§38矩阵的秩数 定义8.1设A是任意矩阵若A=0,则 说A的秩数为0,若A≠0,则的非零子式的 最高阶数就称为的秩数,记为秩A 显然对于任意的m×m矩阵A,均有 秩A≤min{m,n}当秩A=min{m,n时,称 是满秩矩阵;特别地,当秩A=n时,称之 为行满秩的当秩A=n时,称之为列满秩的 国园國[回
§3.8 矩阵的秩数 . 0, 0; 0, , . A A A A A A A = ≠ 定义8.1 设 是任意矩阵若 则 说 的秩数为 若 则 的非零子式的 最高阶数就称为 的秩数 记为秩 , , min{ , }. min{ , } , , ; , . m n A A m n A m n A m A n × ≤ = = = 显然 对于任意的 矩阵 均有 秩 当秩 时 称 是满秩矩阵;特别地,当秩 时 称之 为行满秩的 当秩 时 称之为列满秩的
个阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要 条件是秩A=m即A是满秩矩阵 例如设 1234 A=0123. 直接计算即知的三阶子式均为0而且有 一个而阶子式不等于0,故秩A=2 国园國[回
一个n阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要 条件是秩A=n,即A是满秩矩阵. 例如,设 1 234 012 3 . 111 1 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 直接计算即知,A的三阶子式均为0,而且有 一个而阶子式不等于0,故秩A=2
命题81秩A=r当且仅当A有一个非零的r 阶子式且所有r+阶子式等于0 证明必要性是显然的现在证明充分性设 M是A的一个阶子式其中大于r+1因为M的 r+阶子式也是A的r+1阶子式故都等于0,从而 对M前r+1阶行做 Laplace展开即知M=0于是A 的任意阶数大于r的子式都是0,故秩A=r 命题8.2秩AB<秩A秩B 国园國[回
命题8.1 秩A=r当且仅当A有一个非零的r 阶子式,且所有r+1阶子式等于0. 证明 必要性是显然的.现在证明充分性.设 M是A的一个s阶子式,其中s大于r+1.因为M的 r+1阶子式也是A的r+1阶子式,故都等于0,从而 对M前r+1阶行做Laplace展开即知M=0.于是A 的任意阶数大于r的子式都是0,故秩A=r. 命题8.2 秩AB ≤ 秩A, . 秩B
证明当A,B之一为零矩阵时,定理显然成立 设秩A=r≠0.如果硝列数≤r,则 秩AB≤AB的列数=B列数≤r=秩A 当硝列数大于时在AB中人取一个r+阶子块 C出矩阵的乘法定义可知C=U,其中的 r+1个行组成V有硝+1个列组成注意到U r+阶子式全为0,则由Chah公式可得CHU=0 总之A硝任意一个+阶子式都是故秩AB≤r=秩4 同理可证秩AB≤秩B 国园國[回
, , . 0. , . A B A r B r AB AB B r A = ≠ ≤ ≤ = ≤ = 证明 当 之一为零矩阵时 定理显然成立 设秩 如果 的列数 则 秩 的列数 的列数 秩 , 1 . ,, 1 , 1 . 1 0, | | | | 0. , 1 0, . . B r AB r C C UV U A r V B r U r Chauchy C UV AB r AB r A AB B + = + + + = = + ≤ = ≤ 当 的列数大于 时 在 中人取一个 阶子块 由矩阵的乘法定义可知 其 中 由 的 个行组成 有 的 个列组成注意到 的 阶子式全为 则由 公式可得 总之 的任意一个 阶子式都是 故秩 秩 同理可证秩 秩
定理81设P,Q是可逆矩阵,则 秩PA=秩Q=秩PAQ=秩A 由上命题可知 秩A=秩P1PA<秩PA<秩A 平故秩P4=秩4同理秩Q=秩A于是 秩PAQ=秩AQ=秩A 推论81初等变换不改变秩数 国园國[回
8.1 , P Q , PA = = AQ PAQ = A 定理 设 是可逆矩阵 则 秩 秩 秩 秩 由上命题可知, 秩 秩 A P 1PA 秩PA 秩A, − = ≤ ≤ . , . . PA A AQ A PAQ AQ A = = = = 故秩 秩 同理 秩 秩 于是 秩 秩 秩 推论 8.1 初等变换不改变秩数
例81设 1234 23 A= 111 2345 求秩A 解用初等变换将A化成阶梯矩阵: 国园國[回
例8.1 设 1 2 3 4 0 1 2 3 , 1 1 1 1 2 3 4 5 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 求秩A. 解 用初等变换将A化成阶梯矩阵:
1234 1234 0123 0123 A= 1n+ 111 2n+4 0-1-2-3 2345 0-1-2-3 1234 0123 P+3 n1+/4 0000 0000 上
1 3 2 1 4 1 1 2 3 4 1 234 0 1 2 3 0 1 2 3 1 1 1 1 0 1 2 3 2 3 4 5 0 1 2 3 r r r A − r − + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − − − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ − − − ⎠ 2 3 1 1 4 1 1 2 3 4 012 3 , 000 0 000 0 r r r r + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯ ⎯ ⎯→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠
故秩A=2 定理82设秩4=r,则有可逆矩阵PQ使得 .0 PAO= 00 证明由命题7.3及定理73可知有可逆 0 矩阵P,Q使得PAQ= 再由上面定理 00 可知r=秩A 国园國[回
故秩A=2. 8.2 , , 0 . 0 0 r A r P Q I PAQ = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 定理 设秩 则有可逆矩阵 使得 7.3 7.3 , 0 , . 0 0 , . r I P Q PAQ r A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 证明 由命题 及定理 可知 有可逆 矩阵 使得 再由上面定理 可知 秩
定理8.3设A,B均为m×n矩阵,A和B 等价当且仅当秩A=秩B 定理84每个矩阵可用初等行变换化成唯 的约化阶梯矩阵 证明因为矩阵行等价是一个等价关 牛系故只需证明两个行等价的约化阶梯矩 阵必相等对矩阵的列数用数学归纳法显 然,结论对只有一列的矩阵成立.设n>1,并 假设结论对于含有n-1列的矩阵成立设4和 A是两个行等价的mXn约化阶梯矩阵则有可 国园國[回
, , . A B m n A B A B × = 定 理8.3 设 均 为 矩 阵 和 等价当且仅当秩 秩 定理8.4 每个矩阵可用初等行变换化成唯 一的约化阶梯矩阵 . 1 2 1, 1 . , n n A A m n > − × 证明 因为矩阵行等价是一个等价关 系,故只需证明:两个行等价的约化阶梯矩 阵必相等.对矩阵的列数用数学归纳法.显 然,结论对只有一列的矩阵成立.设 并 假设结论对于含有 列的矩阵成立 设 和 是两个行等价的 约化阶梯矩阵 则有可
逆矩阵P使得41=PA2,从而它们的秩数 相同不妨设秩A1=秩A2=r现在将A分 块成A4=(BB则有 (L1A1)=P(L22)=(PL2P2) 从而 L1=P2,61=P2 因此,L和L2行等价注意到,L和L2都是 m×(n-1)约化阶梯矩阵于是,由归纳法 假设可知,L1=L2令L=L1,则L=PL现 在分两种情况 国园國[回
1 2 1 2 , . . ( ), i i i i P A PA A A r A A B β = = = = 逆矩阵 使得 从而它们的秩数 相同不妨设秩 秩 现在将 分 块成 则有 1 1 2 2 2 2 ( ) L P β β = = (L ) (PL Pβ ), 从而 1 2 1 2 L P = = L , . β β P 1 2 1 2 1 2 1 , . , ( 1) . , , . , . L L L L m n L L L L L PL × − = = = 因此 和 行等价 注意到 和 都是 约化阶梯矩阵 于是 由归纳法 假设可知 令 则 现 在分两种情况:
