线性代数第一讲 概论 线性代数是一门普通的基础理论课,它被广泛地应用于科技的各个领域,尤 其在计算机日益普及的今天,求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇 到的课题 线性代数重点研究应用科学中常用的矩阵法,线性方程组的基本知识,另外 行列式也是一个有力的工具,在讨论上述问题时都要用到。 本门课程的特点,既有繁琐和技巧性很强的数字计算,又有抽象的概念和逻 辑推理,在学习中,需要特别加强这两个方面的训练。 第一章行列式 §1定义 二阶、三阶行列式 中学学过解二元一次方程组 71x+a2y=c1 b2 如果有解,它的解完全可由他们的系数(a1,a2,b1,b2,c1,c2)表示出来。 x+a,y=C (1x×h Ja,bx+a,by=c,b 6,x+6,y=c, a, b x+a, b,y=a,c2 (a,b2-a2 b,)y=(a,c2-b,c) 若a1b2-a2b1≠0,则y 6, -a,b b, b 同理x (3) b, b2 其 a Cla, a a均称为二阶行列式 b, b2 P1 2 b2 定义1.二阶行列式 ad-bc(4) 是一个数,主对角线两数之积减副对角线两数之积(对角线法则) y+a132=b 同样,在解三元一次方程组{a21x+a2y+a2=b2(5) a31x+a32y+a3==b
线性代数第一讲 概论 线性代数是一门普通的基础理论课，它被广泛地应用于科技的各个领域，尤 其在计算机日益普及的今天，求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇 到的课题。 线性代数重点研究应用科学中常用的矩阵法，线性方程组的基本知识，另外 行列式也是一个有力的工具，在讨论上述问题时都要用到。 本门课程的特点，既有繁琐和技巧性很强的数字计算，又有抽象的概念和逻 辑推理，在学习中，需要特别加强这两个方面的训练。 第一章 行列式 §1 定义 一、 二阶、三阶行列式 中学学过解二元一次方程组 + = + = 1 2 2 1 2 1 b x b y c a x a y c 如果有解，它的解完全可由他们的系数 ( ) 1 2 1 2 1 2 a ,a ,b ,b ,c ,c 表示出来。 + = + = (2) (1) 1 2 2 1 2 1 b x b y c a x a y c 1 1 (1) (2) b a + = + = (4) (3) 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 a b x a b y a c a b x a b y c b ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 1 (4) (3) a b − a b y = a c − b c − . 若 a1b2 − a2b1 0 ，则 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 b b a a b c a c a b a b a c b c y = − − = （2） 同理 1 2 1 2 2 2 1 2 b b a a c b c a x = （3） 其中 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 , , c b c a b b a a b c a c 均称为二阶行列式 定义 1.二阶行列式 ad bc c d a b = − （4） 是一个数，主对角线两数之积减副对角线两数之积（对角线法则） 同样，在解三元一次方程组 + + = + + = + + = 31 32 33 3 21 22 23 2 11 12 13 1 a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b （5）
时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义。 定义2,三阶行列式 (6) a 行、列an(=12,3,=1,2,3)称为D的元素。 例 2×5-3×0+4×0=10 如果我们把an所在的行(第)和列(第j)(=12.3,j=12,3)划去后,所剩下 的二阶行列式记为M,,那么有 故(6)式可写成 a12M12+a1 M称为元素an的余子式,若令A=(-)M,则(7)式又可写成 D=a141+a1241 4称为元素an的代数余子式(注,这里的A是一个二阶的) 阶行列式 以上,从二阶行列式到三阶行列式的定义。蕴含了一种规律,我们同样用之 来定义更高的行列式。这种规律可由归纳法表现出来 定义3.由n2个数排成或n行n列的正方形数表,按照以下规律,可以得到 一个数:D= a141+a242+…+anAn=∑a1k41k(9) 称为n阶行列式,其中A=(-1)M4,M表示D划去第i行第j列 (,j=12,,n)后所剩下的n1阶行列式 行列an-元素M称为元素an的余子式,A成为元素an的代数余子式
时，要用到“三阶行列式”，这里可采用如下的定义。 定义 2，三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 31 32 21 22 13 31 33 21 23 12 32 33 22 23 11 a a a a a a a a a a a a a a = a − + （6） 行、列 a (i = 1,2,3, j = 1,2,3) ij 称为 D 的元素。 例 1 0 0 0 5 4 0 1 0 6 3 0 1 5 6 2 0 0 1 0 5 6 2 3 4 = − + = 25−30+40 =10 如果我们把 ij a 所在的行（第 i ）和列（第 j） (i =1,2,3, j =1,2,3) 划去后，所剩下 的二阶行列式记为 M ij ，那么有 , 32 33 22 23 11 a a a a M = , 31 33 21 23 12 a a a a M = 31 32 21 22 13 a a a a M = 故（6）式可写成： D = a11M11 − a12M12 + a13M13 （7） M ij 称为元素 ij a 的余子式，若令 ( ) ij i j Aij M + = −1 ，则（7）式又可写成 D = a11A11 + a12A12 + a13A13 = = 3 1 1 1 k a k A k （8） Aij 称为元素 ij a 的代数余子式（注，这里的 Aij 是一个二阶的） 二、n 阶行列式 以上，从二阶行列式到三阶行列式的定义。蕴含了一种规律，我们同样用之 来定义更高的行列式。这种规律可由归纳法表现出来。 定义 3. 由 2 n 个数排成或 n 行 n 列的正方形数表，按照以下规律，可以得到 一个数： n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = = = + + + = n k a A a A a nA n a k A k 1 11 11 12 12 1 1 1 1 （9） 称为 n 阶行列式，其中 ij i j Aij M + = (−1) ， M ij 表示 D 划去第 i 行第 j 列 (i, j =1,2,...,n) 后所剩下的 n-1 阶行列式。 行列 ij a ——元素 M ij 称为元素 ij a 的余子式， Aij 成为元素 ij a 的代数余子式
注:1.为了方便,定义一阶行列式al|=a1 2.按照定义式(9),从一阶行列式可以得到二阶行列式的 (同对角线法)。 例2.证明对角行列式(其对角线上的元素是未写出的元素都为0) 12 A2…n 2 =(-1)2A2…n 证:按定义式(9) 123 =A12…n 13 =(-)“(-2 y-92x 例3.证明下三角行列式 0 a2a22 2 按定义式(9)得 以上,n阶行列式的定义(9)式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的 这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开是。我们可以证明。行列式按第 列元素展开也有相同的结果,即
注：1. 为了方便，定义一阶行列式 a11 = a11。 2. 按 照 定 义 式 （ 9 ）， 从 一 阶 行 列 式 可 以 得 到 二 阶 行 列 式 的 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − （同对角线法）。 例 2. 证明对角行列式（其对角线上的元素是 i 未写出的元素都为 0） n n 1 2 2 1 = ( ) ( ) n n n n 1 2 2 1 2 1 1 − = − 证：按定义式（9） n n 3 2 1 2 1 = n n 12 1 2 3 = = = ( ) n n n 3 2 1 2 1 1 1 + = − ( ) ( ) n n n 3 1 2 1 = −1 −1 + ( ) ( ) n n n 3 1 2 1 1 + + = − ( ) ( ) n n n 2 12 1 1 − = = − 例 3. 证明下三角行列式 nn n n nn a a a a a a a a a D 11 22 1 2 21 22 11 0 = = 按定义式（9）得 an an ann a a a D a 2 3 32 33 22 11 0 = an an ann a a a a 3 4 43 33 11 22 0 = == a11a22 ann 以上，n 阶行列式的定义（9）式，是利用行列式的第一行元素来定义行列式的， 这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开是。我们可以证明。行列式按第一 列元素展开也有相同的结果，即
a1!a12 D a1A1+a2141+…+anA41=∑a4A1(10) 我们还可以证明,行列式按任意行(列)展开,都有相同的结果,即有 定理( Laplace D=∑a14(=1,2…,n)(11) D (12) 例4计算行列式 3147 解选一行(或列)具有较多的0元素的展开式,按第三行展开,得 例5计算行列式D= 3204 解按第三行展开,得 34 D=(-1)421-1-(-1)432 +21B224 -2-3+40+8-20-3 另外,三阶行列式也有对角线法则
n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = = = + + + = n k a A a A an An ak Ak 1 11 11 21 21 1 1 1 1 （10） 我们还可以证明，行列式按任意行（列）展开，都有相同的结果，即有： 定理（Laplace） ( 1,2, , ) 1 D a A i n n k = ik ik = = （11） ( 1,2, , ) 1 D a A j n n k = kj kj = = （12） 例 4 计算行列式 5 7 1 0 0 4 0 0 4 1 6 2 2 3 1 0 − − − D = 解 选一行（或列）具有较多的 0 元素的展开式，按第三行展开，得 ( ) 5 1 0 4 6 2 2 1 0 4 1 3 2 − = − + D ( ) 56 5 1 2 1 4 2 1 2 3 = − − = − − + 例 5 计算行列式 3 2 4 1 0 1 0 1 4 3 2 1 1 2 3 4 − D = 解 按第三行展开，得 ( ) ( ) 3 2 4 4 3 2 1 2 3 1 1 3 4 1 4 2 1 1 3 4 1 5 7 D = − − − = − − + 3 4 4 2 4 3 1 4 1 3 4 1 2 1 + − + 3 2 4 3 3 3 4 4 2 2 2 4 3 2 = −− 2 −3+ 40+8− 20 −3 = −35−15 = −50 另外，三阶行列式也有对角线法则
D=a21a2a2=a1a2a3+a1a2yay1+a3a2a2-a192a1-a122-a12a3 例6计算三阶行列式D=7-89 解:D=1×(-8)×6+(-2)×9×4+3×7x(-5) 3×(-8)×4-1×9×(-5)-(-2)×7×6 同样,三元一次方程组(5)的解也可以用三阶行列式表示 当(5)的系数行列式D=a21a2a23≠0时(5)的解为 an b D 其中D1=h2a2a2 D 例7解线性方程组 x+y+4z=0 3x-7y+5z=5 21 解:先计算系数行列式D=114=-10+12-7-3-56-5=-69≠0 因此可用行列式(13)求解 再计算D,D2,D3 2-2 D1=014=-51,D2=104=31,D3=110=5 35 3-75 代入公式(7)得 D23
31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 例 6 计算三阶行列式 4 5 6 7 8 9 1 2 3 − − − D = 解： D =1(−8)6 + (− 2)94 +37(−5) −3(−8)4 −19(−5)−(− 2)76 = −48−72−105+96+ 45+84 = 0 同样，三元一次方程组（5）的解也可以用三阶行列式表示 当（5）的系数行列式 0 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = a a a a a a a a a D 时（5）的解为 D D z D D y D D x 1 2 3 = , = , = ，其中 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a D = 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 a b a a b a a b a D = 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 a a b a a b a a b D = 例 7 解线性方程组 − + = + + = − + + = − 3 7 5 5 4 0 2 2 x y z x y z x y z 解： 先计算系数行列式 3 7 5 1 1 4 2 1 1 − − D = = −10+12−7−3−56−5 = −69 0 因此可用行列式（13）求解 再计算 1 2 3 D ,D ,D 51 5 7 5 0 1 4 2 1 1 1 = − − − D = ， 31 3 5 5 1 0 4 2 2 1 2 = − − D = ， 5 3 7 5 1 1 0 2 1 2 3 = − − − D = 代入公式（7）得 23 1 17 = = D D x ， 69 2 31 = = − D D y ， 69 3 5 = = − D D z
例8求二次多项式f(x),使得 f(-1)=6,f(U)=2,f(2)=3 解设∫(x)=ax2+bx+c,于是由f(-1)=6,f()=2,f(2)=3得 a-b+c=6 +b+c=2 求a,b,c如下 4a+2b+c=3 6 42 32 D3=11 -18 所以 1,b D2 故f(x)=x2-2x+3为所求 注:公式(2)-(3) 元 称为克莱姆法则 公式(13) 作业:习题1- 1(2).(5).(6).(7);2.(3);3
例 8 求二次多项式 f (x) ，使得 f (−1) = 6， f (1) = 2， f (2) = 3 解 设 f (x) = ax + bx + c 2 ，于是由 f (−1) = 6， f (1) = 2， f (2) = 3 得 + + = + + = − + = 4 2 3 2 6 a b c a b c a b c 求 a,b, c 如下： 6 0 4 2 1 1 1 1 1 1 1 = − − D = ， 6 3 2 1 2 1 1 6 1 1 1 = − − D = ， 12 4 3 1 1 2 1 1 6 1 D2 = = ， 18 4 2 3 1 1 2 1 1 6 3 = − − D = 所以 1 1 = = D D a ， 2 2 = = − D D b ， 3 3 = = D D c 故 ( ) 2 3 2 f x = x − x + 为所求。 注： 公式（2）-（3） （二元） 称为克莱姆法则 公式（13） （三元） 作业：习题 1-1 1（2）.（5）.（6）.（7）；2.（3）；3. 1-2 5 1-4 1