第一章几何空间中的向量 第二节向量及其线性运算 向量的基本概念 向量的线性运算 向量的共线与共面 小结与思考题
第一章 几何空间中的向量 第二节 向量及其线性运算 • 向量的基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的共线与共面 • 小结与思考题
12向量及其线性运算 、向量的基本概念 向量( Vector):既有大小又有方向的量 数量 Scalar):既有大小没有方向的量 向量表示:a或M1M2 以M为起点,M2为终点的有向线段 向量的模(norm:向量的大小.|a或|M,M2 单位向量:模长为1的向量.a或M1M2 零向量:模长为0的向量.0
1.2 向量及其线性运算 一、向量的基本概念 向量(Vector): 既有大小又有方向的量. 向量表示： 以M1为起点，M2为终点的有向线段. M1 M2 a M1M2 模长为1的向量. M1M2 0 0 a 零向量： 模长为0的向量. 0 | a | M1M2 向量的模(norm)： 向量的大小. | | 单位向量： 或 或 或 数量(Scalar): 既有大小没有方向的量
自由向量:不考虑起点位置的向量 相等向量:大小相等且方向相同的向量 b 负向量:大小相等但方向相反的向量.-a 向径:空间直角坐标系中任一点M原点 构成的向量OM
自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量. a − 向径： a b a − a 空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量. OM M
二、向量的线性运算 加法:a+b= (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地:若db分为同向和反向 c|=a|+|b c=|a|-|b
[1] 加法： a b c + = a b c （平行四边形法则） 特殊地：若 a ‖ b a b c | c | | a | | b | = + 分为同向和反向 b a c | c | | a | | b | = − （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、向量的线性运算
向量的加法符合下列运算规律 (1)交换律:a+b=b+l (2)结合律:a+b+C=(+b)+C=a+(b+C (3)零向量性质:+0=0+a=a (4)负向量性质:a+(-a)=(-a)+a=0. 2]减法a-b=a+(-b . b wa+b C=d+(-b) =a-b b
向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a. + = + （2）结合律： a b c a b c + + = ( + ) + a (b c). = + + ( ) ( ) 0. a + −a = −a + a = [2] 减法 a b a ( b) − = + − a b b − b c − a b c a b = − a b = + (− ) + a b a − b （3）零向量性质： （4）负向量性质： a 0 0 a a. + = + =
3]数乘 设是一个数,向量与λ的乘积规定为 (1)4>0,A与d同向,|An|=x|di (2)元=0,An=0 (3)4<0,M与反向,|A|=|d 2
设 是一个数，向量a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | = (2) = 0, 0 a = (3) 0, a 与a 反向，| a | | | | a | = a a 2 a 2 1 − [3] 数乘
数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)1的数乘:1=a (2)结合律:A(A)=p(a)=(14)a (3)分配律:(+)=A+d A(+b)=A+1b
数与向量的乘积符合下列运算规律： （2）结合律： ( a) ( a) = a = () （3）分配律： a a a ( + ) = + a b a b ( + ) = + （1）1的数乘： a a 1 =
、向量的共线与共面 定义1-8如果向量a与方向相同或方向相反,则称为 共线( colinear )或平行( parallel),记为a∥B 如果若干个向量平行于同一个平面,则称它们 共面( complanar)。 注:零向量可以认为与任何线或共面
三、 向量的共线与共面 定义1-8 如果若干个向量平行于同一个平面，则称它们 共面（complanar）。 共线( )或平行( )，记为 // 如果向量 与 方向相同或方向相反，则称为 collinear parallel 注：零向量可以认为与任何线或共面
定理1-2设向量a≠0,那末向量b平行于的 充要条件是:存在唯一的实数九,使b=A 证充分性显然; 必要性设Ba取=同, 当b与d同向时九取正值, 当b与a反向时取负值,即有b=A 此时b与M同向.且a=a=a=b
证 充分性显然； 必要性 a b ‖ 设 , a b 取 = 当b 与a同向时 取正值， 当b 与a 反向时 取负值， b a. 即有 = 此时 b 与 a 同向. a a 且 = a a b = b . = . 1 2 0 b a a b a = − 充要条件是：存在唯一的实数 ，使 定理 设向量 ，那末向量 平行于 的
元的唯一性.设b=An,又设b=, 两式相减,得(-)a=0,即λ-4a=0 a≠0,故λ-=即=A,证毕。 定理1-3两个向量a与b共线的充要条件是:存 在不全为0的实数与,使得A+b=0. 定理1-4三个向量a,b,(共面的充要条件是:存 在不全为0的实数k1,k2,k,使得k1l+k2b+k3E=0
的唯一性. 设 b a， = 又设b a， = 两式相减，得 ( ) 0， − a = 即 − a = 0， a 0， 故 − = 0即， = . 证毕。 0 0. 1 3 + = − a b a b 在不全为 的实数 与，使得 定理 两个向量 与 共线的充要条件是：存 0 , , 0. 1 4 , , 1 2 3 1 2 3 + + = − k k k k a k b k c a b c 在不全为 的实数 ，使得 定理 三个向量 共面的充要条件是：存