§2.2行列式的基本性质 引理对一个排列作一次对换后, 排列的奇偶性改变 证明设所考虑的排列为 B:P1…P1…p…P n 将排列中的两个数p和P对换,则新 排列为 P:P…PD…P…P 国园國[回
§2.2 行列式的基本性质 引理 对一个排列作一次对换后, 排列的奇偶性改变 证明 设所考虑的排列为 1 1 : , P p " "pi j p "pn 将排列中的两个数pi 和 pj对换, 则新 排列为 2 1 : . P p " "pj i p "pn
首先证明,当这两个元素相邻时,即 1+1时,P和P2的奇偶性不相同 若P+,则易知P2的反 况,P和P2的反序数的奇偶性都不 相同,故P和P2的奇偶性不相同 现在考虑一般情况注意到要把Pi 和D对换可通过一系列的相邻元素 的互换来实现 国园國[回
首先证明,当这两个元素相邻时,即 j i = + 1 时, P 1 和 P 2的奇偶性不相同. 若 1, p p i i + 则易知 P 2的反 序数比 P 1的反序数小1. 无论哪种情 况, P 1 和 P 2 的反序数的奇偶性都不 相同,故 P 1 和 P 2的奇偶性不相同. 现在考虑一般情况.注意到,要把 p i 和pj对换,可通过一系列的相邻元素 的互换来实现:
先把P依次与其后面的p+1…P 互换,共j-1次;接着再将P依次与其前 面的P1…,P+1互换共-1-1次总 计进行了2+2-1次相邻互换便将P1 斗变成因为每次互换两个相邻元素后 排列的奇偶性改变一次所以经过了 2j-21-1次奇偶性的改变后,P变成了 P2于是P和P2的奇偶性必不相同 国园國[回
先把p i依次与其后面的 1, , p p i j + … 互换, 共 j − i 次;接着再将 pj 依次与其前 面的 1 1 , , p p j − … i+ 互换,共 j i − − 1 次.总 计进行了2 2 j + i − 1次相邻互换,便将 P 1 变成 . 因为每次互换两个相邻元素后, 排列的奇偶性改变一次,所以经过了 2 2 j − −i 1次奇偶性的改变后,P 1变成了 P 2 , 2 P . 于是,P 1 和 P 2 的奇偶性必不相同
设 a11a12…·a1n 1 a21: an1 a21a2 a2 a12 a22: an2 D= D anand a n1 a2n: ar 即,D是把D的行作为列而得到行列式 D称为D的转置行列式,显然D也是 D的转置行列式 国园國[回
设 11 21 1 11 12 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 , . n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a D D a a a a a a = = ′ " # " # " " " " # # # # " # 即, D′是把D的行作为列而得到行列式. D′ 称为D的转置行列式,显然, D 也是 D′的转置行列式
性质1行列式与其转置行列式相等 证明由行列式的定义可知D的展开 式中的一般项为 (-1)(apn8p12…n 现在对换其中的因子以使行标排列成为自 然排列那么,列标排列同时由自然排列变成 另外一个排列,设为992…gn引理可知 它与排列PPPn的奇偶性相同因此, (-1)⑨np2m)=(-1)9m). 于是,上面的一般项实际上等于 国园國[回
性质1 行列式与其转置行列式相等 证明由行列式的定义可知, 的展开 式中的一般项为 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) . n n p p p a a p p ap n τ − " " D′ 现在对换其中的因子以使行标排列成为自 然排列,那么,列标排列同时由自然排列变成 另外一个排列, 设为 . 由引理可知, 它与排列 p p1 2 "pn 的奇偶性相同.因此, 1 2 . q q "qn 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 1) . τ τ p p pn n q q q − = − " " 于是,上面的一般项实际上等于
(-1)@“ 912g2angn 这恰好是D的展开式中的一般项,故 D′=D 我们规定 平·两个行(或列)相等是指它们的对应元 素都相等; 两个行(或列)相加指的是将其所有对 应的元素相加; 一个数乘以一个行(或列)指的是用此 数乘以这个行(或列)的所有元素 国园國[回
1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) , n n q q q a aq q anq τ − " " 这恰好是D的展开式中的一般项,故 D D ′ = . . 我们规定: • 两个行(或列)相等是指它们的对应元 素都相等; • 两个行(或列)相加指的是将其所有对 应的元素相加; •一个数乘以一个行(或列)指的是用此 数乘以这个行(或列)的所有元素
性质2设n阶行列式D,D1,D2除 第i行(列)以外的诸行(列)全相同,且 D的第行(列是D和D2的第行(列 牛之和则D=2+ a ain D=b1+cn…bmn+cmn anl ann 国园國[回
性质2 设n阶行列式 1 2 D D, ,D 除 第i行(列)以外的诸行(列)全相同, 且 D的第i行(列)是D1和D2的第i行(列) 之和,则 1 2 D D = + D . 证明设 1 1 1 1 1 1 , n i i in in n n n a a D b c b c a a = + + " " " " " " " "
a ain a ain D C n D2=Cil n an1 ann nn 则由行列式的定义, D=∑( T(PiP2"Pn) a (b1n,+Ci,) 11 ip P ∑(-1)mpPa1n…bn…a +>(1) P1 P2 "Pn/alpr" Cip: " npn =D1+D 上页下 圆回
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 , , n n i in i in n nn n nn a a a a D D b b c c a a a a = = " " " " " " " " " " " " " " " " " " 则由行列式的定义, 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 2 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) . n i i n n i n n i n p p p p ip ip np p p p p ip np p p p p ip np D a b c a a b a a c a D D τ τ τ = − + = − + − = + ∑ ∑ ∑ " " " " " " " "
性质3用一个数C乘以行列式 的某一行(列)等于用c乘以该行列 式 证明设D=det(an)是一个 阶行列式将D的第行乘以数 可得, a a D=Ca ca a a 国园國[回
性质3 用一个数c乘以行列式 的某一行(列)等于用c乘以该行列 式. 证明设 det( ) D a = ij 是一个 阶行列式, 将D的第 行乘以数 n i c 可得, 11 1 1 1 1 . n i in n nn a a D ca ca a a = " " " " " " " "
根据行列式的定义, D=∑ T(PP2…pn) (cai,) =c∑(-1)a 1∴a ipi Ipn CD 推论1行列式某行(列)元素 的公因子可提到行列式外 推论2若行列式的某行(列)元 素全为0,则行列式等于0 国园國[回
根据行列式的定义, 1 2 1 1 2 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( 1 ) ( ) ( 1 ) . n i n n i n p p p p i p n p p p p p i p n p D a c a a c a a a cD τ τ = − = − = ∑ ∑ " " " " " " 推论1 行列式某行 ( 列 )元素 的公因子可提到行列式外. 推论2 若行列式的某行 ( 列 ) 元 素全为0 ,则行列式等于0