§2.3 Laplace定理 定义31设D是一个n阶行列式在D中 任意选定k个行,k个列(1≤k≤m) 1)这些行、列相交处的元素按其原有的 相对位置就构成一个k阶行列式M, 称为D的一个k阶子式 2)这些行、列以外的元素按其原有的相 对位置就构成一个n一k阶行列式M 称为M的余子式;记为M 国园國[回
定义3.1 设D是一个n阶行列式,在D中 任意选定k个行, k个列(1 ≤ ≤k n), 1) 这些行、列相交处的元素按其原有的 相对位置就构成一个k阶行列式M , 称为D的一个k阶子式; 2) 这些行、列以外的元素按其原有的相 对位置就构成一个n k − 阶行列式M 称为M 的余子式;记为M '. §2.3 Laplace定理
3)(1)M称为M的代数余子式,其中 t=+…+k+方1+…+Jk 4)D的第行和第冽列确定的一阶子式恰 为D的第i行第例列的元素an,它的代数 余子式记为A 引理31行列式D的一个子式M和 它代数余子式A之积MA的展开式中的 每一项都是D的展开式中的一项 国园國[回
3) ' ( 1) − tM 称为M 的代数余子式, 其中 1 1 . k k t i = + " " + i + j + + j 4) D的第i行和第i列确定的一阶子式恰 为D的第i行第i列的元素aij ,它的代数 余子式记为Aij . 引理3.1 行列式D的一个子式M 和 它代数余子式A之积MA的展开式中的 每一项都是D的展开式中的一项
证明:设D=det(an)是一个m阶行列式, M是D的一个k阶子式首先考虑M位于 D的左上角的情况此时 Ik 1k+1 In M. D =/hI kk kk+1 4k+11 4k+1kk+1k+1 k+In M nk a nk+1 国园國[回
证明：设 det( ) D a = ij 是一个n阶行列式, M 是D的一个k阶子式. 首先考虑M 位于 D的左上角的情况. 此时 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 , ` k k n k kk kk kn k k k k k k n n nk nk nn a a a a M a a a a D a a a a M a a a a + + + + + + + + = " " # # # # " " " " # # # # "
而且A=(-1)+k+M′=M!现在, M的展开式中的一般项为 (-1)(npp P12P2 其中pp2…P是1,2,,k的一个排列 令b= k+计+/3≤ij<n k M′=()这是一个n一k阶行列式 它的展开式中的一般项为 Lk+g k+2, k+h nk+py 上页
其中 1 2 k p p " p 是1,2,…,k的一个排列. ,这是一个n k − 阶行列式, 而且 1 1 ( 1) . k k A M M + + + + + = − =′ ′ " " 现在, M的展开式中的一般项为 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) , k k p p p p p kp a a a τ − " " 令 , 1 , ij k i k j b a i j n k = + + ≤ ≤ − ,则 ( ) M ij ′ = b 它的展开式中的一般项为 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1, 2, , 1, 2, , ( 1) ( 1) , n k n k n k n k qq q qq q q q n k q k k q k k q n k p b b b a a a τ τ − − − + − + + + + − − = − " " "
其中P2…Dnk是12…,n-k的一个排 列注意到M展开式中的一般项是M和 M'的一般项之积,也就是 T(p,p2 Pk)+r(q,2-qn-ka P12P2 k+lk+q1 k+2k+q2nk+p 令Pk+1=k+q1,j=1,2,,n-k,则 P<pn其中1≤i≤k<m≤n故 z(D1…PkPk…pn)=(P1p2…pk)+(q192…qnk) 国园國[回
其中 1 2 n k p p p " − 是1,2,…,n k − 的一个排 列. 注意到MA展开式中的一般项是M 和 M ′的一般项之积, 也就是 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) . k n k k n k p p p q q q p p kp k k q k k q n k p a a a a a a τ τ − − + + + + + + − " " " " 令 , 1,2, , , k j j p k q j n k + = + = … − 则 , i m p p < 其中1 . ≤ i k ≤ < m ≤ n 故 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ). k k n k n k τ p p p p τ τ p p p q q q " "+ = " + " −
于是,MA展开式中的一般项变成 (-1) T(PP2 Pk+1.Pn) P12p2 pkk+1nk+12k+2p2··a 这正好是D的展开式中的一项 下面考虑一般情况.设M位于D的第 12…,行,第J1…Jk列,其中<…<k, h1<·通过一系列的行、列互换可 将移蔽左上角: 国园國[回
于是, MA 展开式中的一般项变成 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) , k k n k k k n p p p p p p p kp k p k p n p a a a a a a τ + + + + + − " " " " 这正好是 D的展开式中的一项. 下面考虑一般情况. 设 位于 的第 行,第 列,其中 M D 1, , k i i … 1, , k j j … 1 , k i i <"< 1 . k j j <"通过一系列的行、列互换可 将 移至左上角： M
把第行依次与其上面的第-1 4-2…1行对换共进行了4-1次互换 便将第i行换到了第1 把第行依次与其上面的第2-1, i2-2…,2行对换共进行了2-2次互换 便将第i行换到了第2行; 如此继续下去,便把第1…,行分 别移至第1…行的位置, 国园國[回
把第 1i 行依次与其上面的第 1i −1, 1i − 2,",1行对换,共进行了 1i −1 次互换 便将第 1i 行换到了第1行; 把第 2i 行依次与其上面的第 2i −1, 2i − 2,",2行对换,共进行了 2i − 2次互换 便将第 2i 行换到了第2行; 如此继续下去, 便把第 i i 1, , … k 行分 别移至第1,…,k行的位置
而且换行的次数共计为 (1-1)+(2-2)+…+(ik-k) 同理,可进行 (1-1)+(2-2)+…+(-k) 平次列的互换而把第…列分别 移至第,2,,列于是M被移至 左上角而且行、列互换的次数总 计为 (1-1)+(2-2)+…+(ik-k)+(-1) (2-2)+…+(jk-k) 上页下
而且换行的次数共计为 1 2 ( 1 ) ( 2 ) ( ). k i i − + − + " + i − k 同理 ,可进行 1 2 ( 1 ) ( 2 ) ( ) k j j − + − + " + j − k 次列的互换而把第 1, , k j j … 列分别 移至第1, 2,…,k 列. 于是 M 被移至 左 上 角,而且行、列互换的次数总 计为 1 2 1 2 ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) k k i i i k j j j k − + − + + − + − + − + + − "
=+i2+…+k++2+…+-2(1+…+k) 设经上述行、列互换后得到的行列式为 D,并令1=4+…++1+…+,则 D=(-1)2+D=(-1)D2 因此D和D1的一般项之间仅相差一个 符号(-1).注意到M位于D的左上角, 并且上述行、列互换的方式并未改变其 余诸列的相对位置,故M恰好位于D1的 右下角. 上页
1 2 1 2 2(1 ) k k = i i + +" " + i + j + j + + j − +"+ k 设经上述行、列互换后得到的行列式为 D1 ,并令 1 1 k k t i = + + " " i + j + + j ,则 2(1 ) 1 1 ( 1) ( 1) , t k t D D D − + + = − = − " 因此 D和 D1 的一般项之间仅相差一个 符号 . ( 1) .t − 注意到, M位于 的左上角, D1 并且上述行、列互换的方式并未改变其 余诸列的相对位置, 故 M ′恰好位于 的 右下角. D1
于是,MM的每一项都是D1的一项从而 MA=(-1)MM的每一项都是(-1D1=D 的一项 国园國[回
于是, MM ′的每一项都是 的一项,从而 ( 1)t MA M = − M ′的每一项都是 1 ( 1)t − D = D 的一项. D1