§36可逆矩阵 定义6,1设是一个m阶矩阵若有阶矩阵B, 使得AB=BA=1,则称4是一个可逆矩阵(非奇 异矩阵、非退化矩阵),并称B是A一个逆 例如设 12 12 A= B 则AB=BA=l,故B是一个逆当然 A也是B一个逆 国园國[回
§3.6 可逆矩阵 6.1 . , , ( . A n n B AB BA I A B A = = 定义 设 是一个 阶矩阵若有 阶矩阵 使得 则称 是一个可逆矩阵 非奇 异矩阵、非退化矩阵),并称 是 的一个逆 例如,设 1 2 1 2 , , 1 1 1 1 A B ⎛ ⎞ ⎛− ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎟ ⎝ − ⎠ AB BA I, . B A A B 则 故 = = 是 的一个逆当然 也是 的一个逆
命题61可逆矩阵的逆是唯一的。 证明设A是可逆矩阵且BC均为A逆则有 B=BI=B(AC=(BAC=IC=C 可逆矩阵A逆矩阵记为A1 牛命题62设AB均为阶矩阵 1若A可逆,则A也可逆,且(A)=A 即A和A互为逆 2有限个可逆矩阵之积仍为可逆矩阵,且 (AB…C)1=C-1…B 国园國[回
1 A A 可逆矩阵 的逆矩阵记为 − 命题 6.1 可逆矩阵的逆是唯一的. 证明 设A是可逆矩阵,且B,C均为A逆,则有 B B = =I B( ) AC =(BA)C =IC =C. 命题6.2 设A,B均为n阶矩阵. 1 1 1 1 1. , , ( ) , ; 2. , A A A A A A − − − − 若 可逆 则 也可逆 且 = 即 和 互为逆 有限个可逆矩阵之积仍为可逆矩阵 且 1 1 1 1 ( ) AB C C B A . − − − − " " =
证明若A可逆则AA=A1A=,故 A是A的逆即(4)=A若A,B,…C 均可逆,则由乘法结合律可知, (AB…C)(C-1…B4-) =(C-1…B-1A-)(AB…C)=I, 故(AB…C)=C1…BA 国园國[回
1 1 1 1 1 , , , ( ) . , , , , , A AA A A I A A A A A B C − − − − − = = = " 证明 若 可逆 则 故 是 的逆 即 若 均可逆 则由乘法结合律可知 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) , AB C C B A C B A AB C I − − − − − − = = " " " " 1 1 1 1 ( ) AB C C B A . − − − − 故 " " =
定义62设4=(an)是一个哪阶介矩阵把每个 元素都换成它的代数余子式后再转置,所得 之矩阵称为的伴随矩阵,记为A,即 A12A2…An2 A inn 其中A表示A的第行第列元素an代数余子式 国园國[回
k 6.2 ( ) , , , A aij n A A 定义 设 = 是一个 阶矩阵 把每个 元素都换成它的代数余子式后再转置,所得 之矩阵称为 的伴随矩阵 记为 即 i 11 21 1 12 22 2 1 2 , n n n n nn A A A A A A A A A A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … " # # # " . A A ij ij 其中 表示 的第i行第j列元素a 代数余子式
命题63对于任意n阶矩阵A均有 = 定理61设是n阶价矩阵,则A可逆的充分必 要条件是|AH≠0;且当|AH≠O时,有 A=AA 推论6.1设A,B均为n阶矩阵,则AB可逆 当且仅当A,B均可逆 国园國[回
命题6.3 对于任意n阶矩阵A均有 AA i = = A i A | | A I. 1 1 k 6.1 , | | 0; | | 0 , | | . A n A A A A A A − − ≠ ≠ = 定理 设 是 阶矩阵 则 可逆的充分必 要条件是 且当 时 有 6.1 , , , . A B n AB A B 推论 设 均为 阶矩阵 则 可逆 当且仅当 均可逆
推论6.2设A是n阶矩阵,则A可逆当且仅当有 n价矩阵B使得AB=/或BA=1. 命题64设A是n阶矩阵,则可逆当且仅当 A可逆此时有,(4)=(4)y 王例61设(6),且ab≠0则 C s/ ad-bc ad -bc C ad-bc ad-bc 国园國[回
6.2 , . A n A n B AB = = I BA I 推论 设 是 阶矩阵 则 可逆当且仅当有 阶矩阵 使得 或 1 1 6.4 , ; ,( ) ( ) . T T T A n A A A A − − = 命题 设 是 阶矩阵 则 可逆当且仅当 可逆 此时有 , | | 0, a b A A ad bc c d ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ − ≠ ⎝ ⎠ 例6.1 设 且 则 1 . d b ad bc ad bc c a ad bc ad bc A − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
例6.2设A,B都是n阶矩阵,证明 1AI-AB=n/-Bal 解若A可逆则 A-ABHA1-AB‖AHM-BA| 般地,令 f(x)X(A-XIB, X-B(a-X) 国园國[回
6.2 , , | | | | . A B n λ λ I A − = B I − BA 例 设 都是 阶矩阵 证明 解 若A可逆,则 1 | | λ λ I AB | A || | I AB | A | | λI BA | . − − = − = − 一般地,令 f( )x =| λ λ I − − (A xI)B |, g(x) =| I − − B(A xI)|
则由行列式的展开式可知,它们都是x的 多项式注意到A-x1是的多项式, 故有无穷多个C∈使得|A-clk≠0,即 乐4-c可逆故有无穷多个c∈使得 f(c)=g(c),因此,f(x)=g(x)特别地,当 x=O时,有2I-ABHI-BA 国园國[回
. ,| | , | | 0, , ( ) ( ), , ( ) ( ). , 0 , | | | | . x A xI x c A cI A cI c f c g c f x g x x I λ λ AB I BA − Ω − ≠ − Ω = = = − = − 则由行列式的展开式可知,它们都是 的 多项式注意到 也是 的多项式 故有无穷多个 使得 即 可逆 故有无穷多个 使得 因此 特别地 当 时 有 ∈ ∈