第二章行列式 》行列式的研究背景 本章目录: §2.1行列式的定义 §2.2行列式的基本性质 §2.3 Laplace定理 §24行列式的计算举例 §2.5 Cramer法则
第二章 行列式 》行列式的研究背景. 本章目录： §2.1 行列式的定义 §2.2 行列式的基本性质 §2.3 Laplace定理 §2.4 行列式的计算举例 §2.5 Cramer法则
背景 行列式来源于线性方程组的研究,是 17世纪末由G. Leibniz发明的.H. Cramer是第一个发表这一主题的人 (1750)行列式的基础理论奠基于A Vandermonde, P Laplace, A-L Cauchy和CGJ. Jacobi等人的工 作.行列式"这个名词首先由CF
背景 行列式来源于线性方程组的研究 , 是 17世纪末由G. Leibniz发明的. H. Cramer是第一个发表这一主题的人 (1750). 行列式的基础理论奠基于A. Vandermonde, P. Laplace, A-L. Cauchy 和C.G.J. Jacobi等人的工 作.``行列式 "这个名词首先由C.F
CF. Guass(1801)使用现代意义的行列式 概念和符号是由 Cauchy(1841)创立的.行列 式理论完善于19世纪 行列式不仅是线性代数及其它数学分支的重 要工具,而且也是自然科学及工程技术许多 领域的重要工具 饭回
C.F. Guass (1801)使用.现代意义的行列式 概念和符号是由Cauchy (1841)创立的. 行列 式理论完善于19世纪. 行列式不仅是线性代数及其它数学分支的重 要工具,而且也是自然科学及工程技术许多 领域的重要工具.. 返回
§21列式的定义 一般地,n元一次方程就叫做n元线 性方程.一个以x1,…,x为变量的n元线 性方程总可写成如下形式 a1x1+a2X2+…+anXn=b 其中a,a,…,an,b均为常数.一组n元 线性方程就构成了一个n元线性方程组 首先考虑二元线性方程组 国园國[回
其中 1 2 , , , , a a " an b 均为常数．一组n元 线性方程就构成了一个n元线性方程组. §2.1行列式的定义 一般地, n元一次方程就叫做n元线 性方程．一个以 1, , x x … n 为变量的n元线 性方程总可写成如下形式 1 1 2 2 , a x + + a x " + an n x = b 首先考虑二元线性方程组
111+122=1 11+222 将第一个方程乘以a12,第二个方程乘以 22,然后相减,得 (112-1221)1=122-212 同理可得, 11a22 -ai a 1221 )x2=b2a11-ba2 21 如果a1(22-a12a21≠0,则可得方程组 的解为 上页下 圆回
1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 a x a x b a x a x b ⎧⎪ + = ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ 将第一个方程乘以 a22 a12 , 第二个方程乘以 , 然后相减, 得 11 22 12 21 1 1 22 2 1 2 ( ) a a − a a x = b a − b a . 同理可得 , 11 22 12 21 2 2 11 1 2 1 ( ) a a − a a x = b a − b a . 如果 a a11 22 − ≠ a12a21 0, 则可得方程组 的解为
X1=22-D2412 bau -has a11a22-a12a21 a1 11<22 1221 定义二阶行列式为 a11a12 a11a22-a12a a21a22 用行列式的记号,方程组的解可表为 b1a12 a11 b1 h2 a a21 b 2 X1= a11a12 X2 a11a12 a21a22 a21a22 上页
1 22 2 12 2 11 1 21 1 2 11 22 12 21 11 22 12 21 , . b a b a b a b a x x a a a a a a a a − − = = − − 定义二阶行列式为 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 . a a a a a a a a = − 用行列式的记号,方程组的解可表为 1 12 11 1 2 22 21 2 1 2 11 12 11 12 21 22 21 22 , . b a a b b a a b x x a a a a a a a a = =
类似地,通过考虑三元线性方程组可知,三阶 行列式应定义为: a11a12a13 a 21 a 22 a 2 a 31 a 32 a 33 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 13a22a31-a12a21a33-a11a23a32, 其中左上角元素和右下角元素的连线称为行列式 的(主)对角线;右上角元素和左下角元素的连线称 为行列式的次对角线 上页
类似地, 通过考虑三元线性方程组可知,三阶 行列式应定义为: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 , a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − 其中左上角元素和右下角元素的连线称为行列式 的(主)对角线;右上角元素和左下角元素的连线称 为行列式的次对角线
从二阶和三阶行列式的定义可以看出 二阶行列式的展开式中的每一项都是两个既不同行又 不同列的元素之积共2项各行的符号可由所谓对角 线法则来确定:主对角线上两个元素所确定的项带正号, 次对角线上两个元素所确定的项带负号. 三阶行列式的展开式中的每一项都是三个既不同行又 不同列的元素之积,共计6项,各项的符号可由下面所谓 对角线法则来确定:考察以此项中三元素为顶点的三角 形(或直线)若有一个边平行于主对角线则该项带正号; 若有一个边平行于次对角线,则该项带负号. 上页下 圆回
从二阶和三阶行列式的定义可以看出: 二阶行列式的展开式中的每一项都是两个既不同行又 不同列的元素之积 , 共 2 项 ,各行的符号可由所谓对角 线法则来确定:主对角线上两个元素所确定的项带正号 , 次对角线上两个元素所确定的项带负号. 三阶行列式的展开式中的每一项都是三个既不同行又 不同列的元素之积, 共计 6 项 ,各项的符号可由下面所谓 对角线法则来确定:考察以此项中三元素为顶点的三角 形 (或直线),若有一个边平行于主对角线 ,则该项带正号 ; 若有一个边平行于次对角线 ,则该项带负号
一般地,阶行列式记为 a11a12 ain 21 22 a2n a n 1 a n 2 a nn 牛简记为det(),其中的元素串 3···,amn 称为行列式的对角线从二、三阶行列式 的定义可以想像到,n阶行列式的展开式 中的一般项应为n个既不同行又不同列 的元素之积并带有适当的正负号,即 士a1p14h…anpn 国园國[回
一般地, n阶行列式记为 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 n n n n n n a a a a a a a a a " " " " " " " 简记为d e t ( ), a i j 其中的元素串 称为行列式的对角线.从二、三阶行列式 的定义可以想像到, n阶行列式的展开式 中的一般项应为n个既不同行又不同列 的元素之积并带有适当的正负号,即 1 2 1 2 . p p n p n ± a a " a 11 22 , , , a a … ann
n阶行列式的值就是所有这样的项之和 因为一般项中的a1n,ap2,…,ann取自不 同的行和列,故它们的列标互不相同,即 P,P2Pn是1,2,…,n的一个排列另一 平方面既然一般项中因子的行标已按自 然顺序1,2,…,排列故一般项恰好由 其列标排列唯一确定.因为共有m!个这 样的排列,故一个n阶行列式的展开式 中共有n!个项 国园國[回
n阶行列式的值就是所有这样的项之和. 因为一般项中的 取自不 同的行和列,故它们的列标互不相同,即 是 的一个排列.另一 方面, 既然一般项中因子的行标已按自 然顺序 排列,故一般项恰好由 其列标排列唯一确定. 因为共有 n! 个这 样的排列,故一个 n 阶行列式的展开式 中共有 n! 个项. 1 2 1 2 , , , p p n p n a a " a 1 2 , n p p " p 1, 2,…,n 1, 2,…, n