§35方阵的行列式 定义51设4=(an)是一个ˉ阶矩阵,则然地 确定了一个n阶行列式dea,这个行列式称为 A的行列式,记作|4或detA 行列式乘法定理设AB均为阶矩阵则ABHA‖Bl 证明设A=(a)B=(b)均为阶介矩阵则由 laplace 可得 A O A‖B| IB 上页下 圆回
§3.5 方阵的行列式 5.1 ( ) , det( ), , | | det . ij ij A a n A n a A A A 定义 设 = 是一个 阶矩阵 则 自然地 确定了一个 阶行列式 这个行列式称为 的行列式 记作 或 行列式乘法定理 设A,B n 均为 阶矩阵,则| AB|=| | A | | B . ( ), ( ) , A ij ij 证明 设 = = a B b 均为n阶矩阵 则由Laplace 可得 0 | || | . A A B I B =
将上式右端的行列式的第1列的-b倍,,第n列 的-bn倍都加到n+j列(j=1,2,…,n)可得 A-AB ABE 10 =(-1)2|I‖|-AB =(1"+n ABAB I 定义5.2设A是一个m×n矩阵的一个阶正 方子块的行列式政委的阶子式 由A=(a1)m的第,2,…,行及,1,…, 列所确定k阶子块记为 上页下 圆回
m n × 1 ,..., ( 1,2, , ) j nj b n b n j j n − − + = … 将上式右端的行列式的第1列的 倍 第 列 的 倍都加到 列 可得 | || | ( 1) | || | 0 ( 1) | | | | . n n n A AB A B I AB I AB AB + − = = − − = − = . . A m n A k A k 定义5.2 设 是一个 × 矩阵 的一个 阶正 方子块的行列式政委 的 阶子式 1 2 1 2 ( ) , , , , , , A ij m n k k a i i i j j j k 由 = × 的第 … … 行及 列所确定 阶子块记为
A 方2…J 即 112 k 「五2 式 1…M =deta …」 a a 方1ai a 国园國[回
1 2 1 2 , k A k i i i j j j ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ "" 即 式 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 det . k k k k k k k k A A k k i j i j i j i j i j i j i j i j i j i i i i i i j j j j j j a a a a a a a a a ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎧⎪ ⎪⎫⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎪ ⎪⎟ ⎨ ⎬ = ⎜ ⎨ ⎬⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ = " " " " … " # # #
当A是n阶矩阵时,式 在A 中的余子式与代数余子式分别记为 1l2…k 112…k 式A ,代余式 Jk ˇ1p…J 显然 1 12 代余式4 =(-1)余式4 … 国园國[回
1 2 1 2 , A k k i i i A n A j j j ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ "" 当 是 阶矩阵时 式 在 中的余子式与代数余子式分别记为 式 代余式 1 2 1 2 1 2 1 2 , k k A A k k i i i i i i j j j j j j ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ " " " " 显然 代余式 余式 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1) , k k t A A k k i i i i i i j j j j j j ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ " " "
其中t=i+2+…+i+j+i2+…+j不过要 注意,这里余子式虽然是这样记法,但它实质 是一个n-k阶行列式,而非阶行列式 使用上面的记号, Laplace定理(按第i,2…,) 列展开)可表述为 「p12…k1(pP2…k 1A上∑五 j1方n2…k A A A 这里∑表示在1<2<…<p的要求下对 其一切可能求和 国园國[回
1 2 1 2 . , , , . k k t i i i j j j n k k = + + + + + + + − 其中 " " 不过要 注意 这里余子式虽然是这样记法 但它实质 是一个 阶行列式 而非 阶行列式 1 2 ,, , ) ) k 使用上面的记号,Laplace定理(按第j j … j 列展开 可表述为 1 2 1 2 1 2 1 2 | | , k k k k A A A j j j j j j µ ⎧ ⎫ µ µ µ ⎧ ⎫ µ µ µ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∑ " " " " 1 2 . k µ 这里∑ < 表示在µ µ <"< µ 的要求下对 其一切可能求和
引理5.1设U是m×n矩阵,V是nxm矩阵,则 In vI 0=(y 证明因为 n o(n vIn Umu 0 0 -UV 所以取行列式并由行列式乘法定理可得, 国园國[回
引理5.1 设U m 是 × n矩阵, , V是n×m矩阵 则 ( 1) | | . 0 n m I V UV U = − 证明 因为 0 , 0 0 n n n m I I V I V U I U UV ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 所以,取行列式并由行列式乘法定理可得
n m U 0 0-UV Binet-Cauchy公式设U是m×n矩阵,是 nXm矩阵,m≤n,则 12∵ 牛U∑”m A U V 即U等于U的所有m阶子式与其在中对应的 m子式乘积之和 国园國[回
( 1) | | . 0 0 n n m I V I V UV U UV = = − − Binet-Cauchy , , , U m nj V n m m n × × ≤ 公式 设 是 矩阵 是 矩阵 则 1 2 1 2 _______ | | _______ , m m U V UV µ µ µ µ µ µ µ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∑ " " | | . UV U m V m 即 等于 的所有 阶子式与其在 中对应的 阶子式乘积之和
证明设A=) (C0/,则由上引理可得|U=(-1)A 现在对于|A的后m个行用 Laplace定理可得, n+ n+m AH∑减n…m代余式小 ∑式1…Pm3(nv 上页下 圆回
, | | ( 1) | | . 0 | | , n m I V A UV A U A m Laplace ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 证明 设 则由上引理可得 现在对于 的后 个行用 定理可得 式 代余式 式 1 1 1 _________ 1 | _________ ( 1) | |, U m A m s U m n n n m A I V µ µ µ µ µ µ µ µ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧⎪ + + ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∑ ∑ " " " "
其中s=n+1+…+n+m+p4+…+pn,而In 表示从中去掉第A12…,n列后剩余的各 的列组成nx(n-m)矩阵不妨设这些剩余 第的诸列依次为v灬…,Vm列,则易知m的 第4…,A行中的元素全是,且其余的第 v1…,vnm行恰好组成一个n-m阶价单位矩阵 于是对n的前n-m个列用 laplace定理 可得, 国园國[回
1 1 1 1 1 1 , , , ( ) . , , , , , , , . | | , n m n m n n m m n m n s n n m I I n n m I n m I V n m Laplace µ µ µ µ ν ν µ µ ν ν − − = + + + + + + + × − − − " " … … … " 其中 而 表示从 中去掉第 列后剩余的各 的列组成 矩阵不妨设这些剩余 第的诸列依次为 列 则易知 的 第 行中的元素全是0,且其余的第 行恰好组成一个 阶单位矩阵 于是对 的前 个列用 定理 可得
m m 1nVF1w1…n-m}=(-0 其中t=v+…+vnn+1+…+n-m于是, UVE(1"A 112…∵1m (-1)m+s+ 412∵Hm ------ U V 上页下 圆回
1 1 | | | | 1 1 ( 1) _______ , n m m t I Vn I V n m V ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ν ν ⎧⎪ µ µ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⋅ − ⎨ ⎬ = − ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ " " " 1 1 . , n m 其中t n = + ν " " + ν − + + + − m于是 1 2 1 2 | | ( 1) | | ________ ( 1) ________ . m m m s t m U V UV A µ µ µ µ µ µ µ + + = − ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∑ " "
