定义及性质； 线性组合和线性表出的定义； 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述。 第三周： （第二章 §1） 向量组的秩；
向量组的线性等价;极大线性无关组; 集合上的等价关系。 (第二章§2) 矩阵的行秩与列秩,行(列)初等变换不改变行(列)秩; 命题矩阵的行(列)初等变换不改变列(行)秩; 矩阵的转置 推论矩阵的行、列秩相等,称为矩阵的秩,矩阵A的秩记为r(A); 满秩方阵; 矩阵的相抵:;相抵是等价关系;秩是相抵等价类的完全不变量 用初等变换求矩阵的秩。 第四周: (第二章§3) 齐次线性方程组的基础解系 定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵 的秩 基础解系的求法 非齐次线性方程组的解的结构。 (第二章§4) 矩阵的加法和数乘的定义 矩阵的乘法的定义, 矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)的性质 矩阵的和与积的秩。 第五周 (第二章§5) n阶方阵,对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵,初等矩阵,对称、反对称、上三角、下三 角矩阵 命题矩阵的初等行(列)变换等价于左(右)乘初等矩阵 定理一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。 推论设A是满秩矩阵,对于任意矩阵B,C,有r(AB)=r(B),r(CA)=r(C)(只要 乘法有意义) 可逆矩阵,方阵的逆矩阵的定义;
向量组的线性等价；极大线性无关组； 集合上的等价关系。 （第二章 §2） 矩阵的行秩与列秩，行（列）初等变换不改变行（列）秩； 命题 矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩； 矩阵的转置； 推论 矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵 A 的秩记为 r (A) ； 满秩方阵； 矩阵的相抵；相抵是等价关系；秩是相抵等价类的完全不变量； 用初等变换求矩阵的秩。 第四周： （第二章 §3） 齐次线性方程组的基础解系； 定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵 的秩； 基础解系的求法； 非齐次线性方程组的解的结构。 （第二章 §4） 矩阵的加法和数乘的定义； 矩阵的乘法的定义， 矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质； 矩阵的和与积的秩。 第五周： （第二章 §5） n 阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三 角矩阵； 命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵； 定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。 推论 设 A 是满秩矩阵，对于任意矩阵 B, C ，有 r (AB) = r (B) ，r (CA) = r (C) （只要 乘法有意义）. 可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义；
群和环的定义 命题数域K上的n阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群,称为K上的二般线性 群,记为GL,(K):数域K上的n阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环,称为K上的 全矩阵环,记为Mn(K) 可逆矩阵转置的逆矩阵 命题矩阵可逆当且仅当满秩; 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,矩阵方程AX=B和XA=B的解法(A为可逆阵); 例设A和B为数域K上的m×n和n×s矩阵,则 r(AB)≥r(A)+r(B)-n 第六周: (第二章§6) 分块矩阵的乘法,准对角阵的乘积和秩,可逆准对角阵的逆矩阵; 命题分块矩阵 的秩大于等于A与B的秩的和 命题设A、B、C为数域K上的三个可以连乘的矩阵,则 r(ABC)+r(B)>r(AB)+ r(BC) 矩阵分块技巧的运用(挖洞法) (第三章§1,§2) 平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 利用上述三条性质定义n阶方阵的行列式函数的det 定理行列式函数存在、唯 行列式的六条性质 第七周 (第三章§2) 行列式的展开式 范德蒙行列式 准对角阵的行列式 可微函数的方阵的行列式的微商 (第三章§3) 行列式的应用:用行列式求逆矩阵:克莱姆法则(解线性方程组); 矩阵乘积的行列式
群和环的定义； 命题 数域 K 上的 n 阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为 K 上的一般线性 群，记为 GL (K) n ；数域 K 上的 n 阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为 K 上的 全矩阵环，记为 M (K) n ； 可逆矩阵转置的逆矩阵； 命题 矩阵可逆当且仅当满秩； 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵方程 AX = B 和 XA = B 的解法（ A 为可逆阵）； 例 设 A 和 B 为数域 K 上的 m n 和 n s 矩阵，则 r (AB) r (A) +r (B) − n. 第六周： （第二章 §6） 分块矩阵的乘法，准对角阵的乘积和秩，可逆准对角阵的逆矩阵； 命题 分块矩阵 B A C 0 的秩大于等于 A 与 B 的秩的和； 命题 设 A 、 B 、C 为数域 K 上的三个可以连乘的矩阵，则 r (ABC) + r (B) r (AB) + r (BC). 矩阵分块技巧的运用（挖洞法）。 （第三章 §1，§2） 平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质； 利用上述三条性质定义 n 阶方阵的行列式函数的 det； 定理 行列式函数存在、唯一； 行列式的六条性质。 第七周： （第三章 §2） 行列式的展开式； 范德蒙行列式； 准对角阵的行列式； 可微函数的方阵的行列式的微商。 （第三章 §3） 行列式的应用：用行列式求逆矩阵；克莱姆法则（解线性方程组）； 矩阵乘积的行列式；
用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩。 第八周: (第三章§4) 行列式的完全展开式 期中考试 第九周: (第四章§1) 线性空间的定义及例 零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、 乘法类似的性质 线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价 表述,向量组的秩,向量组的线性等价;极大线性无关组 线性空间的基与维数,向量的坐标。 第十周: (第四章§1,§2) 线性空间的基变换,基的过渡矩阵 向量的坐标变换公式:K"中的两组基的过渡矩阵 线性空间的子空间的定义(等价于在减法和数乘下封闭) 子空间的交与和,生成元集 维数公式 第十一周: (第四章§2) 子空间的直和的四个等价定义; 直和因子的基的并构成直和的基 补空间的定义及存在性(通常不唯一)。 线性空间关于一个子空间的同余关系(是等价关系) 商空间的定义(线性空间V关于子空间W的商空间记为V/W),定义的合理性 命题dm=dmW+dmV/W 商空间的基的选取 第十二周:
用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩。 第八周： （第三章 §4） 行列式的完全展开式。 期中考试。 第九周： （第四章 §1） 线性空间的定义及例； 零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、 乘法类似的性质； 线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价 表述，向量组的秩，向量组的线性等价；极大线性无关组。 线性空间的基与维数，向量的坐标。 第十周： （第四章 §1，§2） 线性空间的基变换，基的过渡矩阵； 向量的坐标变换公式； n K 中的两组基的过渡矩阵； 线性空间的子空间的定义（等价于在减法和数乘下封闭）。 子空间的交与和，生成元集； 维数公式。 第十一周： （第四章 §2） 子空间的直和的四个等价定义； 直和因子的基的并构成直和的基； 补空间的定义及存在性（通常不唯一）。 线性空间关于一个子空间的同余关系（是等价关系） 商空间的定义（线性空间 V 关于子空间 W 的商空间记为 V /W ），定义的合理性； 命题 dimV = dimW + dimV /W ； 商空间的基的选取。 第十二周：
(第四章§3) 线性映射的定义(由数域K上的线性空间U到V的K-线性映射的全体记为 omx(U,V),或简记为Hom(U,V); 线性空间的同构的定义,同构映射的逆映射也是同构映射 线性映射的核(ker)、像(im)与余核( coker)的定义 命题线性映射∫是单的当且仅当ker∫={0},∫是满的当且仅当 coker∫={0 定理(同态基本定理)设∫:U→V是数域K上的线性空间的满线性映射,则映射 kerb(a) 是同构映射 线性映射的加法和数乘的定义,Homx(U,V)在加法和数乘下构成数域K上的线性空 线性映射在一组基下的矩阵的定义 命题设U和V是数域K上的线性空间,dmU=n,dmV=m,则Homκ(U,V)同 构于K上的m×n矩阵的全体构成的线性空间 线性映射的复合的矩阵等于矩阵的乘积。 第十三周: (第四章§3) 线性空间到自身的线性映射称为线性变换(Homk(,V)记为Endk()或End(V)); End()关于加法和复合(作为乘法)构成环,称为V的自同态环;设V为数域K上的 n维线性空间,则End()同构于Mn(k) 线性变换(在一组基下)的矩阵的定义是线性映射的矩阵的特例;在给定的基下向量在 线性变换下的像的坐标等于的线性变换的矩阵乘以原来向量的坐标 命题设线性变换A在一组基E1,…6n下的矩阵为A,由基E1,…En到基刀1,…,nn的 过渡矩阵为T,则A在刀1,…刀n下的矩阵为TAT 矩阵的相似的定义;二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵 (第四章§4 线性变换的特征值与特征向量的定义 线性空间V中属于确定的特征值λ的特征向量(添加上零向量)构成子空间,称为属于 特征值λ的特征子空 特征值和特征子空间的计算(用特征多项式以及线性方程组)
（第四章 §3） 线性映射的定义（由数域 K 上的线性空间 U 到 V 的 K - 线性映射的全体记为 Hom (U,V) K ，或简记为 Hom (U,V) ）； 线性空间的同构的定义，同构映射的逆映射也是同构映射； 线性映射的核（ker）、像（im）与余核（coker）的定义； 命题 线性映射 f 是单的当且仅当 ker f = {0}， f 是满的当且仅当 coker f = {0} . 定理（同态基本定理） 设 f :U →V 是数域 K 上的线性空间的满线性映射，则映射 ker ( ) / ker , f f U f V + → 是同构映射. 线性映射的加法和数乘的定义，Hom (U,V) K 在加法和数乘下构成数域 K 上的线性空 间； 线性映射在一组基下的矩阵的定义； 命题 设 U 和 V 是数域 K 上的线性空间， dimU = n ，dimV = m ，则 Hom (U,V) K 同 构于 K 上的 m n 矩阵的全体构成的线性空间. 线性映射的复合的矩阵等于矩阵的乘积。 第十三周： （第四章 §3） 线性空间到自身的线性映射称为线性变换（Hom (V,V) K 记为 End (V) K 或 End (V ) ）；. End (V ) 关于加法和复合（作为乘法）构成环，称为 V 的自同态环；设 V 为数域 K 上的 n 维线性空间，则 End (V ) 同构于 M (K) n ； 线性变换（在一组基下）的矩阵的定义是线性映射的矩阵的特例；在给定的基下向量在 线性变换下的像的坐标等于的线性变换的矩阵乘以原来向量的坐标； 命题 设线性变换 A 在一组基 n , , 1 下的矩阵为 A ，由基 n , , 1 到基 n , , 1 的 过渡矩阵为 T ，则 A 在 n , , 1 下的矩阵为 T AT −1 . 矩阵的相似的定义；二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。 （第四章 §4） 线性变换的特征值与特征向量的定义； 线性空间 V 中属于确定的特征值 的特征向量（添加上零向量）构成子空间，称为属于 特征值 的特征子空间； 特征值和特征子空间的计算（用特征多项式以及线性方程组）
第十四周: (第四章§4) 命题线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关 推论n维空间的具有n个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵 定理n维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子 空间的直和 线性变换的不变子空间的定义; 命题n维空间线性变换的矩阵相似于准对角矩阵的充分必要条件是该空间能分解为 不变子空间的直和 命题如果n维空间线性变换A的矩阵相似于对角矩阵,则A在任一不变子空间上(的 限制)的矩阵相似于对角矩阵 (第四章§5) 线性变换在(关于不变子空间的)商空间上的诱导变换的定义; 命题设A是n维线性空间V上的线性变换,W是A的不变子空间,则A的特征多项 式等于Am的特征多项式与A在商空间V/W上的诱导变换的特征多项式的乘积 命题设A是数域K上的n线性空间V上的线性变换,则A的特征多项式的根都属于 K当且仅当A在V的某组基下的矩阵为上三角形 第十五周: (第五章§1) 线性空间上的线性函数的定义; 数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成K上的n维 线性空间,称为V的对偶空间,记为V 线性空间上的双线性函数的定义 线性函数在给定基下的矩阵:; 数域K上的n维线性空间V上的双线性函数的全体关于函数加法和数乘构成K上的 维线性空间(与Mn(K)作为K上线性空间同构) 命题设线性空间上的双线性函数∫在一组基E1,…,6n下的矩阵为A,由基 E1,…En到基n12…n的过渡矩阵为T,则∫在n12…7n下的矩阵为TT 矩阵合同的定义;合同是一个等价关系 双线性函数的秩定义为该函数在一组基下的矩阵的秩 线性空间上的对称双线性函数、二次型函数的定义
第十四周： （第四章 §4） 命题 线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关. 推论 n 维空间的具有 n 个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵. 定理 n 维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子 空间的直和. 线性变换的不变子空间的定义； 命题 n 维空间线性变换的矩阵相似于准对角矩阵的充分必要条件是该空间能分解为 不变子空间的直和. 命题 如果 n 维空间线性变换 A 的矩阵相似于对角矩阵，则 A 在任一不变子空间上（的 限制）的矩阵相似于对角矩阵. （第四章 §5） 线性变换在（关于不变子空间的）商空间上的诱导变换的定义； 命题 设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， W 是 A 的不变子空间，则 A 的特征多项 式等于 A W | 的特征多项式与 A 在商空间 V /W 上的诱导变换的特征多项式的乘积. 命题 设 A 是数域 K 上的 n 线性空间 V 上的线性变换，则 A 的特征多项式的根都属于 K 当且仅当 A 在 V 的某组基下的矩阵为上三角形。 第十五周： （第五章 §1） 线性空间上的线性函数的定义； 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成 K 上的 n 维 线性空间，称为 V 的对偶空间，记为 V ； 线性空间上的双线性函数的定义； 双线性函数在给定基下的矩阵； 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的双线性函数的全体关于函数加法和数乘构成 K 上的 2 n 维线性空间（与 M (K) n 作为 K 上线性空间同构）； 命题 设线性空间 V 上的双线性函数 f 在一组基 n , , 1 下的矩阵为 A ，由基 n , , 1 到基 n , , 1 的过渡矩阵为 T ，则 f 在 n , , 1 下的矩阵为 T AT . 矩阵合同的定义；合同是一个等价关系； 双线性函数的秩定义为该函数在一组基下的矩阵的秩。 线性空间上的对称双线性函数、二次型函数的定义；
对称双线性函数与二次型函数一一对应 定理数域K上的n维线性空间V上的双线性函数的矩阵必合同于对角阵 (第五章§1) 数域上的二次型的定义,二次型∫对应的二次型函数Q(a)的定义:二次型的矩阵和 秩的定义; 定理数域K上的n元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形 二次型化为标准形的计算方法(配方法)。 第十六、十七周 复习与期末考试。 第二学期 第一周: (第五章§3) 定理复数域上的任一二次型∫在可逆变数替换下都可化为规范形 其中r是∫的秩.复二次型的规范形是唯一的 定理实数域上的任一二次型∫在可逆变数替换下都可化为规范形 其中正平方项的个数p称为∫的正惯性指数,负平方项的个数q称为∫的负惯性指数 (p-q称为∫的符号差),p+q是∫的秩实二次型的规范形是唯一的 正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型 正定二次型的(实对称)矩阵称为正定矩阵; 方阵的顺序主子式的定义; 定理设∫是实二次型,则下述四条等价: (i)f正定 (ii)∫的矩阵A=T'T,其中T为可逆阵; (ii)f对应的二次型函数Q(a)>0(a∈R",a≠0); (iv)f的矩阵的所有顺序主子式都大于0 半正定二次型、负定二次型、半负定二次型、不定二次型的定义 第二周: (第六章§1)
对称双线性函数与二次型函数一一对应； 定理 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的双线性函数的矩阵必合同于对角阵. （第五章 §1） 数域上的二次型的定义，二次型 f 对应的二次型函数 () Qf 的定义；二次型的矩阵和 秩的定义； 定理 数域 K 上的 n 元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形. 二次型化为标准形的计算方法（配方法）。 第十六、十七周： 复习与期末考试。 第二学期 第一周： （第五章 §3） 定理 复数域上的任一二次型 f 在可逆变数替换下都可化为规范形 , 2 2 1 r z ++ z 其中 r 是 f 的秩. 复二次型的规范形是唯一的. 定理 实数域上的任一二次型 f 在可逆变数替换下都可化为规范形 , 2 2 1 2 2 1 p p p q z z z z ++ − + −− + 其中正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数，负平方项的个数 q 称为 f 的负惯性指数 （ p − q 称为 f 的符号差）， p + q 是 f 的秩. 实二次型的规范形是唯一的. 正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型； 正定二次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵； 方阵的顺序主子式的定义； 定理 设 f 是实二次型，则下述四条等价： （i） f 正定； （ii） f 的矩阵 A = T T ，其中 T 为可逆阵； （iii） f 对应的二次型函数 Qf () 0 ( R , 0) n ; （iv） f 的矩阵的所有顺序主子式都大于 0. 半正定二次型、负定二次型、半负定二次型、不定二次型的定义。 第二周： （第六章 §1）
实线性空间中二向量的内积的定义;具有内积的实线性空间称为欧几里得空间(简称欧 氏空间); 欧氏空间中向量的长度、单位向量的定义; 柯西一布尼雅可夫斯基不等式;二向量的夹角的定义,二向量正交的的定义; 有限维的欧氏空间的一组基的度量矩阵的定义; 标准正交基的定义 正交矩阵的定义;正交矩阵的等价表述(两组标准正交基间的过度矩阵); 标准正交基的求法(施密特正交化方法) 欧氏空间空间的子空间的正交补的定义(子空间的W的正交补记为W-); 命题设W是n维欧氏空间V的子空间,则V=WW 推论n维欧氏空间V中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为V的标准正交基:; 欧氏空间同构映射与同构的定义; (第六章§2) 正交变换的定义; 正交变换的四个等价表述; 命题n维欧氏空间上的正交变换的全体(关于映射的复合)构成群,称为n维正交变 换群,记为O(n) 平行地,n阶正交矩阵的全体(对于矩阵的乘法)构成群,称为n阶正交群,也记为O(m) 第一、二类正交变换的概念: 第三周 (第六章§2 命题正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1 推论正交矩阵的特征值只能是±1 命题设A是n维欧氏空间V上的正交变换,若A的特征多项式有一个根 1=e=cosq+isnp,则在V内存在互相正交的单位向量n,n2,使得 An1=cosq·-snq12, An2=snq·n1+ cos pn2 命题n维欧氏空间上的正交变换的不变子空间的正交补仍是不变子空间 定理设A是n维欧氏空间V上的正交变换,则A在V的某组标准正交基下的矩阵呈准 对角形,其主对角线由±1和如下的二阶子阵组成:
实线性空间中二向量的内积的定义；具有内积的实线性空间称为欧几里得空间（简称欧 氏空间）； 欧氏空间中向量的长度、单位向量的定义； 柯西—布尼雅可夫斯基不等式；二向量的夹角的定义，二向量正交的的定义； 有限维的欧氏空间的一组基的度量矩阵的定义； 标准正交基的定义； 正交矩阵的定义；正交矩阵的等价表述（两组标准正交基间的过度矩阵）； 标准正交基的求法（施密特正交化方法）。 欧氏空间空间的子空间的正交补的定义（子空间的 W 的正交补记为 ⊥ W ）； 命题 设 W 是 n 维欧氏空间 V 的子空间，则 ⊥ V =W W ； 推论 n 维欧氏空间 V 中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为 V 的标准正交基； 欧氏空间同构映射与同构的定义； （第六章 §2） 正交变换的定义； 正交变换的四个等价表述； 命题 n 维欧氏空间上的正交变换的全体（关于映射的复合）构成群，称为 n 维正交变 换群，记为 O (n) . 平行地， n 阶正交矩阵的全体（对于矩阵的乘法）构成群，称为 n 阶正交群，也记为 O (n) . 第一、 二类正交变换的概念； 第三周： （第六章 §2） 命题 正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于 1. 推论 正交矩阵的特征值只能是 1. 命题 设 A 是 n 维欧氏空间 V 上的正交变换，若 A 的特征多项式有一个根 0 = e i = cos + isin ，则在 V 内存在互相正交的单位向量 1 2 , ，使得 A cos sin , 1 1 2 = − A sin cos . 2 1 2 = + 命题 n 维欧氏空间上的正交变换的不变子空间的正交补仍是不变子空间. 定理 设 A 是 n 维欧氏空间 V 上的正交变换，则 A 在 V 的某组标准正交基下的矩阵呈准 对角形，其主对角线由 1 和如下的二阶子阵组成：
coS pp (第六章§3) 对称变换的定义 命题n维欧氏空间上的线性变换是对称变换当且仅当它在标准正交基下的矩阵是实 对称矩阵 命题实对称矩阵的特征根都是实数. 命题n维欧氏空间上的对称变换的属于不同特征值的特征向量必正交 命题n维欧氏空间上的对称变换的不变子空间的正交补仍是不变子空间 定理设n维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形 推论设A是n阶实对称矩阵,则存在n阶正交矩阵T,使得TA7(=T47)为对角 阵 推论n元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形. 用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法(亦即用正交线性变数替换将n元实二 次型化为标准形的计算方法) 第四周: (第六章§3) 复线性空间中内积的定义,具有内积的复线性空间称为酉空间(欧氏空间在复线性空间 上的推广) 酉空间中向量的长度、单位向量的定义 二向量正交的的定义 标准正交基的定义; 标准正交基的求法 酉矩阵的定义;酉矩阵的等价表述(两组标准正交基间的过度矩阵) 酉空间空间的子空间的正交补的定义(子空间的W的正交补记为W) 命题设W是n维酉空间V的子空间,则V=W⊕W 推论n维酉空间V中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为V的标准正交基 酉空间同构映射与同构的定义; 酉变换的定义(正交变换在酉空间上的推广); 酉变换的四个等价表述; 命题n维酉空间上的酉变换的全体(关于映射的复合)构成群,称为n维酉变换群
. sin cos cos sin − i i i i （第六章 §3） 对称变换的定义； 命题 n 维欧氏空间上的线性变换是对称变换当且仅当它在标准正交基下的矩阵是实 对称矩阵. 命题 实对称矩阵的特征根都是实数. 命题 n 维欧氏空间上的对称变换的属于不同特征值的特征向量必正交. 命题 n 维欧氏空间上的对称变换的不变子空间的正交补仍是不变子空间. 定理 设 n 维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形. 推论 设 A 是 n 阶实对称矩阵，则存在 n 阶正交矩阵 T ，使得 ( ) 1 T AT = TAT − 为对角 阵. 推论 n 元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形. 用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法（亦即用正交线性变数替换将 n 元实二 次型化为标准形的计算方法）。 第四周： （第六章 §3） 复线性空间中内积的定义，具有内积的复线性空间称为酉空间（欧氏空间在复线性空间 上的推广）； 酉空间中向量的长度、单位向量的定义； 二向量正交的的定义； 标准正交基的定义； 标准正交基的求法； 酉矩阵的定义；酉矩阵的等价表述（两组标准正交基间的过度矩阵）； 酉空间空间的子空间的正交补的定义（子空间的 W 的正交补记为 ⊥ W ）； 命题 设 W 是 n 维酉空间 V 的子空间，则 ⊥ V =W W ； 推论 n 维酉空间 V 中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为 V 的标准正交基； 酉空间同构映射与同构的定义； 酉变换的定义（正交变换在酉空间上的推广）； 酉变换的四个等价表述； 命题 n 维酉空间上的酉变换的全体（关于映射的复合）构成群，称为 n 维酉变换群
记为U(m) 平行地,n阶酉矩阵的全体(对于矩阵的乘法)构成群,称为n阶酉群,也记为U(n) 厄米特变换、厄米特矩阵、厄米特二次型的定义(对称变换、实对称矩阵、实二次型的 推广)。 (酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.) 酉空间上的线性变换的共轭变换的定义(线性变换A的共轭变换记为A”); 共轭变换的四条性质; 正规变换的定义(酉变换的推广); (将酉变换的性质推广,有一般的结果:) 命题酉空间上的线性变换A的不变子空间的正交补是共轭变换A·的不变子空间 命题酉空间上的正规变换A的属于特征值λ的特征向量的是共轭变换A的属于特 征值A的特征向量 命题酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交 定理n维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵 推论n维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵 命题厄米特变换的特征值都是实数 推论n维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵 厄米特二次型的定义; 定理厄米特二次型∫在适当的酉变数替换下可以化为标准形 f=dyy1+…+ duy,y, 其中d1,…,dn都是实数; (推广欧氏空间上的度量的概念,用以统一处理洛仑兹变换和辛变换) 数域K上的n维线性空间V的任一满秩双线性函数∫都可以定义V上的度量(以及 组基的度量矩阵);在此度量下冋样定义二个线性变换的共轭变换和正交变换 在给定的基(度量矩阵为G)下一个线性变换A(矩阵为A)的共轭变换的矩阵 A=GAG 如果A是正交变换,A的共轭变换等于A-1。 第五周: (第六章§4) 四维时空空间的度量的定义; 广义洛仑兹变换的定义(关于四维时空空间的度量的正交变换);
记为 U n( ) . 平行地， n 阶酉矩阵的全体（对于矩阵的乘法）构成群，称为 n 阶酉群，也记为 U n( ) . 厄米特变换、厄米特矩阵、厄米特二次型的定义（对称变换、实对称矩阵、实二次型的 推广）。 （酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.） 酉空间上的线性变换的共轭变换的定义（线性变换 A 的共轭变换记为 A ）； 共轭变换的四条性质； 正规变换的定义（酉变换的推广）； （将酉变换的性质推广，有一般的结果：） 命题 酉空间上的线性变换 A 的不变子空间的正交补是共轭变换 A 的不变子空间. 命题 酉空间上的正规变换 A 的属于特征值 的特征向量 的是共轭变换 A 的属于特 征值 的特征向量. 命题 酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交. 定理 n 维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 推论 n 维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 命题 厄米特变换的特征值都是实数. 推论 n 维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵. 厄米特二次型的定义； 定理 厄米特二次型 f 在适当的酉变数替换下可以化为标准形 , 1 1 1 n n n f = d y y ++ d y y 其中 d dn , , 1 都是实数； （推广欧氏空间上的度量的概念，用以统一处理洛仑兹变换和辛变换） 数域 K 上的 n 维线性空间 V 的任一满秩双线性函数 f 都可以定义 V 上的度量（以及一 组基的度量矩阵）；在此度量下同样定义一个线性变换的共轭变换和正交变换； 在给定的基（度量矩阵为 G ）下一个线性变换 A（矩阵为 A ）的共轭变换的矩阵 A = G AG −1 ， 如果 A 是正交变换，A 的共轭变换等于 A −1 。 第五周： （第六章 §4） 四维时空空间的度量的定义； 广义洛仑兹变换的定义（关于四维时空空间的度量的正交变换）；
