第二学期第二十六次课 232用一个多项式的根和另一个多项式计算结式的公式 命题设 f(x)=anx"+a1x"-+…+an(a0≠0 x) x"+bx+…+ 如果f(x),g(x)在C[x]中的分解式为 f(x)=a0(x-a1) (1) g(x)=b(x-B1)…(x-Bn) 那么 R(/,g)=ao∏g(a1)=(-1)b∏1f(B)(*) 证明在数域K上的n+m+1元多项式环Kx,y12…yn,二12…,=m]中,令 x,y1…y)=a0(x-y1)…(x-yn)( 8(x,-1,…,=n)=b2(x--1)…(x-=m)(3) 把∫按x的降幂排列,则x"的系数为an,x得系数为 )=(-1)a4(y12…,yn),k=1, 同理,把g按x的降幂排列,则xm的系数为b,x"的系数为 b(=1;…,n)=(-1)b(12…,E)k=1,2,…,m 于是有 R(f,8)= 4,n)…nn…n(4) 显然,R(,8)∈KL1…yn,x1…二n]。下面我们来说明下式成立:
第二学期第二十六次课 12.3.2 用一个多项式的根和另一个多项式计算结式的公式 命题 设 1 0 1 0 1 0 1 0 ( ) ( 0) ( ) ( 0) n n n m m m f x a x a x a a g x b x b x b b − − = + + + = + + + 如果 f x g x ( ), ( ) 在 C[ ] x 中的分解式为 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n m f x a x x g x b x x = − − = − − （1） 那么 0 0 1 1 ( , ) ( ) ( 1) ( ) n m m mn n i j i j R f g a g b f = = = = − （*） 证明 在数域 K 上的 n m+ +1 元多项式环 1 1 [ , ,..., , ,..., ] K x y y z z n m 中，令 1 0 1 1 0 1 ( , , , ) ( ) ( ) (2) ( , , , ) ( ) ( ) (3) n n m m f x y y a x y x y g x z z b x z x z = − − = − − 把 f 按 x 的降幂排列，则 n x 的系数为 0 a ， n k x − 得系数为： 1 0 1 ( , , ) ( 1) ( , , ), 1,2,..., k k n k n a y y a y y k n = − = 同理，把 g 按 x 的降幂排列，则 m x 的系数为 0 b ， m k x − 的系数为： 1 0 1 ( , , ) ( 1) ( , , ), 1,2,..., k k m k m b z z b z z k m = − = 于是有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ( , ) (4) a a y y a y y a a y y a y y a a y y a y y b b z z b z z b b z z b z z b b z z b z z n n n n n n n n n m m m m m m m m m R f g = 显然， 1 1 ( , ) [ , , , ] R f g K y y z z n m 。下面我们来说明下式成立：
R(,g)=a"∏g(y,=,…,m)(5) 首先,R(f,g是A[y12…yn,=1;…二m]中的m次齐次多项式 把(4)右端的行列式D的第一行乘以y,第二行乘以y,…第m行乘以y,第m+1 行乘以y,第m+2行乘以y2,…,第m+n行乘以y,得到一个行列式D。容易看出 D的第一列元素都是1次齐次多项式或0:第二列元素都是2次齐次多项式或0:…;第 m+n列元素都是m+n次齐次多项式或0。由于D的每一项是从D的第1,2,……,m+n 列中各取一个元素做成乘积,因此D的每一个非零项的次数为 1+2+…(n+m)==(n+m+1)(n+m) 又由行列式的性质得 D=yy2…yyy2…yD 从而D的每一个非零项的次数是 l)(n+m)-(1+2 )-(1+2+…+n) 这表明,R(,g)是K[y,…yn,=1,…2m]中的m次齐次多项式 其次证明:对每个i∈{,2…,n},有 8(, DIR, 8) 注意到 8(y,1…,=m)=b(-1)…(1-n) by+…+b2(二1…,二m)y +bn(二1,…,m)6) f(y212…,yn)=a0(y-y1)…(y1-yn) …+a ,)y a 0 我们把D的第1列乘以ym,第2列乘以ym2,…,第刀+m-1列乘以y,并且把它 们都加到第n+m列上,得到一个行列式D’。于是D=D’,利用(6)和(7)可得D的 第n+m列为
0 1 1 ( , ) ( , , , ) (5) n m i m i R f g a g y z z = = 首先， R f g ( , ) 是 1 1 [ , , , ] K y y z z n m 中的 nm 次齐次多项式。 把（4）右端的行列式 D 的第一行乘以 1 y ，第二行乘以 2 1 y ， ，第 m 行乘以 1 m y ，第 m+1 行乘以 1 y ，第 m+ 2 行乘以 2 1 y ， ，第 m n + 行乘以 1 n y ，得到一个行列式 D 。容易看出， D 的第一列元素都是 1 次齐次多项式或 0；第二列元素都是 2 次齐次多项式或 0； ；第 m n + 列元素都是 m n + 次齐次多项式或 0。由于 D 的每一项是从 D 的第 1，2， ，m n + 列中各取一个元素做成乘积，因此 D 的每一个非零项的次数为 1 1 2 ( ) ( 1)( ) 2 + + + = + + + n m n m n m 又由行列式的性质得 2 2 1 1 1 1 1 1 m n D y y y y y y D = 从而 D 的每一个非零项的次数是 1 ( 1)( ) (1 2 ) (1 2 ) 2 n m n m m n nm + + + − + + + − + + + = 这表明， R f g ( , ) 是 1 1 [ , , , ] K y y z z n m 中的 nm 次齐次多项式。 其次证明：对每个 i n {1,2, , } ，有 1 ( , , , ) | ( , ) i m g y z z R f g 注意到 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 ( , , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , )(6) ( , , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) 0 i m i i m m m k i k m i m m i n i i n n n k i k n i n n g y z z b y z y z b y b z z y b z z f y y y a y y y y a y a y y y a y y − − = − − = + + + + = − − = + + + + = (7) 我们把 D 的第 1 列乘以 n m 1 i y + − ，第 2 列乘以 n m 2 i y + − ， ，第 n m+ −1 列乘以 i y ，并且把它 们都加到第 n m+ 列上，得到一个行列式 * D 。于是 * D D= ，利用（6）和（7）可得 * D 的 第 n m+ 列为
y y-8(,=12…,=n) 从D的第n+m列提出公因子g(y,-1,…二m),由此可得 8(V,-1…,=m)R(,g) 由于 8( b(y1-21)…(y-二m) 8(y,=1…,=m)=b(y-=1)…(y-=m) 因此当i≠j时,g(,-1…,m)与8(y12-12…,m)没有次数大于零的公因子。从而 ∏8(,1,,=m)R(,g) 由于∏g(,-12…,m)与R(,8)都是m次多项式,所以可设 R(,8)=c∏8(,…m) (8) 将η,…,yn,-1,…二用0,…,0,1,…,1代入(8)和(4)得 (-1)mb=cb(-1 由上式得:c=an。反代回(8)得 R(7g)=a∏8(V,=1,m) 现在将不定元y…,y,1…二m用a12…n,B12…,Bn代入,从上式就得到 R(fg)=a∏g(a)
1 2 1 1 2 1 1 0 0 0 ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) m i m i n i i m n i i m i m y y y g y z z y g y z z g y z z − − − − 从 * D 的第 n m+ 列提出公因子 1 ( , ,..., ) i m g y z z ，由此可得 1 ( , ,..., ) | ( , ) i m g y z z R f g 由于 1 0 1 1 0 1 ( , ,..., ) ( ) ( ) ( , ,..., ) ( ) ( ) i m i i m j m j j m g y z z b y z y z g y z z b y z y z = − − = − − 因此当 i j 时， 1 ( , ,..., ) i m g y z z 与 1 ( , ,..., ) j m g y z z 没有次数大于零的公因子。从而 1 1 ( , ,..., ) | ( , ) n i m i g y z z R f g = 由于 1 1 ( , ,..., ) n i m i g y z z = 与 R f g ( , ) 都是 mn 次多项式，所以可设 1 1 ( , ) ( , ,..., ) n i m i R f g c g y z z = = （8） 将 1 1 , , , , n m y y z z 用 0,…,0,1,…,1 代入（8）和（4）得 0 0 0 1 ( 1) ( 1) n m mn n m i a b c b = − = − 由上式得： 0 m c a = 。反代回（8）得 0 1 1 ( , ) ( , ,..., ) n m i m i R f g a g y z z = = 现在将不定元 1 1 , , , , n m y y z z 用 1 1 ,..., , ,..., n m 代入，从上式就得到 0 1 ( , ) ( ) n m i i R f g a g = =
又由行列式的性质容易推出 R(,g)=(-1)"R(g,f 这样就证明了(*)式。 1233用一个多项式与它的微商的结式表达该多项式的判别式 现在设 f(x)=a0x+a1x+…+an(ao≠0) 根据前面对其判别式的定义,我们有 D)=an2∏(a-a) Isis /sn 因为 f(x)=a∏I(x f(x)=a2(x-a1)…(x-a-)x-a1)…(x-an) 以x=a1代入上式,得 f(a)=a∏(a1-a,), ∏f()=aI-a,)=(-1)2a∏(ax1-a) 从而有 Ro,f) f(a,) 这就是∫的判别式与R(f,f)之间的关系式
又由行列式的性质容易推出 ( , ) ( 1) ( , ) mn R f g R g f = − 这样就证明了（*）式。 12.3.3 用一个多项式与它的微商的结式表达该多项式的判别式 现在设 1 0 1 0 ( ) ( 0) n n n f x a x a x a a − = + + + 根据前面对其判别式的定义，我们有 2 2 2 0 1 ( ) ( ) n j i i j n D f a − = − 因为 0 1 ( ) ( ) n i i f x a x = = − ， 故 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ). n i i n i f x a x x x x − + = = − − − − 以 i x = 代入上式，得 0 1 ( ) ( ) n i i j j j i f a = = − ， ( 1) 2 2 0 0 1 , 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) n n n n n n i i j j i i i j i j n i j f a a − = = = − = − − 从而有 1 0 1 ( 1) 2 2 1 2 0 1 ( 1) 2 0 ( , ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) = = n n i i n n n j i i j n n n R f f a f a a D f − = − − − = − − − 这就是 f 的判别式与 R f f ( , ) 之间的关系式
