华北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲义）矩阵的运算

第二讲矩阵的运算 复习: 、加法。 二、数乘 三、矩阵与矩阵相乘。 四、转置矩阵 新授 五、方阵的行列式 定义由n阶方阵A的元素所构成的n阶行列式(各元素的 位置不变),称为方阵A的行列式。记作A或detA( determinant) 注意:方阵与其行列式不同,前者为数表,后者为数值。 运算律 (1)|f|=|4(行列式性质1) 2)k4=k"|A(A) (3)|AB=|4B(证明较繁) 由(3)知,对于n阶方阵A、B,一般AB≠BA,但都有AB=B 例1.设A B 求B 解:(法 AB 18 Ab= 015 (法二):14B8146 六、几种特殊矩阵 对角矩阵 定义042…0,简记为 ,称为n阶 00…n 对角矩阵

第二讲 矩阵的运算 复习： 一、加法。 二、数乘。 三、矩阵与矩阵相乘。 四、转置矩阵 新授： 五、方阵的行列式 定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的 n 阶行列式（各元素的 位置不变），称为方阵 A 的行列式。记作 A 或 det A （determinant）. 注意：方阵与其行列式不同，前者为数表，后者为数值。 运算律： （1） A' = A (行列式性质 1) （2） kA k A n = （ Ann ） （3） AB = A B （证明较繁） 由（3）知，对于 n 阶方阵 A、B，一般 AB  BA ，但都有 AB = BA 例 1． 设         = 3 3 1 2 A ，         − = 1 3 1 2 B ， 求 AB . 解：（法一）        − = 0 15 1 8  AB ， 15 0 15 1 8 = − −  AB = 。 （法二） ( 3) 5 15 1 3 1 2 3 3 1 2 = −  = − −  AB = A B = 六、几种特殊矩阵 1．对角矩阵 定义               n         0 0 0 0 0 0 2 1 ，简记为               n    2 1 ，称为 n 阶 对角矩阵

易知(1) b2 bn +b a,+ b2 bn a1 (3) b2 b 2b2 b 2.数量矩阵 若n阶对角矩阵中主对角线上的元素都相等,即 ZE 则称A为n阶数量矩阵。当λ=1时,A就是n阶单位矩阵。 易知(1).AEn·Bnn=Bmxn·AEn=ABnn 特别地E..B=BE=AB可交换

易知 （1）.               =               n n k k k k         2 1 2 1 （2）.               +               n bn b b a a a   2 1 2 1               + + + = an bn a b a b  2 2 1 1 （3）.                             n bn b b a a a   2 1 2 1               = anbn a b a b  2 2 1 1 2. 数量矩阵 若 n 阶对角矩阵中主对角线上的元素都相等，即 A En    =               =  则称 A 为 n 阶数量矩阵。当  =1 时， A 就是 n 阶单位矩阵。 易知（1）. Em Bmn Bmn En = Bmn   =   特别地 En Bnn Bnn En = Bnn   =   可交换

(2). En +kE=(a+kEn, E, kE,=(k)E 数量矩阵的加减乘法与数的完全相同 3.上(下)三角矩阵 au a1 40a2 a2n为上三角矩阵, 00 b 0为下三角矩阵 B b,i b 易知,设A、B为上三角阵,则AA,A+B,AB仍为上三角 阵;下三角阵也类似。 §3逆矩阵 概念与性质 在§2中,线性方程组 +a b x,=b, 可表示为矩阵方程 AX=B(2) 其中 B b2 X nI 由克莱姆法则知,若4≠0,则(1)有唯一解 如果存在n阶方阵C,使得CA=E,则(1)的解可用矩阵乘 积表出: X=CB

（2）. ( ) n n En E + kE =  + k ， n n En E  kE = (k) 数量矩阵的加减乘法与数的完全相同。 3. 上（下）三角矩阵               = nn n n a a a a a a A        0 0 0 22 2 11 12 1 为上三角矩阵 ，               = bn bn bnn b b b B        1 2 21 22 11 0 0 0 为下三角矩阵 易知，设 A、B 为上三角阵，则 A， A+ B ， AB 仍为上三角 阵；下三角阵也类似。 §3 逆矩阵 一、概念与性质 在§2 中，线性方程组 (1) 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b          可表示为矩阵方程 AX = B (2) 其中               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ，               = n x x x X  2 1 ，               = bn b b B  2 1 , 由克莱姆法则知，若 A  0 ，则（1）有唯一解。 如果存在 n 阶方阵 C，使得 CA= E ，则（1）的解可用矩阵乘 积表出： X =CB

称为矩阵方程(2)的解 定义设A为n阶方阵,若存在一个n阶方阵C,使得 CA=AC=E 则称方阵A可逆,并称方阵C为A的逆矩阵,记作A-1=C,即 若CA=AC=E,则C=A-1 性质1.若A-存在,则A-必唯 证明:设B、C都是A的逆阵,则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C(PlE 性质2.若A可逆,则A也可逆,且(Ax)=A 证明::A可逆,∴AA=A1A=E,从而A-1也可逆, 且(A 性质3.若A可逆,则可逆,且(4)=(4) 证明:∵AA=A4=E,∴(AA)=(A4-)=E 从而(A)=(A)A=E,于是(4)=(4 性质4.若同阶方阵A、B都可逆,则AB也可逆, 且(AB)=B-A 证明::(4B)B-2)=4(B)4x1=AEr=A1=E (BA- XAB)=B(AAB=B-EB=B-B=E 所以AB可逆,且(AB)=B-A-1 二、逆阵存在的条件及逆阵的求法 定义由A=(a)的行列式

称为矩阵方程（2）的解 定义 设 A 为 n 阶方阵，若存在一个 n 阶方阵 C，使得 CA= AC = E， 则称方阵 A 可逆，并称方阵 C 为 A 的逆矩阵，记作 A = C −1 ，即 若 CA= AC = E， 则 −1 C = A 性质 1. 若 −1 A 存在，则 −1 A 必唯一。 证明： 设 B、C 都是 A 的逆阵，则有 B = BE = B(AC) = (BA)C = EC =C （唯一） 性质 2. 若 A 可逆，则 −1 A 也可逆，且 (A ) = A − − 1 1 。 证明： A 可逆， AA = A A = E −1 −1 ，从而 −1 A 也可逆， 且 (A ) = A − − 1 1 。 性质 3. 若 A 可逆，则 A 可逆，且 ( ) ( )   = −1 −1 A A 。 证明： A A = AA = E  A A  = AA  = E − − − − , ( ) ( ) 1 1 1 1  从而 A A  = A A = E − − ( ) ( ) 1 1 ， 于是 ( ) ( ) 1 1  =  − − A A 性质 4. 若同阶方阵 A 、 B 都可逆，则 AB 也可逆， 且 ( ) −1 −1 −1 AB = B A 证明： (AB)(B A )= A(BB )A = AEA = AA = E −1 −1 −1 −1 −1 −1  (B A )(AB) = B (A A)B = B EB = B B = E −1 −1 −1 −1 −1 −1 所以 AB 可逆，且 ( ) −1 −1 −1 AB = B A 二、逆阵存在的条件及逆阵的求法 定义 由 ( ) n n A aij  = 的行列式

a21a2 中元素a1的代数余子式A,(=12,…,m)构成的n阶方阵, A,, 记作A,即A=44242,称为4的伴随矩阵 A,n A2 例1.设 A=122 求A 解因为A1=-2,A12=3,A3=-2, 6 所以 2-64 定理方阵A=(2)可逆1≠0且 证明: A可逆,即有A存在,使得AA1=E, 两边取行列式得41-1l 故 ≠0 由行列式的性质7和 Laplace定理知

n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 = 中元素 ij a 的代数余子式 A (i, j 1,2, ,n) i j =  构成的 n 阶方阵， 记作 * A ， 即               = n n nn n n A A A A A A A A A A       1 2 12 22 2 11 21 1 * ， 称为 A 的伴随矩阵. 例 1. 设           = 3 4 3 1 2 2 3 2 1 A ， 求 * A 解: 因为 A11 = −2， A12 = 3， A13 = −2， A21 = −2， A22 = 6， A23 = −6 ， A31 = 2， A32 = −5， A33 = 4 所以           − − − − − = 2 6 4 3 6 5 2 2 2 * A 定理 方阵 ( ) n n A aij  = 可逆  A  0 且 A A A * 1 = − 证明：  A 可逆，即有 −1 A 存在，使得 AA = E −1 ， 两边取行列式得 1 1 = = − A A E 故 A  0  由行列式的性质 7 和 Laplace 定理知

0,i≠ 0 于是 AA·=A·A= 00 因为|4≠0,故有A 团1=E A A 从而 4 推论设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得AB=E 或BA=E),则B= 证明:∵|AB|=|4B=|E=1,…|4≠0,故A存在 于是 B=EB=(AAB=A(AB)=A-E=A- 注:求A-时,只需要验算AB=E,计算量减半。 321 例2.判断下列方阵A-1221,B=|-1151是否可 逆?若可逆,求其逆阵 解:∵|4=-2≠=0,|B=0,所以B不可逆,A可逆,并且 A 1 2-64 三、用逆矩阵法解线性方程组 在第一节中,线性方程组(1)可表示为矩阵方阵A=B(2

  = =     = = = n k n k ik jk ki kj i j A i j a A a A 1 1 0 , , 于是 AE A A A AA A A =               = =          0 0 0 0 0 0 因为 A  0， 故有 A E A A A A A =  = * * 从而 A A A * 1 = − 推论 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使得 AB = E ， (或 BA = E ), 则 −1 B = A . 证明：  AB = A B = E =1， A  0，故 −1 A 存在。 于是 ( ) ( ) −1 −1 −1 −1 B = EB = A A B = A AB = A E = A 注：求 −1 A 时，只需要验算 AB = E ，计算量减半。 例 2. 判断下列方阵           = 3 4 3 1 2 2 3 2 1 A ，           − − − − = 3 3 1 11 15 1 1 3 2 B 是否可 逆? 若可逆，求其逆阵. 解：  A = −2  0， B = 0 ，所以 B 不可逆， A 可逆，并且           − − − − − = − = −  − 2 6 4 3 6 5 2 2 2 2 1 2 1 A A 三、 用逆矩阵法解线性方程组 在第一节中，线性方程组 (1) 可表示为矩阵方阵 AX = B (2)

若|A4≠0,则X=AB(3),得到()的解 例3.解线性方程组 x1+2x2+2x3 3x,+4x+3x,=3 解:其矩阵式为 343 13 因 224 2|=-2 所以 x,|=122|2 :份 5‖2 (343丿(3 所以其解为x1=0,x2=0,x3=1 例4.求解矩阵方程AXB=C,其中 A 313 224 31 B C=20 52 2 解易知A=2 则 X=ACB 32 小结: 方阵的行列式 2.逆矩阵的概念

若 A  0 ，则 (3) 1 X A B − = ，得到 (1) 的解. 例3． 解线性方程组      + + = + + = + + = 3 4 3 3 2 2 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 解： 其矩阵式为           =                     3 2 1 3 4 3 1 2 2 3 2 1 3 2 1 x x x 因 2 3 4 3 1 2 2 3 2 1 = − 所以                     =           − 3 2 1 3 4 3 1 2 2 3 2 1 1 3 2 1 x x x                     − − − − − = − 3 2 1 2 6 4 3 6 5 2 2 2 2 1           = 1 0 0 所以其解为 x1 = 0， x2 = 0， x3 =1 例4． 求解矩阵方程 AXB =C ，其中           = 3 4 3 1 2 2 3 2 1 A ，         = 5 2 3 1 B ，           = 3 2 2 0 1 4 C . 解 易知             − − − − = − 1 3 2 2 5 3 2 3 1 1 1 1 A ，         − − = − 5 3 2 1 1 B ，则           − − − =        − −                     − − − − = = − − 2 1 5 3 10 6 5 3 2 1 3 2 2 0 1 4 1 3 2 2 5 3 2 3 1 1 1 1 1 X A CB 小结： 1．方阵的行列式 2．逆矩阵的概念

3.矩阵可逆的充分必要条件 4.利用伴随矩阵求逆矩阵 5.了解分块矩阵的概念及运算 思考题: 试分析以下给出的解答的错误,并给出正确的解答。 已知12 求A 错误解法:由于=11≠0,所以A存在 A1=5,A12=-3,A21=2,A2=1,故有A 错误原因:1.没有注意代数余子式的符号,从而A2及A1均 相差一个负号.正确的应为:A12=3,A21=-2 2.将写成了(f 正确答案 11(3 作业: 习题2-31.2.3.4 习题2-41.2.(4)(5) 习题2-51.3

3．矩阵可逆的充分必要条件 4．利用伴随矩阵求逆矩阵 5．了解分块矩阵的概念及运算 思考题： 试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答。 已知         − = 3 5 1 2 A ， 求 −1 A 错误解法: 由于 A =11 0 , 所以 −1 A 存在 A11 = 5, A12 = −3, A21 = 2, A22 =1,故有         − = = − 2 1 5 3 11 1 * 1 A A A 错误原因: 1. 没有注意代数余子式的符号, 从而 A12 及 A21 均 相差一个负号. 正确的应为: A12 = 3, A21 = −2. 2． 将 * A 写成了 ( ) T A * . 正确答案:         − = = − 3 1 5 2 11 1 * 1 A A A 作业： 习题 2-3 1. 2. 3. 4. 习题 2-4 1. 2. （4）（5） 习题 2-5 1. 3