华北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲义）第二章 矩阵 §5 矩阵的秩 §6 矩阵的初等变换

§5.矩阵的秩 矩阵的秩是一个很重要的概念,在研究线性方程组的解等方 面起着非常重要的作用 定义1.在矩阵Am中任取k行k列(1≤k≤min(m,n),由 位于这些行、列相交处的元素按原来的次序构成的k阶行列式,称 为A的一个k阶子式,记作D(4)。 D(4)共有CC个 例如Ax=a2 24有4个三阶子式,18个二阶 子式。 定义2.若矩阵A中不等于0的子式的最高阶数是r,则称r 为矩阵A的秩,记作R()=r。 由此及行列式的性质可得到结论 1.R(4)=0台A=0; 2.对于An,有0≤R()≤mm(mn); 3.若R(4)=r,则A中至少有一个D(4)≠0,而所有的 D1(4)=0 定义3.设Anm,若R(4)=n,则称A为满秩方阵 若R(4)<n,则称A为降秩方阵。 推论:A为满秩方阵→|4≠0 由此可知,A可逆分A为满秩方阵。 例1.求下列矩阵的秩

§5. 矩阵的秩 矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方 面起着非常重要的作用。 定义 1. 在矩阵 Amn 中任取 k 行 k 列 (1 k  min(m,n)) ，由 位于这些行、列相交处的元素按原来的次序构成的 k 阶行列式，称 为 A 的一个 k 阶子式，记作 D (A) k 。 D (A) k 共有 k n k Cm C 个。 例如            = 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 3 4 a a a a a a a a a a a a A 有 4 个三阶子式，18 个二阶 子式。 定义 2. 若矩阵 A 中不等于 0 的子式的最高阶数是 r ，则称 r 为矩阵 A 的秩，记作 R(A) = r 。 由此及行列式的性质可得到结论： 1. R(A) = 0  A = 0 ； 2. 对于 Amn ，有 0  R(A) min( m,n) ； 3. 若 R(A) = r ，则 A 中至少有一个 Dr (A)  0 ，而所有的 Dr+1 (A) = 0. 定义 3. 设 Ann ，若 R(A) = n ，则称 A 为满秩方阵； 若 R(A) n， 则称 A 为降秩方阵。 推论： A 为满秩方阵  A  0。 由此可知， A 可逆  A 为满秩方阵。 例 1. 求下列矩阵的秩

1010 1100 A=1011,B 10-3 解:D2(4) 1≠0,而A的所有三阶子式(4个) 10 01|=0 0 11=0,01 所以 R(4)=2 1010 21-1-3c-121-3-3 B 63 02-63 02-63 1-3-3 0-4-1=-36≠0 R(B)=4满秩 §6矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换,它是求矩阵的逆和秩的有利工具 矩阵的初等变换与初等矩阵 在利用行列式的性质计算行列式时,我们对其行(列)作过 三种变换——“初等变换 定义1.对矩阵的行施以下述三种变换,称为矩阵的行初等 变换: (1)r> C1◇C,列初等变换 (2)rxk(k≠0)C1xk(k≠0) (3)xk(≠ 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换

          − = 2 1 3 3 1 0 1 1 1 1 0 0 A ，               − − − − − = 0 2 6 3 1 0 3 1 2 1 1 3 1 0 1 0 B 解： ( ) 1 0 0 1 1 0 D2 A = =  ，而 A 的所有三阶子式（4 个） 0 2 1 3 1 0 1 1 1 0 = − ， 0 2 1 3 1 0 1 1 1 0 = − ， 0 2 3 3 1 1 1 1 0 0 = ， 0 1 3 3 0 1 1 1 0 0 = − 所以 R(A) = 2 0 2 6 3 1 0 3 1 2 1 1 3 1 0 1 0 − − − − −  B = 0 2 6 3 1 0 4 1 2 1 3 3 1 0 0 0 3 1 − − − − − = C −C 2 6 3 0 4 1 1 3 3 − − − − − = 36 0 0 0 9 0 4 1 1 3 3 3 2 1 − − = −  − − = r − r R(B) = 4 满秩。 §6.矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换与初等矩阵 在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过 三种变换——“初等变换”。 定义 1. 对矩阵的行施以下述三种变换，称为矩阵的行初等 变换： （1） i j r  r Ci  Cj 列初等变换 （2） r k i  (k  0) C k (k  0) i （3） i j r  kr (i  j) i j C + kC 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换

定义2.由单位矩阵E经过一次初等变换而得到的矩阵称为 初等矩阵,也有三种: (1)r分r或C←C,得P( 000 例 0010 P2(2,3)= 0100 (2)rxk或C1xk(k≠0),得P(i(k) 1000 例 P2(2(k) 0k00 0010 0001 (3)×(≠或C+kC,得P(k) 1000 例 P(2(k)3) 0100 0k10 且都是可逆的,其逆矩阵仍为初等矩阵: P(,j=P(,j),P() () 、利用初等变换求逆矩阵 先介绍矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系 定理1.(1)P(小)An分交换Ann的,j两行; A P(,j)→交换Am的j两列 (2)P((k)Am分以k(≠0)乘A的第行; AnP(k)以k(=0)乘Am的第列

定义 2. 由单位矩阵 E 经过一次初等变换而得到的矩阵称为 初等矩阵，也有三种： （1） i j r  r 或 Ci  Cj， 得 P(i, j)， 例 ( )               = 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 P4 2,3 （2） r k i  或 C k i  (k  0)， 得 P(i(k ))， 例 ( ( ))               = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 4 2 k P k （3） i j r  kr (i  j) 或 j i C + kC ， 得 P(i(k), j)， 例 ( ( ) )               = 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4 2 ,3 k P k 且都是可逆的，其逆矩阵仍为初等矩阵： P (i, j) P(i, j) 1 = − ， ( ( ))               = − k P i k P i 1 1 ，P (i(k), j) P(i( k), j) 1 = − − 二、利用初等变换求逆矩阵 先介绍矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系。 定理 1.（1） Pm (i, j) Amn  交换 Amn 的 i, j 两行； AmnPn (i, j) 交换 Amn 的 i, j 两列 （2） Pm (i(k)) Amn  以 k( 0) 乘 Amn 的第 i 行； AmnPn (i(k)) 以 k( 0) 乘 Amn 的第 i 列

(3)P(k)j)A台把Am的第行的k倍加到第 j行上去 Amxn·P(kj)兮把A的第i列的k倍加到第 j列上去 定理2n阶可逆方阵A,={a)可以经过一系列的初等行 变换化为n阶单位矩阵En 证明:∵A可逆,|A≠0,A的第一列至少有一个非0元 素,于是A2经过若干次初等行变换可以化为 0 B 其中*表示任意数,A-表示n-1阶方阵 显然|421|=|B,而B=k|A4,k1≠0.所以|L21|≠0 因而An1的第一列至少有一个非0元素,于是再对B施以若干次 初等行变换,Bn又可以化为 01 00 显然,|An2=C川,而小=k2B2|=kk2A,其中k2≠0

（3） Pm (i(k), j) Amn  把 Amn 的第 i 行的 k 倍加到第 j 行上去； Amn  Pn (i(k), j) 把 Amn 的第 i 列的 k 倍加到第 j 列上去 定理 2. n 阶可逆方阵 ( ) n n An aij  = 可以经过一系列的初等行 变换化为 n 阶单位矩阵 En 证明：  An 可逆，  An  0，An 的第一列至少有一个非 0 元 素，于是 An 经过若干次初等行变换可以化为 (1) 0 0 1 1                 = n− n A B   其中*表示任意数， An−1 表示 n −1 阶方阵。 显然 An−1 = Bn ， 而 , 0. Bn = k1 An k1  所以 An−1  0 因而 An−1 的第一列至少有一个非 0 元素，于是再对 Bn 施以若干次 初等行变换， Bn 又可以化为 (2) 0 0 0 0 0 1 1 0 2                     = n− n A C     显然， An−2 = Cn ，而 n Bn C k = 2 An k k = 1 2 ，其中 k2  0

所以An2|≠0.如此继续,经过一系列的初等行变换,最终得到 单位矩阵En,即 初等变换 证毕 A E 由定理1和定理2立即推得 推论1.A可逆存在初等矩阵B,P2…P,使得 P…P2BPAn=En(3) 用A右乘(3)式两端,得 P…PPEn=A71(4) 比较(3)、(4)两式可见:若A经过一系列的初等行变换后 化为En,则En经过同样的初等行变换化为An,从而使我们得到 一种有效的求逆矩阵的方法 行初等变换 推论2.(An:En 其中(4:En)、(En:f)表示n×2n的矩阵 例1.设A=212用初等变换法求A 123:100 23:100 解:(4:E)=212:010→0-3-4:-210 134:001 011:-101

所以 0. An−2  如此继续，经过一系列的初等行变换，最终得到 单位矩阵 En ，即 An → Bn →Cn → → En     初等变换 证毕。 由定理 1 和定理 2 立即推得： 推论 1. An 可逆  存在初等矩阵 P P Ps , , , 1 2  ，使得 (3) Ps P2P1An = En 用 −1 An 右乘 (3) 式两端，得 (4) 1 2 1 − Ps P PEn = An 比较 (3)、(4) 两式可见：若 An 经过一系列的初等行变换后， 化为 En ，则 En 经过同样的初等行变换化为 −1 An ，从而使我们得到 一种有效的求逆矩阵的方法： 推论 2. ( ) ( ) (5) → −1 An En En An   行初等变换 其中 ( ) An En  、( ) −1 En An  表示 n2n 的矩阵。 例 1. 设           = 1 3 4 2 1 2 1 2 3 A . 用初等变换法求 −1 A . 解: ( )           − → − − −           = − − 1 0 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 3 4 1 2 3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 3 4 2 1 2 1 2 3 2 1 3 1 2        r r r r A E

123:100 23:100 101→011-101 0-3-4:-210 00-1:-513 010 614 001:5 所以 5-1-3 例2.设A 100,试用初等变换法求 1000:1000 1000:1000 (A:E)= a100:0100 0100:-a100 a2a10:0010|=.320010:0-a10 a3a2a1:0001 0001:00 所以 000 00 例3.判断方阵 A=1-2-2-1/是否可逆。若可逆,求A 2

          − − − →           − − − − → − + 5 1 3 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 2 3 2 1 0 1 0 1 1 0 0 0 3 4 0 1 1 1 2 3 2 3 3 3 2       r r r r           − − − − →           − − − − → + − −  + 0 0 1 5 1 3 0 1 0 6 1 4 1 0 0 2 1 1 0 0 1 5 1 3 0 1 0 6 1 4 1 2 0 14 3 9 1 3 1 2 3 2 3 3 2 ( 1)       r r r r r r r 所以           − − − − = − 5 1 3 6 1 4 2 1 1 1 A 例 2. 设               = 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 3 2 2 a a a a a a A ，试用初等变换法求 −1 A . 解: ( )               − − − →               = − − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 4,3,2 3 2 2 a a a a a a a a a A E i ari r i          所以               − − − = − 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 a a a A 例 3．判断方阵               − − − − = 4 1 1 2 2 5 1 4 1 2 2 1 1 1 1 1 A 是否可逆。若可逆，求 −1 A 解：

l11:1000 111:1000 1-2-2-1:0100 0-3-3-2:-1100 (A:E) 25-14:0010-403-32:-2010 4112:0001)(0-3-3-2:-4001 因为0 0,所以A=0,故A不可逆,即A不存在。 注:此例说明,从用初等变换求逆矩阵的过程中,即可看出 逆矩阵是否存在,而不必先去判断。 例4.解矩阵方程AX=B,其中 101 A=210 32-5 解 101:100 00 (A:E)=210:010→0105-11 -32-5:001 001 11-2 X=AB=5-1 4-52|=2-9-8 14-1)(0-4-6 、利用初等变换求矩阵的秩 定理3.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩(证略)。 利用定理3可以简化求秩R(4)的计算,其常用的方法有:

( )               − − − − − − − − − − →               − − − − = − − − 4 0 0 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4 1 1 2 2 5 1 4 1 2 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 4 1 2 4          r r r r r r A E 因为 0 0 3 3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 1 1 1 1 = − − − − − − − ，所以 A = 0 ，故 A 不可逆，即 −1 A 不存在。 注：此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出 逆矩阵是否存在，而不必先去判断。 例 4． 解矩阵方程 AX = B ，其中           − − = 3 2 5 2 1 0 1 0 1 A ，           − − − − − = 1 4 1 4 5 2 1 2 1 B . 解： ( )           − − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 2 5 2 1 0 1 0 1    AE               − − − − → 2 1 1 2 7 5 1 1 2 1 1 2 5 0 0 1 0 1 0 1 0 0               − − − −  = − 2 1 1 2 7 5 1 1 2 1 1 2 5 1 A           − − − − −               − − − − = = − 1 4 1 4 5 2 1 2 1 2 1 1 2 7 5 1 1 2 1 1 2 5 1 X A B           − − = − − 0 4 6 2 9 8 1 2 5 三、利用初等变换求矩阵的秩 定理 3. 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩（证略）。 利用定理 3 可以简化求秩 R(A) 的计算，其常用的方法有：

1.只用初等行变换,可把A变成上阶梯形矩阵。 例5.求(4)其中A-0215 203-13 l104-1 解: 20215-1+0215-1 00-22-2 0215-1(上阶梯形),有此可看出R 00-22-2 00000 2.进一步,在进行列初等变换,A可化为标准型Ⅰ。 例5中,A0215-101000 00-22-2 00100 00000 00000 的特点:左上角为一个R(4)阶单位矩阵,其它元素为0。 在具体的解题过程中,如果A经过几次初等变换后即可看出 R(4)的秩时,就不必再继续将A化为阶梯形。 例6.求R(4),其中A=10-123 10-1-12 解 B -0-11 33

1．只用初等行变换，可把 A 变成上阶梯形矩阵。 例 5． 求 R(A) 其中               − − − = 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 A 解：               − − − →               − − − − − − → − + − 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 3 1 3 2 4 1 r 2r r r r r A               − − − →  0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 3 4 r r （上阶梯形），有此可看出 R(A) = 3。 2．进一步，在进行列初等变换， A 可化为标准型 I 。 例 5 中， A = I               →               − − − → 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 I 的特点：左上角为一个 R(A) 阶单位矩阵，其它元素为 0。 在具体的解题过程中，如果 A 经过几次初等变换后即可看出 R(A) 的秩时，就不必再继续将 A 化为阶梯形。 例 6． 求 R(A)， 其中               − − − − − − = 1 2 5 7 0 1 1 1 2 3 0 1 2 3 1 1 0 1 1 2 A 解： . 0 2 4 6 2 0 1 1 3 1 0 1 2 3 1 1 0 1 1 2 3 1 4 1 A B r r r r =               − − − − − − − → − −

至此,易知 R(B)=2 所以R(4)=2,B不是阶梯矩阵。 思考题: 试分析以下给出的解答的错误,并给出正确的解答。 已知A 求A 错误解答 -3501 31101 1010)(1010 011-31 01-311 10 错误原因:没有注意到利用(AE)→EA)来求时, 要使用初等行变换才可以。而在解法中第1、3步却使用了列变换 正确答案 A 作业 习题2-41.2.(4)(5) 习题2-51.3 习题2-61.2.3.(2)(4)(5)

至此，易知 R(B) = 2 所以 R(A) = 2， B 不是阶梯矩阵。 思考题： 试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答。 已知         − = 3 5 1 2 A ， 求 −1 A 错误解答:         −   →       − →         −   →       − 0 1 3 11 1 0 1 0 0 11 3 1 1 0 1 0 3 11 0 1 1 0 1 0 3 5 0 1 1 2 1 0 即         − = − 3 11 1 0 1 A 错误原因: 没有注意到利用 ( ) ( ) → −1 A E E A 来求 −1 A 时, 要使用初等行变换才可以。而在解法中第 1、3 步却使用了列变换。 正确答案:       − = = − 3 1 5 2 11 1 * 1 A A A 作业： 习题 2-4 1. 2. （4）（5） 习题 2-5 1. 3. 习题 2-6 1. 2. 3. (2) (4) (5) 4. 6