华北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲义）第二章 矩阵 §1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算

第二章矩阵 基本要求:理解矩阵的概念,熟练掌握矩阵的运算,理解逆矩阵并会求逆矩 阵,了解分块矩阵 矩阵是线性代数中重要的工具,我们先从线性方程组引出矩阵 §1矩阵的概念 已知n元线性方程组 b an1x1+a2x2+…+anxn=b lamI-x+am2-*2+.+amnrn=b 的系数及常数项可以排成m行,n+1列的有序矩阵数表: b 2m b, 说明:这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组(1),对它的研究可以判断 (1)的解的情况。 定义1.由m×n个数an(=1,2,…,m=1,2,…m)排成的m行n列的数 表 a11a1 y/m×n 称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵A。n,其中an叫做矩阵A的元素。 根据元素的特点,矩阵可分为实矩阵与复矩阵。 下面给出一些特殊矩阵: 1.行矩阵m=1A=(a1,a2,an)n a1 2.列矩阵n=1A=/ 3.零矩阵A=(0)n=0

第二章 矩阵 基本要求：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算，理解逆矩阵并会求逆矩 阵，了解分块矩阵。 矩阵是线性代数中重要的工具，我们先从线性方程组引出矩阵。 §1 矩阵的概念 已知 n 元线性方程组 (1) 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b          的系数及常数项可以排成 m 行，n+1 列的有序矩阵数表： m m mn m n n a a a b a a a b a a a b         1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 说明：这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组（1），对它的研究可以判断 （1）的解的情况。 定义 1. 由 mn 个数 a (i 1,2, ,m; j 1,2, n) ij =  =  排成的 m 行 n 列的数 表 ( ) ( ) ij m n ij m m mn n n a a a a a a a a a a a A = =               =         1 2 21 22 2 12 1 11 称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵 Amn ，其中 ij a 叫做矩阵 A 的元素。 根据元素的特点，矩阵可分为实矩阵与复矩阵。 下面给出一些特殊矩阵： 1．行矩阵 m=1 ( ) n n A a a a  = 1 2 1 , ,..., 2．列矩阵 n=1 1 2 1                = m m a a a A  3．零矩阵 = (0) = 0 A mn

4.方阵m=n,A={(),称为n阶方阵。 0 5.单位矩阵En= 称为n阶单位矩阵 应用举例: 例1.某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵 a aaa 13 A 其中a,为工厂向第i店发送第j种产品的数量 这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵 b b B bbb b bu 其中b1为第i种产品的单价,b2第i种产品的单件重量 例2.北京市某户居民第三季度每个月的水(单位:t)、电(单位:kh/h)、 天然气(单位:m3)的使用情况,可以用一个三行三列的数表来表示,即 水电气 7月1019015 8月1019516 9月916514 §2矩阵的运算 矩阵的加法 设A=(an),B=(b)称A,B为同型矩阵(行列数均相等)。 相等A=Ban=b(=12,…mj=12…n) 2.加法A+B={an+b,) A-B=(a,-bu) 加法律(1)A+B=B+A,(2)(4+B)+C=A+(B+C

4．方阵 m = n， ( ) n n A aij  = ，称为 n 阶方阵。 5．单位矩阵 m n En                = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        称为 n 阶单位矩阵。 应用举例： 例 1． 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵           = 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a A 其中 i j a 为工厂向第 i 店发送第 j 种产品的数量。 这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵               = 41 42 31 32 21 22 11 12 b b b b b b b b B 其中 i1 b 为第 i 种产品的单价， i2 b 第 i 种产品的单件重量。 例 2． 北京市某户居民第三季度每个月的水（单位： t ）、电（单位： kw/ h ）、 天然气 （单位： 3 m ）的使用情况，可以用一个三行三列的数表来表示，即 9 165 14 10 195 16 10 190 15 9 8 7 水 电 气 月 月 月 §2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 设 ( ) , ( ) . A = aij mn B = bij mn 称 A, B 为同型矩阵（行列数均相等）。 1．相等 A = B  aij = bij (i =1,2,  ,m; j =1,2,  ,n) 2．加法 ( ) m n A B aij bij  + = + ( ) m n A B aij bij  − = − 加法律 （1） A+ B = B + A; （2） (A+ B)+C = A+ (B +C)

例3..求矩阵X,使X+A=B,其中 3-20 B=13-4 23-1 2-11 12-1)(3-20 解:X=B-A=13-4|-112 6 、数与矩阵的乘法 d=const 运算律:(1)(4)4=(u);(2)(+1)=+4; (3)2(A+B)=24+AB u=const 注:矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算。 例4.设从某地四个地区到另外三个地区的距离(单位km)为: 4060105 B=175130190 12070135 8055100 已知货物每吨的运费为240元/km.那么,各地区之间每吨货物的运费可记为 24×17524×13024×19 420312456 24×B=|24×12024×7024×135128868324 2.4×8024×5524×10 192132240 三、矩阵的乘法 1.线性变换与线性变换的乘积 设有两个线性变换 ∫y=41x+a2x2+a3x (2)其系数矩阵A x1=b11+b2l2 x2=b2+b2(3)其系数矩阵B=|b2 b2141+b2l2 将(3)代入(2),可得从1,t2到y,y2的线性变换: =(a1b1+a2b1+a3b11+(a1b2+a2b2+a2b2)2 y2=(a21b1+a2b1+a2b211+(a21b2+a2b2+a2b2)2

例 3．. 求矩阵 X ，使 X + A = B ，其中           − − = 2 3 1 1 1 2 3 2 0 A ，           − − − − = 2 1 1 1 3 4 1 2 1 B 解：           − − − − − =           − − −           − − − − = − = 4 4 2 0 2 6 2 4 1 2 3 1 1 1 2 3 2 0 2 1 1 1 3 4 1 2 1 X B A 。 二、数与矩阵的乘法 A ( a ) const m n = ij =    ,  运算律：（1） ()A = (A) ； （2） ( + )A = A+ A ； （3） (A+ B) = A+ B , = const 注：矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算。 例 4． 设从某地四个地区到另外三个地区的距离（单位 km ）为：               = 80 55 100 120 70 135 175 130 190 40 60 105 B 已知货物每吨的运费为 2.40 元/ km. 那么，各地区之间每吨货物的运费可记为               =                            = 192 132 240 288 168 324 420 312 456 96 144 252 2.4 80 2.4 55 2.4 100 2.4 120 2.4 70 2.4 135 2.4 175 2.4 130 2.4 190 2.4 40 2.4 60 2.4 105 2.4 B 三、矩阵的乘法 1．线性变换与线性变换的乘积。 设有两个线性变换 (2) 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3    = + + = + + y a x a x a x y a x a x a x 其系数矩阵         = 21 22 23 11 12 13 a a a a a a A (3) 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2      = + = + = + x b t b t x b t b t x b t b t 其系数矩阵           = 31 32 21 22 11 12 b b b b b b B 将 (3) 代入 (2)，可得从 1 2 t ,t 到 1 2 y , y 的线性变换： ( ) ( ) ( ) ( ) (4) 2 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 1 11 11 12 21 13 31 1 11 12 12 22 13 32 2    = + + + + + = + + + + + y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t

称(4)为(2)与(3)的乘积 相应地,称(4)的系数矩阵为(2)与(3)的系数矩阵的乘积,记作: AB an an 21 b3 b3 a1b1+a12b21+a13ba1b2+a12b2+a13b2 , u+a22b2 +a2 b1 a2,b2+a2b 般地,我们有 2.矩阵与矩阵的乘法 定义2.设A=(a)ms,B=(b)m则规定A与B的乘积是一个mxn 矩阵C=(),其中 a,b1+a, 2b21 1,2,…,n 并记作C=AB 注:(1)一行与一列相乘 b 故AB=C的第行第j列位置上的元素cn就是A的第行与B的第j列的乘积 (2).只有A的列数等于B的行数时,AB才有意义(乘法可行) 例5.设 A B=1200 求 AB 02 解 1+ 3-11)

称 (4) 为 (2) 与 (3) 的乘积。 相应地，称 (4) 的系数矩阵为 (2) 与 (3) 的系数矩阵的乘积，记作：                   = 31 32 21 22 11 12 21 22 23 11 12 13 b b b b b b a a a a a a AB         + + + + + + + + = 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =C 一般地，我们有 2．矩阵与矩阵的乘法 定义 2. 设 ( ) , ( ) . s n ij m s A = aij  B = b  则规定 A 与 B 的乘积是一个 mn 矩阵 ( ) m n ij C c  = ，其中 i j i j is sj cij = a 1b1 + a 2b2 ++ a b ( 1,2, , ; 1,2, , ) 1 a b i m j n s k =  i k kj =  =  = 并记作 C = AB 注：(1). 一行与一列相乘 ( ) ij s k ik kj sj j j i i is a b c b b b a a a = =                =1 2 1 1 2 , , ,   故 AB = C 的第 i 行第 j 列位置上的元素 ij c 就是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积。 (2). 只有 A 的列数等于 B 的行数时， AB 才有意义（乘法可行） 例 5． 设           =         − − = 2 1 3 4 1 2 0 0 1 0 0 0 , 2 0 2 3 1 1 A B ， 求 AB 解 ( ) 3 1 ( 1) 1 1 2 4 2 1 1 11 3 1 1 =  + −  +  =           c = − ( ) 3 0 ( 1) 2 1 1 1 1 2 0 12 3 1 1 =  + −  +  = −           c = −

cB=(3-11)0=3×0+(-1)×0+1×x3=3 3-11)0=3×0+(-1)×0+1×4=4 4-134 得 2268 注:BA是不可行 例6.设≤4-2 B 求AB及 2-4 2)2)(2 1632 解: AB -8-16 364-2)(00 BA 由此发现:(1)AB≠BA,(不满足交换律) (2)A≠0,B≠0,但却有BA=0。 3.矩阵乘法的运算律(假定运算是可行的 (1)(ABC=A(BC)结合律 (2)A(B+C)=AB+AC(A+BC=AC+BC分配律 (3)A(AB)=()B=A(B) (4)EA=A,BE=B(单位矩阵的意义所在) 4.n阶方阵的幂 设A是n阶方阵,则定义 A2=A,A2=A2A,…,A=AA 或 A2=A,A2=AA,…,A=A…A +1 规律:4A=4“,(4)=A,其中k为正整数 但一般地,(AB)≠4B,A,B为n阶方阵

( ) 3 0 ( 1) 0 1 3 3 3 0 0 13 3 1 1 =  + −  +  =           c = − ( ) 3 0 ( 1) 0 1 4 4 4 0 0 14 3 1 1 =  + −  +  =           c = − 得         − = 2 2 6 8 4 1 3 4 AB 注： BA 是不可行。 例 6． 设         − − = 2 1 4 2 A ，         − − = 2 4 3 6 B ，求 AB 及 BA 。 解：         − − =        − −         − − = 8 16 16 32 2 4 3 6 2 1 4 2 AB         =        − −         − − = 0 0 0 0 2 1 4 2 2 4 3 6 BA 由此发现： （1） AB  BA ，（不满足交换律） （2） A  0， B  0 ，但却有 BA = 0。 3． 矩阵乘法的运算律（假定运算是可行的） （1） (AB)C = A(BC) 结合律 （2） A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC 分配律 （3） (AB) = (A)B = A(B) （4） EA = A， BE = B （单位矩阵的意义所在） 4． n 阶方阵的幂 设 A 是 n 阶方阵，则定义 1 2 1 1 1 1 A A, A A A , , A A A k k = = =  + 或   1 1 2 1 1 1 , , , + + = = = k k A A A A A A A A 规律： k l k l A A A + = ，( ) kl l k A = A ，其中 k,l 为正整数。 但一般地， ( ) k k k AB  A B ， A, B 为 n 阶方阵

例7 0 解:设A 则 A= AA A=A-A 0101)(0 假设Am 01 1n-111(1 则 01)(01 于是由归纳法知,对于任意正整数n,有 01 12 a. 例8.令A= B b 则线性方程组(1)可用矩阵乘积表示出:AX=B 四、转置矩阵 定义3.把矩阵A的各行均换成同序数的列所得到的矩阵,称为A的转置 矩阵,记作A(或A)。例如 20 A 13 运算律:(1)()=A;(2)(A+B)=A+B; (3)(kpy=kf;(4)(4B)=B 证明:仅证(4) 设A=,),B=)n,记AB=C=()=n,BA=D=园)n

例 7． 计算 n         0 1 1 1 解： 设         = 0 1 1 1 A ， 则         =                = = 0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 2 A AA ，         =                = = 0 1 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 3 2 A A A 假设         − = − 0 1 1 1 1 n A n ， 则         =                − = = − 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 n n A A A n n ， 于是由归纳法知，对于任意正整数 n，有         =         0 1 1 0 1 1 1 n n 例 8． 令               = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 ，               = n x x x X  2 1 ，               = mb b b B  2 1 ， 则线性方程组 (1) 可用矩阵乘积表示出： AX = B 。 四、转置矩阵 定义 3 . 把矩阵 A 的各行均换成同序数的列所得到的矩阵，称为 A 的转置 矩阵，记作 A' （或 T A ）。例如：         − = 1 3 2 2 0 1 A ，           − = 1 2 0 3 2 1 A' 运算律： （1） (A')' = A ； （2） (A+ B)' = A'+B' ； （3） (kA)' = kA' ； （4） (AB)' = B' A' 证明： 仅证（4） 设 ( ) ( ) s n ij m s i j A a B b   = , = ，记 ( ) m n ij AB C c  = = ， ( ) m n B A D dij  ' ' = =

于是按矩阵乘法公式 而B的第行为(…n),x的第/列为,因此 dn=∑b 即D=C,亦即B"A=(ABy。 2140 例9.已知A= B 1-134 求(AB 40-2 21400-12 6-78 解:(法一)AB 1-134川1-3 620 所以 (法二) (AB)=BA=3-1-30 小结: 1.矩阵的概念 2.矩阵的运算:加法,数乘,乘法,幂,转置 3.相应运算的运算律 思考题: 试分析以下给出证明的错误,并给出正确的证明。 若A2=A,则称A为幂等矩阵。试证:若A,B为幂等矩阵,则A+B为幂等 矩阵的充分必要条件是AB=-BA 错误证法:由条件A2=A,B2=B,知A=0或A=E,B=0或B=E 当A=B=0时,(4+B)=A+B台AB=-AB,显然成立

于是按矩阵乘法公式 = = s k ji a jkbki c 1 . 而 B' 的第 i 行为 ( ) b i bsi , , 1  ， A' 的第 j 列为           js j a a  1 ， 因此 ji s k jk jk ki s k ji ki d = b a = a b = c =1 =1 即 D = C'， 亦即 B' A' = (AB)'。 例 9． 已知         − = 1 1 3 4 2 1 4 0 A ，               − − − = 4 0 2 1 3 1 0 1 2 1 3 1 B ， 求 (AB)' 解：（法一）               − − −         − = 4 0 2 1 3 1 0 1 2 1 3 1 1 1 3 4 2 1 4 0 AB         − − − = 20 5 6 6 7 8 所以           − = − − 8 6 7 5 6 20 (AB)' （法二）           − = − −               −           − = = − − 8 6 7 5 6 20 0 4 4 3 1 1 2 1 1 2 1 2 3 1 3 0 1 0 1 4 (AB)' B' A' 小结： 1．矩阵的概念 2．矩阵的运算：加法，数乘，乘法，幂，转置 3．相应运算的运算律 思考题： 试分析以下给出证明的错误，并给出正确的证明。 若 A = A 2 ，则称 A 为幂等矩阵。试证：若 A, B 为幂等矩阵，则 A + B 为幂等 矩阵的充分必要条件是 AB = −BA . 错误证法：由条件 A = A 2 ， B = B 2 ，知 A = 0 或 A = E ， B = 0 或 B = E ， 当 A = B = 0 时， (A + B) = A + B 2  AB = −AB ，显然成立

当A=0.,B=E(或A=E,B=0)时,(4+B)=E2=0+E=A+B,且 AB=-AB=0成立。 当A=E,B=E时,(4+B)=(2E)2=4E≠A+B,而AB=E,-AB=-E, 即AB=-BA也成立。 综上可知,A+B为幂等矩阵的充要条件为AB=-BA 答案:从A2=A推得A=0,A=E是不对的,得出这样的结果是作出了如 下推导:A2=A,A2-A=4(-E)=0,故A=0或A-E=0,即A=E 这里的错误在于:与数的乘法运算相混淆了。数a,b若满足ab=0,则必 有a=0或b=0;但对于矩阵来说,AB=0,不能推出A=0或B=0 正确解法: 因为A2=A,B2=B,于是(4+B)2=A2+B2+AB+BA=A+B+AB+BA 故(+B)2=A+B的充分必要条件是AB+BA=0,即AB=-BA 作业 习题2-2 1.2.3.4①.、④5

当 A = 0,B = E （或 A = E,B = 0 ）时， (A + B) = E = 0 + E = A + B 2 2 ，且 AB = −AB = 0 成立。 当 A = E,B = E 时， (A + B) = (2E) = 4E  A + B 2 2 ，而 AB = E ，− AB = −E ， 即 AB = −BA 也成立。 综上可知， A + B 为幂等矩阵的充要条件为 AB = −BA 。 答案：从 A = A 2 推得 A = 0， A = E 是不对的，得出这样的结果是作出了如 下推导： A = A 2 ， ( ) 0 2 A − A = A A− E = ，故 A = 0 或 A− E = 0 ，即 A = E . 这里的错误在于：与数的乘法运算相混淆了。数 a,b 若满足 ab = 0 ，则必 有 a = 0 或 b = 0 ；但对于矩阵来说， AB = 0 ，不能推出 A = 0 或 B = 0. 正确解法： 因为 A = A 2 ，B = B 2 ，于是 (A + B) = A + B + AB + BA = A + B + AB + BA 2 2 2 故 (A + B) = A + B 2 的充分必要条件是 AB+ BA = 0 ，即 AB = −BA . 作业 习题 2-2 1. 2. 3. 4①.、④ 5