西北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第六章 二次型

第六章二次型 变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式 f∫(x1,x2,…,xn)=a1x1+2a121x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1x +a2x2+2a23x2x3+…+2a2nx2x 称为n元二次型,简称为二次型 an∈R:称∫(x1,x2,…,xn)为实二次型(本章只讨论实二次型) an∈C:称f(x1,x2,…,xn)为复二次型 §6.1二次型的矩阵表示 1.矩阵表示:令an=an(>),则有 ∫=a1x1x1+a12x1x2+a13x1x3+…+a1nx1xn a21x211+a2X2x2+a23x23+…+a2nx2Cn tantxnx+amxnx2tan3Enx3t.+a,nxnxn dixit x1(a11+a12x2+a13x3+…+a1nxn) +x2(a211+a2)2+a23x3+…+a2nxn) +x(anx,+an,x2+an3x3+-+amxn

1 第六章 二次型 变量 x x xn , , , 1 2  的二次齐次多项式 x x xn a x a x x a x x a n x xn f 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 2 ( 1 , 2 ,  , ) = 1 1 1 + 2 + 2 ++ 2 a x a23 x2 x3 a2n x2 xn 2 + 22 2 + 2 ++ 2 + 2 + ann xn 称为 n 元二次型, 简称为二次型． aij  R ：称 ( , , , ) x1 x2 xn f  为实二次型（本章只讨论实二次型） aij  C ：称 ( , , , ) x1 x2 xn f  为复二次型 §6.1 二次型的矩阵表示 1．矩阵表示：令 a a ( j i) ji = ij  , 则有 a x x a x x a x x a n x xn f = 11 1 1 + 12 1 2 + 13 1 3 ++ 1 1 + a21 x2 x1 + a22 x2 x2 + a23 x2 x3 ++ a2n x2 xn + + an1 xn x1 + an2 xn x2 + an3 xn x3 ++ ann xn xn         = = = i j n i n j aij x x 1 1 ( ) = x1 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ++ a1n xn ( ) + x2 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ++ a2n xn + ( ) + xn an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 ++ ann xn             + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x      1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 1 2 ( , , , )

=(x1,x2…,x)"a r Ax 其中A= (1)f(x1,x2,…,x)与A是一一对应关系,且A=A (2)称A为∫的矩阵,称∫为A对应的二次型. (3)称A的秩为∫的秩即 rank f(x1,x2,…,xn)=rank4 2.标准形:找可逆线性变换x=Cy,即 C J2 使得 f(x1,x2…,xn)=d1y2+d2y2+…+dny2 将二次型∫(x1,x2,…,xn)的标准形写为矩阵形式 f=y Dy, D f=x Ax=(Cy) A(Cy)=y(C AC)y 矩阵描述:对实对称矩阵A,找可逆矩阵C,使得CAC=D 3.合同矩阵:对于A,Bnmn,若有可逆矩阵C使得CIAC=B, 称A合同于 (1)A合同于A:EIAE=A

2                         = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x         2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 ( , , , ) x Ax T = 其中             = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ,             = n x x x x  2 1 (1) ( , , , ) x1 x2 xn f  与 A 是一一对应关系, 且 A = A T ． (2) 称 A 为 f 的矩阵, 称 f 为 A 对应的二次型． (3) 称 A 的秩为 f 的秩, 即 rank f (x1 , x2 ,  , xn ) = rankA ． 2．标准形：找可逆线性变换 x = C y , 即                         =             n n nn n n n n y y y c c c c c c c c c x x x         2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 (detC  0) 使得 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x  x = d y + d y ++ d y 将二次型 ( , , , ) x1 x2 xn f  的标准形写为矩阵形式 f y D y T = ,           = d n d D  1 f x Ax (C y) A(C y) y (C AC) y T T T T = = = 矩阵描述：对实对称矩阵 A , 找可逆矩阵 C , 使得 C AC = D T ． 3．合同矩阵：对于 Ann Bnn , , 若有可逆矩阵 Cnn 使得 C AC = B T , 称 A 合同于 B ． (1) A 合同于 A ： E AE = A T

(2)A合同于B→B合同于A:(C-)B(C-)=A (3)A合同于B,B合同于S→A合同于S 定理3A合同于B→mnkA= rankB 证CAC=B→ rankB=mank(CAC)≤ ranka (C-)B(C-)=A→ ranka=rank(C+)B(C-≤ rankB 故 rankA= rankB §62化二次型为标准形 1.正交变换法 设A实对称特征值为λ1,42,…,凡n,则存在正交矩阵Q,使得 作正交变换x=Qy,可得 f=x Ax=(0y)'A(0y)=y(2 A0)y=y 4y λy2+λ2y2+…+λny2 例1f(x1,x2,x3)=2x2+5x2+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3 用正交变换化∫(x1,x2,x3)为标准形 解∫的矩阵 2-4 A的特征多项式g()=-(元-1)2(2-10)

3 (2) A 合同于 B  B 合同于 A ： C B C = A − − ( ) ( ) 1 T 1 (3) A 合同于 B , B 合同于 S  A 合同于 S 定理 3 A 合同于 B  rankA = rankB． 证 C AC = B T rankB rank (C AC) rankA T  =  C B C = A − − ( ) ( ) 1 T 1 rankA rank[(C ) B(C )] rankB 1 T 1  =  − − 故 rankA = rankB． §6.2 化二次型为标准形 1．正交变换法 设 Ann 实对称, 特征值为    n , , , 1 2  , 则存在正交矩阵 Q , 使得           = = n Q AQ     1 T 作正交变换 x = Q y , 可得 f x Ax Q y A Q y y Q AQ y y  y T T T T T = = ( ) ( ) = ( ) = 2 2 2 2 2 1 1 n n =  y +  y ++  y 例 1 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 5x + 5x + 4x x − 4x x − 8x x 用正交变换化 ( , , ) x1 x2 x3 f 为标准形． 解 f 的矩阵           − − − − = 2 4 5 2 5 4 2 2 2 A A 的特征多项式 ( ) ( 1) ( 10) 2   = −  −  −

1=2=1的两个正交的特征向量P1=1,P2=-1 A3=10的特征向量p3=2 04/3√21/3 正交矩阵Q=V√2-1322/3 1/1/32-2/3 正交变换x=Qy:标准形∫=y2+y2+10y2 例2f(x1,…,x:)=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x3x4 用正交变换化f(x1,x2,x3,x)为标准形. 解∫的矩阵A 1-101 A的特征多项式q(4)=(A-1)3(+3) 求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QAQ=A: 1/√201 Q 2222 1/20-1/ l/2 A l/2 01 1/2 正交变换x=Qy:标准形∫=y2+y2+y2-3y2 例3f(x1,x2,x3)=5x2+5x2+cx2-2x1x2+6x1x3-6x2x3,秩(厂)=2 (1)求c;(2)用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形; (3)f(x1,x2,x3)=1表示那类二次曲面?

4 1 = 2 = 1 的两个正交的特征向量           = 1 1 0 1 p ,           = − 1 1 4 p2  3 = 10 的特征向量           − = 2 2 1 p3 正交矩阵           − = − 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2 3 0 4 3 2 1 3 Q 正交变换 x = Q y ：标准形 2 3 2 2 2 f = y1 + y + 10 y 例 2 1 4 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 2 3 2 2 4 2 3 4 f (x ,  , x ) = x x + x x − x x − x x + x x + x x 用正交变换化 ( , , , ) x1 x2 x3 x4 f 为标准形． 解 f 的矩阵             − − − − = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A A 的特征多项式 ( ) ( 1) ( 3) 3   =  −  + 求正交矩阵 Q 和对角矩阵  , 使得 Q AQ =  T ：               − − − − = 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 Q ,             − = 3 1 1 1  正交变换 x = Q y ：标准形 2 4 2 3 2 2 2 f = y1 + y + y − 3 y 例 3 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 5x1 + 5x + c x − 2x x + 6x x − 6x x ,秩 ( f ) = 2． (1) 求 c ； (2) 用正交变换化 ( , , ) x1 x2 x3 f 为标准形； (3) f (x1 , x2 , x3 ) = 1 表示那类二次曲面？

解(1)∫的矩阵A=-15-3(显见mnA≥2) rank4=2→det4=0→c=3 5-λ 4-λ4-0 (2)p()=-15-x-3=-15-λ-3 33- 33-A 4-元 16--3|=-(-4)4-9) λ1=0,2=4,3=9的特征向量依次为 P1=1P2=1,p=-1(两两正交) 正交矩阵Q=1/√61/2-1 正交变换x=Qy:标准形∫=0y2+4y2+9y2 (3)∫(x1,x2,x3)=1台4y2+9y3=1:表示椭圆柱面 例4设∫(x,x2,x)=x2Ax,A=-1c-3|,秩()=2,求c 解det4=9(c-1)2(c+2) rankA=2→det=0→c=1或者c=-2 c=1:A=-11-3→000,mnk4=1(舍去)

5 解 (1) f 的矩阵           − − − − = c A 3 3 1 5 3 5 1 3 （显见 rankA 2 ） rankA = 2 detA = 0 c = 3 (2)          − − − − − − − = − − − − − − − = + 3 3 3 1 5 3 4 4 0 3 3 3 1 5 3 5 1 3 ( ) 1 2 r r ( 4)( 9) 3 6 3 1 6 3 4 0 0 2 1 = − − − − − − − − − = −       c c 1 = 0, 2 = 4, 3 = 9 的特征向量依次为          − = 2 1 1 p1 ,           = 0 1 1 p2 ,           = − 1 1 1 p3 （两两正交） 正交矩阵           − − = 2 6 0 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 Q 正交变换 x = Q y ：标准形 2 3 2 2 2 f = 0 y1 + 4 y + 9 y (3) ( , , ) 1 4 9 1 2 3 2 f x1 x2 x3 =  y2 + y = ：表示椭圆柱面 例 4 设 f x x x x Ax T 1 2 3 ( , , ) = ,           − − − − = c c c A 3 3 9 1 3 1 3 , 秩 ( f ) = 2 , 求 c ． 解 det 9( 1) ( 2) 2 A = c − c + rankA= 2detA= 0 c = 1 或者 c = −2 c = 1 ：           − →           − − − − = 0 0 0 0 0 0 1 1 3 3 3 9 1 1 3 1 1 3 行 A , rankA = 1 （舍去）

rankA≥2 c=-2:A=-1-2 → ranka=2 故c=-2为所求

6 c = −2 ：           − − − − − − − = 3 3 18 1 2 3 2 1 3 A , rank 2 det 0 rank 2  =    =  A A A 故 c = −2 为所求．

2.配方法 例5f(x1,x2,x3)=2x2+5x2+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3 用配方法化f(x1,x2,x3)为标准形 解∫=2x2+2x1( )+5x2+5x3-8 2(x1+ )2-( )21+5x2+5x2-8 )+3x2-4x2x3+3 2(x1+x2-x3)+3(x2-:x3)-x3+3 2 2(x1+x2-x3)2+3(x2-x3)2 =x+x y1-y2+(1/3)y 令{2=x2-(2/3)x3,则 y2+(2/3)y3 可逆变换 C=012/3 标准形∫=2y2+3y2+y3(与例1结果不同) 例6∫ 用配方法化f(x1,x2,x3)为标准形 解先凑平方项 =y1+y 令 C1=|1-10 00 则∫=2y2-2y2+2y1y3+2y2y3-6y1y3+6y2y 2y2-2y1y3-2y2+8y2y3 2{(y1-y -2y2+8y2y3

7 2．配方法 例 5 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 5x + 5x + 4x x − 4x x − 8x x 用配方法化 ( , , ) x1 x2 x3 f 为标准形． 解 2 3 2 3 2 1 2 3 2 2 f = 2[x1 + 2x (x − x )] + 5x + 5x − 8x x 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 = 2[( x1 + x2 − x3 ) − (x − x ) ]+ 5x + 5x − 8x x 2 2 3 3 2 2 2 = 2(x1 + x2 − x3 ) + 3x − 4x x + 3x 2 3 2 3 2 2 3 2 1 2 3 ] 3 9 4 ) 3 2 = 2(x + x − x ) + 3[(x − x − x + x 2 3 2 2 3 2 1 2 3 3 5 ) 3 2 = 2(x + x − x ) + 3(x − x + x 令      = = − = + − 1 3 2 2 3 1 1 2 3 (2 3) y x y x x y x x x , 则      = = + = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 (2 3) (1 3) x y x y y x y y y 可逆变换 x = C y ：           − = 0 0 1 0 1 2 3 1 1 1 3 C 标准形 2 3 2 2 2 1 3 5 f = 2y + 3y + y （与例 1 结果不同） 例 6 1 2 3 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , x ) = x x + x x − x x 用配方法化 ( , , ) x1 x2 x3 f 为标准形． 解 先凑平方项 令      = = − = + 3 3 2 1 2 1 1 2 x y x y y x y y , 即 x C y = 1 ：           = − 0 0 1 1 1 0 1 1 0 C1 则 1 3 2 3 1 3 2 3 2 2 2 f = 2 y1 − 2 y + 2 y y + 2 y y − 6 y y + 6 y y 2 3 2 1 3 2 2 = 2[ y1 − 2 y y ]− 2 y + 8 y y 2 3 2 2 2 3 2 = 2[( y1 − y3 ) − y ]− 2 y + 8 y y

2(V1-y3)2-21y2-4y2y3-2y2 2(y1-y3)2-2(y2-2y3)2-4y21-2y =2(y1-y3)2-2(y2-2y3)2+6y3 1=y 令 2-2y3,则{y2=z2+2 43 即y=C2z:C2=0 00 可逆变换x=C1y=CC2z,C=CC2=1-1-1 标准形∫=2x-2x2+63 般结论如下: 定理2对于实二次型∫=x2Ax,存在可逆变换x=Cy,使得 f=d,yi+d,y 定理3对于实对称矩阵A,存在可逆矩阵C,使得 CACED=

8 2 2 3 2 2 2 2 = 2( y1 − y3 ) − 2[ y − 4 y y ]− 2 y 2 2 2 3 2 2 3 2 = 2( y1 − y3 ) − 2[( y − 2 y ) − 4 y ]− 2 y 2 3 2 2 3 2 = 2( y1 − y3 ) − 2( y − 2 y ) + 6 y 令      = = − = − 3 3 2 2 3 1 1 3 2 z y z y y z y y , 则      = = + = + 3 3 2 2 3 1 1 3 2 y z y z z y z z 即 y C z = 2 ：           = 0 0 1 0 1 2 1 0 1 C2 可逆变换 x C y C C z = 1 = 1 2 ,           = = − − 0 0 1 1 1 1 1 1 3 C C1C2 标准形 2 3 2 2 2 f = 2z1 − 2z + 6z 一般结论如下： 定理 2 对于实二次型 f x Ax T = , 存在可逆变换 x = C y , 使得 2 2 2 2 2 1 1 n n f = d y + d y ++ d y 定理 3 对于实对称矩阵 A , 存在可逆矩阵 C , 使得 C AC = D T           = d n d  1

3.初等变换法 求可逆矩阵C,使得CAC=D: C可逆→C=P…P=EP…P(P是初等矩阵) PTAP…P.=D A1对A施行行变换 E整体施行同类列变换 例7用初等变换法化∫(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3为标准形. 0-1/20 解 0+5-2-30行变换006 E」I00+100同类列变测1-123 010 110 11/2-1 00 可逆变换x=Cy,C=11/2-1 标准形∫=2x2-+63

9 3．初等变换法 求可逆矩阵 C , 使得 C AC = D T ： C 可逆  C = P1 Pk = EP1 Pk （ Pi 是初等矩阵）  Pk P AP1 Pk = D T 1 T         →      C D E A A " " " " 对 施行 行变换 整体施行 同类列变换 例 7 用初等变换法化 1 2 3 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , x ) = x x + x x − x x 为标准形． 解 =       E A                     − − − →                     − − − − →                     − − + + 0 0 1 1 1 2 1 1 1 2 3 0 0 6 0 1 2 0 2 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 2 3 0 1 0 3 2 1 2 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 3 0 1 0 3 0 1 1 1 2 1 2 行变换 同类列变换 r r c c 可逆变换 x = C y ,           − − = 0 0 1 1 1 2 1 1 1 2 3 C 标准形 2 3 2 2 2 1 6 2 1 f = 2z − z + z

§63正定二次型 设可逆变换x=Cy使得 ∫=x'Ax=y(CACy=d1y2+d2y2+…+dny2 定理4设∫=xAx的秩为r,则在∫的标准形中 (1)系数不为0的平方项的个数一定是r (∵rank(CIAC)= ranka) (2)正项个数p一定,称为∫的正惯性指数;(证明略去 (3)负项个数r-p一定称为∫的负惯性指数.(由(1)和(2)可得) 正定二次型:Vx≠0,∫=xAx>0,称∫为正定二次型,A为正定矩阵 负定二次型:x≠0,∫=xAx0(i=1,2,…,m) 证必要性.取y=E1=(0,…0,1,0,…,0)2,则x=Cy≠0,从而 ∫=xAx>0→∫=y(CAC)y=d1>0 充分性.已知d1>0(i=1,2,…,m,Vx≠0→y=Cx≠0 f=d1y2+d2y2+…+dny2>0 由定义知,∫为正定二次型 推论1设Am实对称,则A为正定矩阵A的特征值全为正数 推论2设A实对称正定矩阵则det4>0 定理6设A实对称则A为正定矩阵 A的顺序主子式全为正数,即A(4)>0(i=1,2,…,n) (证明略去)

10 §6.3 正定二次型 设可逆变换 x = C y 使得 f x Ax y (C AC) y T T T = = 2 2 2 2 2 1 1 n n = d y + d y ++ d y 定理 4 设 f x Ax T = 的秩为 r , 则在 f 的标准形中 (1) 系数不为 0 的平方项的个数一定是 r ； （ rank(C AC) rankA T  = ） (2) 正项个数 p 一定, 称为 f 的正惯性指数；（证明略去） (3) 负项个数 r − p 一定, 称为 f 的负惯性指数．（由(1)和(2)可得） 正定二次型： 0, 0 T  x  f = x Ax  , 称 f 为正定二次型, A 为正定矩阵． 负定二次型： 0, 0 T  x  f = x Ax  , 称 f 为负定二次型, A 为负定矩阵． 定理 5 f x Ax T = 为正定二次型  f 的标准形中 d 0 (i 1,2, ,n) i  =  ． 证 必要性．取 T = = (0,  ,0,1,0,  ,0) i y  , 则 x = C y  0 , 从而 0 T f = x Ax  ( ) 0 T T  f = y C AC y = di  充分性．已知 d 0 (i 1,2, ,n) i  =  , 0 0 1    =  − x y C x 0 2 2 2 2 2 f = d1 y1 + d y ++ d n yn  由定义知, f 为正定二次型． 推论 1 设 Ann 实对称, 则 A 为正定矩阵  A 的特征值全为正数． 推论 2 设 Ann 实对称正定矩阵, 则 detA  0． 定理 6 设 Ann 实对称, 则 A 为正定矩阵  A 的顺序主子式全为正数, 即 (A) 0 (i 1,2, ,n) i  =  ． （证明略去）