§37初等变换与初等矩阵 定义71下列三种对矩阵的变换称为矩阵的 初等行(列)变换 1.把第行(列)和第行(列)互换位置, 记为r(cC 2用非零数a去乘以第行列记为ur;(ac) 3.把第i(列舶a倍加到第行(列),记为 ar+r (ac+C 定义72矩阵的初等行变换和初等列变换统称 为初等变换 国园國[回
§3.7初等变换与初等矩阵 定义7.1 下列三种对矩阵的变换称为矩阵的 初等行(列)变换 1. ( ); i j i j i j r r ↔ ↔c c 把第行（列）和第行（列）互换位置， 记为 2. ( ), ( ); i i 用非零数a去乘以第i行 列 记为ar ac 3. () ( ), ( ). i j i j i a j ar + + r ac c 把第 行 列 的 倍加到第 行 列 记为 定义7.2 矩阵的初等行变换和初等列变换统称 为初等变换
定义73设是一个m×n矩阵,如果各非零行的 第一个非零元(称为主元)从上到下依次后缩,且 零行都位于最下面几行,则称是阶梯矩阵进一 步,若阶梯矩阵的各行的主元均为,且这些1所在 的列中的其余元素都是0,则称是约化阶梯矩阵 牛例如, 1-12003 103001 022220 01100-2 000112 000112 000000 000000 国园國[回
7.3 , . 1, 1 . A m n A A A 定义 设 是一个 × 矩阵 如果各非零行的 第一个非零元(称为主元)从上到下依次后缩,且 零行都位于最下面几行,则称 是阶梯矩阵进一 步,若阶梯矩阵 的各行的主元均为 且这些 所在 的列中的其余元素都是0,则称 是约化阶梯矩阵 例如， 1 1 2 003 1 0 300 1 0 2 222 0 0 1 1 0 0 2 , 0 0 0 1 1 2 000 1 1 2 0 0 0000 00000 0 ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
分别是阶梯矩阵和约化阶梯矩阵 命题71在一个约化阶梯矩阵中,主元 所在的列(姑且称为主列)依次为E1,E2 2r2 而且其它列均可表示成它前面的那些主列的 平线性组合 命题72每个矩阵都可用初等行变换化 成约化阶梯矩阵。 证明设A=(an)是m×m矩阵如果元素 全都是零,则心经是阶梯矩阵如果舶元素 国园國[回
分别是阶梯矩阵和约化阶梯矩阵 . 1 2 7.1 , ( , , , , . r ε ε ε … 命题 在一个约化阶梯矩阵中主元 所在的列 姑且称为主列)依次为 而且其它列均可表示成它前面的那些主列的 线性组合 命题7.2 每个矩阵都可用初等行变换化 成约化阶梯矩阵 . ( ) . , . A aij m n A A A 证明 设 = × 是 矩阵如果 的元素 全都是零 则 已经是阶梯矩阵如果 的元素
不全是零则必有某一列元素不全为零,不妨 设第一个非零列是第列,且an≠0将第和 第1行互换并设所得矩阵为B,则硝的(1,k)位置 的元素为an≠0现在可将B第一行乘以适当 的倍数加到其它各行而把B化成如下形状 0…·0bkhk+1…bn 0…002 k+1 b 2 0…00b mk+ mn 国园國[回
, , 0. 1 , , ( 1, ) 0. ik ik k a i B B k a B B ≠ ≠ 不全是零 则必有某一列元素不全为零,不妨 设第一个非零列是第 列 且 将第 行和 第 行互换 并设所得矩阵为 则 的 位置 的元素为 现在可将 的第一行乘以适当 的倍数加到其它各行而把 化成如下形状: 1 1 1 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 . 0 0 0 k k n k n mk mn b b b b b b b + + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " " " # # # # # "
现在对上面的矩阵中除第一行以外的其余各行 如上处理,并继续下去最后可得一个阶梯矩阵C 用第二种行变换将C的每一主元化成1再用第三 种行变换将主元所在列中的其余元素化成0即 得约化阶梯矩阵。 用初等行变换把矩阵化成某种特殊形式 (通常是阶梯矩阵)是很有用的,可以用俩解决许 多类计算问题比如求行列式求秩数求逆矩阵, 化简列向量组解线性方程组等不能因某些计 算烦琐而厌弃实际上和逻辑推理能力一样计 算能力也是一项重要的基本功 国园國[回
现在对上面的矩阵中除第一行以外的其余各行 如上处理 ,并继续下去 ,最后可得一个阶梯矩阵C. 用第二种行变换将 C的每一主元化成1,再用第三 种行变换将主元所在列中的其余元素化成0, 即 得约化阶梯矩阵 . 用初等行变换把矩阵化成某种特殊形式 (通常是阶梯矩阵 )是很有用的 ,可以用俩解决许 多类计算问题 ,比如 ,求行列式 ,求秩数 ,求逆矩阵 , 化简列向量组 ,解线性方程组等 .不能因某些计 算烦琐而厌弃 .实际上 ,和逻辑推理能力一样 , 计 算能力也是一项重要的基本功
101 例,1用初等变换将矩阵A=-10-2 111 化成约化阶梯矩阵 平解 101 100 12+fi A-+00-124-1010 n+I3 010 001 国园國[回
1 0 1 7.1 1 0 2 1 1 1 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 例 用初等变换将矩阵 化成约化阶梯矩阵. 解 1 2 2 1 1 1 3 2 3 3 1 1 ; 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 . 0 1 0 0 0 1 r r r r r r A − r r r + + + ↔ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ − ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
命题73任何矩阵都可用初等变换化成 标准形式 命题74对单位矩阵做一次初等变换所得 到的矩阵称为该变换所对应的初等矩阵,简称 为初等矩阵. 从定义可知初等矩阵共有以下几种形式: 国园國[回
命题7.3 任何矩阵都可用初等变换化成 标准形式 命题7.4 对单位矩阵做一次初等变换所得 到的矩阵称为该变换所对应的初等矩阵,简称 为初等矩阵. 从定义可知,初等矩阵共有以下几种形式:
0….1 国园國[回
1 0 1 1 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ % " # % # " % 1 1 1 1 a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ % %
1…a a 上页下 圆回
1 1 1 1 a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ % # % " % 1 1 1 1 a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ % " % # %
命题74初等矩阵都是可逆矩阵,且其 逆为同一种的初等矩阵 定理71设A是任意矩阵,则对A做一次初 等行(列变换恰等于在A的左(右边乘上相应 的初等矩阵 证明设A=(an,把矩阵我按列分块为 A=(a1…a)令P表示上面的第四种 初等矩阵,直接验算即可知 国园國[回
命题7.4 初等矩阵都是可逆矩阵,且其 逆为同一种的初等矩阵. 定理7.1 设A是任意矩阵,则对A做一次初 等行(列)变换恰等于在A的左(右)边乘上相应 的初等矩阵. 1 ( ),, ( ). , ij n A a A A P α α = = " 证明设 把矩阵 按列分块为 令 表示上面的第四种 初等矩阵 直接验算即可知