天津师范大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲义）考前复习总结（张少强）

冷同济三版《线性代数》 Linear algebra Y 2004-2005S QZHANG edited by LATEX 第一章:行列式 第二幸:矩阵及其运算 第三章初等变换与线 第四章向量组的线性 考前复习总结 第五章相似矩阵与二次型 期末考试模拟试题 A Final Review of Linear Algebra 讲:张少强 主讲人:张少强 标题页 sazhang@163.com 第1页共30页 计算机与信息工程学院 天津师范大学 全屏显示

天津师范大学 1òŸµ1  ™ 1Ÿ: › 9Ÿ$é 1nŸ:–CÜÜÇ . . . 1oŸ:ï˛|Ç5 . . . 1 Ÿ:Éq› Üg. œ"£[£K [£KÎâY Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 1 ê
30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú —  ”Lná5Ç5ìÍ6Linear Algebra c 2004-2005 S.Q.ZHANG edited by LATEX  c E S o ( A Final Review of Linear Algebra Ã˘<µ‹  r sqzhang@163.com 计算机与信息工程学院 天津师范大学

1第一章:行列式 复习要求 1.对角线法计算二阶和三阶行列式.上(下)三角行列式,对角行列式 第一章:行列式 2.会求排列的逆序数(P7,例4) 第二幸:矩阵及其运算 第三章初等变换与线 3.理解m阶行列式的定义D=A|=det(an)=∑(-1)a122…anm 第四章向量组的线性 第五章相似矩阵与二次型 4.熟练掌握行列式的性质,用行列式的性质计算行列式 期末考试模拟试题 模拟试题参考答案 (a)A=A (b)D D. D 主讲:张少强 (c)若DwD,则D=kD 标题页 (d)行列式中若有两行(列)完全相同或成比例,则此行列式为零 (e)行列式某一行(列)各元素均为两项之和,则此行列式可以拆成两个 行列式之和 第2页共30页 ri+k (fD D′.D D′ 5.熟练掌握利用行列式按行(列)展开的方法计算行列式,主要方法:按某 全屏显示 行(列)展开,就可以把行列式降一阶,然后形成递推关系式或者直接得 到结果 6.升阶法和范徳蒙德行列式不作要求

天津师范大学 1òŸµ1  ™ 1Ÿ: › 9Ÿ$é 1nŸ:–CÜÜÇ . . . 1oŸ:ï˛|Ç5 . . . 1 Ÿ:Éq› Üg. œ"£[£K [£KÎâY Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 2 ê
30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — 1 1òŸµ1  ™ ESᶠ1. ÈÇ{Oé⁄n1™. ˛(e)n1™, È1™. 2. ¨¶¸_SÍ(P.7, ~4); 3. n)n1™½¬. D = |A| = det(aij) = P(−1)ta1p1a2p2 · · · anpn 4. Ÿˆ›º1™5ü, ^1™5üOé1™. (a) |A| = |AT | (b) D ri↔rj === −D, D ci↔cj === −D. (c) eD k×ri −→ De, KDe = kD (d) 1™•ek¸1()É”½§'~, Kd1™è". (e) 1™,ò1()àɲè¸ëÉ⁄, Kd1™å± §¸á 1™É⁄. (f) D ri+krj === D0 , D ci+crj === D0 5. Ÿˆ›º|^1™U1()–mê{Oé1™, Ãáê{: U, 1()–m, “å±r1™¸ò, ,￾/§4Ì'X™½ˆÜ (J. 6. ,{⁄âÑ1™ÿäá¶.

第一章:行列式 第二幸:矩阵及其运算 12-4 第三章初等变换与线 例题1:用对角线法则计算3阶行列式D=-221(见课本P4例2) 第四章向量组的线性 第五章相似矩阵与二次型 34-2 期末考试模拟试题 例题2:求排列32514的逆序数.(见课本P7例4) 模拟试题参考答案 主讲:张少强 例题3:计算行列式D=-2x1中2的系数? 标题页 34x 解:由行列式定义每项只能取不同行不同列的元素.肯定要取两个不同行 不同列的和一个常数显然只能取红色位置,所以(-1)a12021a3=2x2 第3页共30页 重点复习P33-35课后习题2,35(5)7(2)(4)(6) 全屏显示

天津师范大学 1òŸµ1  ™ 1Ÿ: › 9Ÿ$é 1nŸ:–CÜÜÇ . . . 1oŸ:ï˛|Ç5 . . . 1 Ÿ:Éq› Üg. œ"£[£K [£KÎâY Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 3 ê
30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — ~K1: ^ÈÇ{KOé31™D =       1 2 −4 −2 2 1 −3 4 −2       (ÑëP.4 ~2) ~K2: ¶¸3 2 5 1 4_SÍ. (ÑëP.7 ~4) ~K3: Oé1™D =       x x −4 −2 x 1 −3 4 x       •x 2XÍ? ): d1™½¬zëêUÿ”1,ÿ”É. í½á¸áÿ”1 ÿ”x⁄òá~Í. w,êU˘⁄†ò, §±(−1)ta12a21a33 = 2x 2 ­:ESP.33-35 ë￾SK2, 3, 5(5), 7(2)(4)(6).

课后题5(5)证:递推法,按第1列展开,建立递推关系式,有 第一章:行列式 Dn=cDm-1+(1)tan 00 D-1+ 第三章初等变换与线 第四章向量组的线性 第五章相似矩阵与二次型 -1 期末考试模拟试题 课后题7(2)证:利用各列元素之和相同,提出公因式 x+(m-1)ax+(m-1)a…x+(n-1)a 主讲:张少强 标题页 D 11 1 11 1 x+(n-1 Dallas a Ti-ari 0 c-a 0 第4页共30页 x+(n-1)a 全屏显示

天津师范大学 1òŸµ1  ™ 1Ÿ: › 9Ÿ$é 1nŸ:–CÜÜÇ . . . 1oŸ:ï˛|Ç5 . . . 1 Ÿ:Éq› Üg. œ"£[£K [£KÎâY Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 4 ê
30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — ë￾K5(5) y: 4Ì{, U11–m, Ô·4Ì'X™, k Dn = xDn−1 + (−1)n+1an         −1 0 · · · 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · x −1         n−1 = xDn−1 + an ë￾K7(2) y: |^àÉÉ⁄É”, J—˙œ™ Dn =         x + (n − 1)a x + (n − 1)a · · · x + (n − 1)a a x · · · a . . . . . . . . . a a · · · x         = [x + (n − 1)a]         1 1 · · · 1 a x · · · a . . . . . . . . . a a · · · x         ri−ar1 === [x + (n − 1)a]         1 1 · · · 1 0 x − a · · · 0 . . . . . . . . . 0 0 · · · x − a         = [x + (n − 1)a](x − a) n−1

课后题7(6)证:先分解行列式再用递推法 第一章:行列式 1+a11 1+0 第三章初等变换与线 11+a2 1+0 第四章向量组的线 第五章相似矩阵与二次型 期末考试模拟试题 1+ 1+a11 1+a11 0 11+a2 11+a 主讲:张少强 标题页 1 0 第5页共30页 +anD 全屏显示

天津师 范大学 1 ò Ÿ µ 1  ™ 1  Ÿ : › 9 Ÿ $ é 1 n Ÿ : –  C Ü Ü Ç . . . 1 o Ÿ : ï ˛ |  Ç 5 . . . 1 Ÿ : É q › Ü  g . œ "  £[ £ K [ £ K Î  â Y à ˘ : ‹  r I K ê JJ II J I 1 5 ê
30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — ë ￾ K7(6) y : k © ) 1  ™ 2 ^ 4 Ì { D n =  1 + a 1 1 · · · 1 + 0 1 1 + a 2 · · · 1 + 0 ... ... ... 1 1 · · · 1 + a n  =  1 + a 1 1 · · · 1 1 1 + a 2 · · · 1 ... ... ... 1 1 · · · 1  +  1 + a 1 1 · · · 0 1 1 + a 2 · · · 0 ... ... ... 1 1 · · · a n  =  a1 0 · · · 0 0 a2 · · · 0 ... ... ... 1 1 · · · 1  + a n D n − 1 = a 1 a 2 · · · a n − 1 + a n D n − 1

123 a12 n-1 例题4计算Dn=xx1…m-2 第一章:行列式 解从第2行开始,每行×(-1)加到前一行,然后令右下角的1=(1-x)+x 第二幸:矩阵及其运算 第三章初等变换与线 将行列式表示为两个行列式之和,得 第四章向量组的线性 第五章相似矩阵与二次型 1-x1 0 期末考试模拟试题 01-x1 11 01-x1 0 0 0 01-x 0 主讲:张少强 0 0 0 1-x0 标题页 x00 01 0 01 01 第6页共30页 00 全屏显示

天津师范大学 1òŸµ1  ™ 1Ÿ: › 9Ÿ$é 1nŸ:–CÜÜÇ . . . 1oŸ:ï˛|Ç5 . . . 1 Ÿ:Éq› Üg. œ"£[£K [£KÎâY Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 6 ê
30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — ~K4 OéDn =           1 2 3 · · · n x 1 2 · · · n − 1 x x 1 · · · n − 2 . . . . . . . . . . . . x x x · · · 1           . ) l121m©, z1×(−1), \cò1, ,￾-me1 = (1 − x) + x, Ú1™L´è¸á1™É⁄,  Dn =               1 − x 1 1 · · · 1 1 0 1 − x 1 · · · 1 1 0 0 1 − x · · · 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 − x 1 x x x · · · x 1               =               1 − x 1 1 · · · 1 0 0 1 − x 1 · · · 1 0 0 0 1 − x · · · 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 − x 0 x x x · · · x 1 − x               +               1 − x 1 1 · · · 1 1 0 1 − x 1 · · · 1 1 0 0 1 − x · · · 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 − x 1 x x x · · · x x               = (1 − x) n +               −x 0 0 · · · 0 1 −1 −x 0 · · · 0 1 −1 −1 −x · · · 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . −1 −1 1 · · · −x 1 x x x · · · x x               = (1 − x) n − (−1)n−1x n = (−1)n [(x − 1)n − x n ]

2第二章:矩阵及其运算 复习要求 1.矩阵的概念.知道零矩阵,行矩阵(行向量,列矩阵(列向量),对角矩阵, 单位矩阵,对称矩阵等 第一章:行列式 第二幸:矩阵及其运算 2.矩阵的线性运算(加法和数乘)矩阵的乘法运算,矩阵的转置,方阵的行 第三章初等变换与线 第四章向量组的线性 列式以及它们的运算规律.例如 第五章相似矩阵与二次型 期末考试模拟试题 (a)(入)A=A(A); 模拟试题参考答案 (b)(入+p)A=AA+pA: (c)X(A+B)=XA+AB 主讲:张少强 d)(ABC=A(BC); 标题页 (e)入(AB)=(A入AB=A(AB); f)A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA (g)EA=AE=A 第7页共30页 (h)矩阵的乘法一般不满足交换律;即AB≠BA; ()(A+B)=A+B1 全屏显示 ()(AB)=BA (k)A=XA (1)AB=|A||B|;|AB|=|BA

天津师范大学 1òŸµ1  ™ 1Ÿ: › 9Ÿ$é 1nŸ:–CÜÜÇ . . . 1oŸ:ï˛|Ç5 . . . 1 Ÿ:Éq› Üg. œ"£[£K [£KÎâY Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 7 ê
30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — 2 1Ÿ: › 9Ÿ$é ESᶠ1. › Vg. "› , 1› (1ï˛), › (ï˛), È› , ¸†› , È°› . 2. › Ç5$é(\{⁄Ͷ), › ¶{$é, › =ò, ê 1 ™±9ßÇ$é5Æ. ~X: (a) (λµ)A = λ(µA); (b) (λ + µ)A = λA + µA; (c) λ(A + B) = λA + λB; (d) (AB)C = A(BC); (e) λ(AB) = (λA)B = A(λB); (f) A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA; (g) EA = AE = A; (h) › ¶{òÑÿ˜vÜÆ; =AB 6= BA; (i) (A + B) T = AT + BT (j) (AB) T = BTAT . (k) |λA| = λ n |A|; (l) |AB| = |A| |B|; |AB| = |BA|.

3.方阵A的伴随矩阵的定义,AA=AA=AE 4.逆矩阵的定义:η阶方阵A和B有AB=BA=E.A-1 A*.逆 第一章:行列式 矩阵可逆的充要条件是A|≠0 第二幸:矩阵及其运算 第三章初等变换与线 5.逆矩阵的性质:(A-1)-1=A,、(A)-1=(4-1),(AB)=B1A-1 第四章向量组的线性 第五章相似矩阵与二次型 6.分块对角矩阵 期末考试模拟试题 模拟试题参考答案 N、0…As O 主讲:张少强 标题页 其中A1(i=1,2,,s)都是方阵,分块对角矩阵的行列式具有性 质|A|=|A124…| 4 第8页共30页 4 全屏显示 As

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30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — 3. ê Aäë› ½¬, AA∗ = A∗A = |A|E. 4. _› ½¬: nê A⁄BkAB = BA = E. A−1 = 1 |A| A∗ . _ › å_øá^á¥|A| 6= 0 5. _› 5ü: (A−1 ) −1 = A,(AT ) −1 = (A−1 ) T ,(AB) −1 = B−1A−1 . 6. ©¨È› A =   A1 O A2 . . . O As   , Ÿ•Ai(i = 1, 2, . . . , s)—¥ê , ©¨È› 1™‰k5 ü|A| = |A1||A2| · · · |As|. A −1 =   A −1 1 O A −1 2 . . . O A−1 s  

例题1已知n阶方阵A满足A2=A,求(A+E)-1 解 第一章:行列式 第二幸:矩阵及其运算 A2=A→(A+E)(A-2E)=-2E 第三章初等变换与线 第四章向量组的线性 (A+E)(-(A-2E)=E 第五章相似矩阵与二次型 期末考试模拟试题 模拟试题参考答案 由可逆定义=(A+E) (A-2E) 例题2设n阶方阵满足A2+A-4E=O,求(A-E)-1 主讲:张少强 解 标题页 A2+A-4E=O=(A+2E)(A-E)=2E A+E(A-E)=E 第9页共30页 由可逆定义→(A-E)=3A+E 全屏显示 P67-68课后习题9,10,11,15,16,17

天津师 范大学 1 ò Ÿ µ 1  ™ 1  Ÿ : › 9 Ÿ $ é 1 n Ÿ : –  C Ü Ü Ç . . . 1 o Ÿ : ï ˛ |  Ç 5 . . . 1 Ÿ : É q › Ü  g . œ "  £[ £ K [ £ K Î  â Y à ˘ : ‹  r I K ê JJ II J I 1 9 ê
30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — ~ K 1 Æ  n  ê A ˜ v A 2 = A , ¶ ( A + E ) − 1 ) A 2 = A =⇒ ( A + E)( A − 2 E) = − 2 E =⇒ ( A + E)( − 12 ( A − 2 E)) = E d å _ ½ ¬ =⇒ ( A + E ) − 1 = − 12 ( A − 2 E ). ~K2 nê ˜vA2 + A − 4E = O, ¶(A − E)−1. ) A2 + A − 4E = O =⇒ (A + 2E)(A − E) = 2 E =⇒ ( 12 A + E)( A − E) = E d å _ ½ ¬ =⇒ ( A − E ) − 1 = 12 A + E. P.67-68 ë ￾ S K 9, 10, ,11, 15, 16, 17

本章关键是求逆矩阵 方法一用伴随矩阵求A1=kA*.参考P56例10 第一章:行列式 第二幸:矩阵及其运算 方法二用初等变换求(A,E)初等行换(E,A-1).参考P90例8 第三章初等变换与线 第四章向量组的线性 第五章相似矩阵与二次型 判断一个矩阵是可逆有很多方法 期末考试模拟试题 n阶矩阵A可逆 →存在m阶矩阵B,使AB=BA=En(定义) 主讲:张少强 →|A≠0←→A为非奇异矩阵 标题页 它的伴随矩阵A*是可逆矩阵 A的行阶梯形矩阵有n个非零行 A~En(A可经过初等变换化成标准形En) A的秩R(A)=n(←→A是满秩矩阵) 第10页共30页 A是若千个初等方阵之积 →齐次线性方程组A=0只有零解 非齐次线性方程组Ax=b只有唯一解 全屏显示 令→A的(行)列向量组线性无关 →A的n个特征值均非零

天津师 范大学 1 ò Ÿ µ 1  ™ 1  Ÿ : › 9 Ÿ $ é 1 n Ÿ : –  C Ü Ü Ç . . . 1 o Ÿ : ï ˛ |  Ç 5 . . . 1 Ÿ : É q › Ü  g . œ "  £[ £ K [ £ K Î  â Y à ˘ : ‹  r I K ê JJ II J I 1 10 ê
30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú —  Ÿ ' Ö ¥ ¶ _ › . ê{ ò : ^ ä ë › ¶ A − 1 = 1 |A|A ∗ . Î P.56 ~10. ê{ : ^ –  C Ü ¶ ( A , E ) –^1CÜ ( E , A − 1 ) . Î P.90 ~8.  ‰ ò á › ¥ å _ k È ıê{ : n› A å _ ⇐⇒  3 n› B , ¶AB = BA = E n. ( ½ ¬ ) ⇐⇒ | A| 6= 0 ⇐⇒ A è ö ¤ … › . ⇐⇒ ß  ä ë › A ∗ ¥ å _ › . ⇐⇒ A  1  F / › k n á ö " 1 . ⇐⇒ A ∼ E n ( A å ² L –  CÜz § I O / E n). ⇐⇒ A  ù R ( A) = n (⇐⇒ A ¥ ˜ ù › ). ⇐⇒ A ¥ eZá –  ê É » . ⇐⇒ ‡ g Ç 5 ê ß |Ax = 0 ê k " ) . ⇐⇒ ö ‡ g Ç 5 ê ß |Ax = b ê k ç ò ) . ⇐⇒ A  ( 1 )  ï ˛ | Ç 5 Ã ' . ⇐⇒ A  n á Aä ˛ ö "